專(zhuān)題23 幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）（北師大版）（解析版）

專(zhuān)題2.3幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

典例精析

【典例1】如圖，在RtaABC中，LB=90°,AB=6cm,BC=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A8向點(diǎn)B以lcm/s

的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速發(fā)移動(dòng).

(1)經(jīng)過(guò)多少秒后，aPBQ的面積為8cm2?

(2)線(xiàn)段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出移動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā),沿射線(xiàn)方向以lcm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),沿射線(xiàn)CB方向以2cm/s

的速度移動(dòng)，經(jīng)過(guò)多少秒后的面積為lcm2?

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可；

(2)根據(jù)三角形面積公式列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式解答；

(3)分點(diǎn)P在線(xiàn)段A8上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段C8上、點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在射線(xiàn)C8上、點(diǎn)P在射線(xiàn)A8

上，點(diǎn)Q在射線(xiàn)C8上三種情況，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程得到答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：設(shè)經(jīng)過(guò)不秒后，△PBQ的面積為8cm2.

根據(jù)題意得：AP=xcm,BQ=2xcm,

.\BP=(6—x)cm?

—x)-2x=8,解得％i=2,x2=4,

故經(jīng)過(guò)2秒或4秒后，△戶(hù)8Q的面積為8cm2；

(2)解：設(shè)經(jīng)過(guò)，秒后，線(xiàn)段PQ將△48C分成面積相等的兩部分.

?S&ABC=-x6x8=24,

:?S"BQ=1(6-t)-2t=1x24,即產(chǎn)-6t+12=0.

*.*△=b2-4ac=(-6)2—4x12=-12<0,

???此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

，線(xiàn)段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分.

(3)解：設(shè))，秒后，△P8Q的面積為Icm?；

分三種情況：

①點(diǎn)P在線(xiàn)段力8上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段C8上(0VCV4),如圖所示,

依題意得：*6-y)(8-2y)=1,

即卡一10y+23=0,

解得％=5+企，y2=5-V2,

經(jīng)檢驗(yàn)，%=5+或不符合題意，舍去，

???y=5-V2：

②點(diǎn)P在線(xiàn)段48上，點(diǎn)Q在射線(xiàn)C8上(4VtV6),如圖所示,

依題意得：；(6-y)(2y-8)=1,

即_i0y+25=0,

解得力=曠2=5，

經(jīng)檢驗(yàn)，y=5符合題意；

③點(diǎn)。在射線(xiàn)48上，點(diǎn)Q在射線(xiàn)C8上。＞6),如圖所示,

依題意得：1(y-6)(2y-8)=1,

即"一iOy+23=0,

解得力=5+\[2,%=5-V2,

經(jīng)檢驗(yàn)，為=5-&不符合題意，舍去，

???y=5+五,

綜上所述，經(jīng)過(guò)(5-伺)秒或5秒或(5+旬秒后，△P8Q的面積等于lcnf.

學(xué)霸必刷

I.(2022春.浙江紹興?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在△ABC中，48=6cm,BC=7cm,NA8C=30。,

點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)A4方向以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從8點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)4C方向以2cm/s的速度

移動(dòng).如果P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)：經(jīng)過(guò)_________________秒后△。僅2的面枳等于4cm2.

【思路點(diǎn)撥】

過(guò)點(diǎn)Q作QE_LP8『點(diǎn)凡設(shè)時(shí)間t,根據(jù)面積列方程即可求出答案.

【解題過(guò)程】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE1P8于點(diǎn)E,則4QE8=90。，

解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離為4四厘米，

由題意得：點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所需時(shí)間為半=6秒，

點(diǎn)、Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所需時(shí)間為竽=|秒，

因此，分以下三種情況：

（1）當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C之前，即0<￡<g時(shí)，則/P=t厘米，8Q=2￡厘米，

???AB=6厘米，

BP=AB-AP=（6-。厘米，

則在RM8PQ中，BP2+BQ2=PQ2,SP（6-t）2+（2t）2=（4^\

整理得：5t2-12t+4=0,

解得t或t=2>:（不符題設(shè)，舍去）；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C,點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)B移動(dòng)，11嗎工￡<6時(shí)，則BQ=8C=3厘米，

2

由Bp2+BQ=PQ2得:（6_￡）2+32=（4V2）,

整理得：t2-12t+13=0,

解得t=6+后>6或￡=6-舊<|（均不符題設(shè)，舍去）；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C,點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B.即1=6時(shí)，

則PQ=8。=3厘米，不符題意；

綜上，經(jīng)過(guò):秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離為4企厘米，

故答案為：

3.（2022春?浙江杭州?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形4BCD中，AB=6cm,AD=2cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別

從點(diǎn)4、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為七秒，當(dāng)亡=時(shí)，以點(diǎn)P、Q、。為頂點(diǎn)的三角形是等腰

三角形.

D

I、Q

B'--------'c

【思路點(diǎn)撥】

分情況討論，如圖1,當(dāng)PQ=OQ時(shí)，如圖2,當(dāng)PO=PQ時(shí)，如圖3,當(dāng)PO=。。時(shí)，由等腰三角形的

性質(zhì)及勾股定理建立方程就可以得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

解：如圖1,當(dāng)PQ=OQ時(shí)，作LA4于E,

，NPEQ=90。，

VZB=ZC=90°,

???四邊形6CQE是矩形，

：,QE=BC=2cm,BE=CQ=t.

?：AP=2t,

,PE=6-2t-t=6-3t.DQ=6-1.

*：PQ=DQ,

:?PQ=6-t.

在RSPQE中，由勾股定理，得

(6-37)2+4=(6-z)2,

解得：，=塔.

如圖2,當(dāng)PD=PQ時(shí),

作PELDQ于E,

圖2

：,DE=QE=^DQ.NP石。=90°.

VZB=ZC=90°,

???四邊形8CQE是矩形，

**?PE=BC=2cffi.

,:DQ=6?t,

???DE=等.

A2r=—,

2

解得：

如圖3,當(dāng)夕。=Q。時(shí),

VZP=2/,CQ=/,

：.DQ=6-t,

：.PD=6-t.

在RtAAPD中,由勾股定理，得

4+4?=(67)2,

解得/尸筆竺,_-6-2>/33

,2=------；------（舍去）.

綜上所述：尸苧，萼，*警亙

故答案為：塔，耍，心誓

4.（2022春?安徽合肥?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，zC=90°,AC=8cm,BC=4cm,一動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿著CB方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從力出發(fā)沿著4c邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,Q

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.

（1）若APCQ的面積是AABC面積的;，求￡的值？

4

（2）ZkPCQ的面積能否為△4BC面積的一半？若能，求出￡的值；若不能，說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)三角形的面積公式可以得出△48C面積為：^X4X8=16,△%;。的面積為：t（8-2。，由題意

列出方程解答即司.；

（2）由等量關(guān)系S』PCQ=3.A6C列方程求出/的值，但方程無(wú)解.

【解題過(guò)程】

解：（1）S“CQ=-1（8—2t）＞S^ABC=3x4x8=16.

????（8-2t）=：x16,

:，t2-4t+4=0,

解得：t=2.

答：當(dāng)t=2s時(shí)，△0CQ的面積為△ABC面積的土

（2）△巴?（2的面積不可能是△力BC面枳的一半.理由如卜.:

當(dāng)SAPCQ=WSMBC時(shí)?

)(8-2t)=1x16,

整理得：戶(hù)一4t+8=0,

A=Z)2—4ac=(-4)2—4x1x8=-16<0?

???此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

??.△PCQ的面積不可能是448c面積的一半.

5.(2023春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，AABC中，NC=90。，AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從A沿4c

邊問(wèn)C點(diǎn)以Icm/s的速度移動(dòng)，在C點(diǎn)停止，點(diǎn)。從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)E以2cm/s的速度移動(dòng)，在8

點(diǎn)停止.

(1)如果點(diǎn)P,Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2秒鐘后，SAQPC=cm2：

(2)如果點(diǎn)。從點(diǎn)A光出發(fā)2s，點(diǎn)。再?gòu)狞c(diǎn)C出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)Q哆動(dòng)幾秒鐘后S[QPC=4cm2?

(3)如果點(diǎn)尸、。分別從A、。同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后PQ=8Q?

本題可設(shè)P出發(fā)右后，SAQPC符合已知條件：

在(1)中，AP=xm,PC=(6-x)m,QC=2xm,得出5/QPC=^(6—x)-2x,即可求出經(jīng)過(guò)2秒鐘后的

面積；

在(2)中，AP=xm,PC=(6-x)m,QC=2(x—2)m,進(jìn)而可列出方程，求出答案；

在(3)中，PC=(6-x)m,QC=2xm,BQ=8-2x,利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，求出答案.

【解題過(guò)程】

解：(1)P、Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)x秒鐘，SAQPC=^6-xy2x,

當(dāng)《二2,

SAQPC=1(6-X)-2X=1X4X4=8,

故答案是：8.

(2)設(shè)P出發(fā)6時(shí)S4Qpc=4cm2,則Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。一2)秒，由題意得：

1(6-x)-2(x-2)=4,

二x2—8x+16=0,

解得：Xt=X2=4

因此經(jīng)4秒點(diǎn)。離4點(diǎn)lx4=4cm,點(diǎn)Q離C點(diǎn)2x(4-2)=4cm,符合題意.

2

答：P先出發(fā)2s,Q再?gòu)腃出發(fā)2s后，S6QPC=4cm.

(3)設(shè)經(jīng)過(guò)％秒鐘后PQ=BQ,則PC=(6-x)m,QC=2xm,BQ=8-2x,

(6-x)2+(2x)2=(8—2x)2,

解得％1=-10+8&，&二-1。-8近(不合題意，舍去)

答：經(jīng)過(guò)-10+80秒鐘后PQ=BQ.

6.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在中，48=9。>,AB=5cm,8C=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)4開(kāi)始

沿他邊向點(diǎn)8以lcm/s的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿8c邊句點(diǎn)。以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)△PQB的面積能否等于9cm2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)幾秒后，四邊形APQC的面積等于16cm2?請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)APQB的面積等于9cm2,即可得出關(guān)于t的一元二次方程，由根的判別式A=-ll<0,可得所列

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出仆PQB的面積不等等于9cm2；

(2)根據(jù)四邊形4PQC的面積等于16cm2,即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，結(jié)合當(dāng)￡=4

時(shí)，C,Q點(diǎn)重合，即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

(1)解：△PQB的面積不能等于9cm2,理由如下：

???5+1=5s,8+2=4s>

???運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍為：0工亡&4,

根據(jù)題意可得：AP=tcm,BP=(5—t)cm,BQ=2￡cm,

假設(shè)△PQB的面積等于9cm2,

貝壯(5—￡)X2￡=9,

2

整理得：戶(hù)-51+9=0,

???A=(-5)2-4x1x9=-11<0,

二所列方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

△PQB的面積不能等于9cm2；

(2)解：由(1)得：AP=tcm,BP=(5-t)cm,BQ=Ztcm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍為：0<t<4,

??仞邊形力PQC的面積等于16cm2,

.?.1x5x8-^(5-t)x2t=16,

整理得：t2-5t+4=0,

解得￡]=1,t2=4,

當(dāng)當(dāng)t=4時(shí)，C,Q點(diǎn)重合，不符合題意，舍去，

???t=1,

答：Is后，四邊形4PQC的面積等于16cm2.

7.(2022秋?廣西貴港?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在△力BC中，ZC=90°,AB=10cm,8c=8cm,點(diǎn)P從

點(diǎn)4開(kāi)始沿射線(xiàn)力。向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)。開(kāi)始沿邊向點(diǎn)8以lcm/s的速度移

動(dòng).如果尸、Q分別從力、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.當(dāng)點(diǎn):Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí).，P、C兩點(diǎn)之間的距離為cm.(用含t的代數(shù)式表示)

(2)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PQC的面積是△48C面積的;.若存在，求。的值；若不

6

存在，說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用勾股定理求出AC=6cm,然后根據(jù)AP=2t即可得出答案；

(2)分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段"上，即OStS3時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即3V1W8時(shí),

分別根據(jù)仆PQC的面積是448c面積的:列方程求解即可.

6

【解題過(guò)程】

(1)解：???在△A8C中，LC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

:.AC=V102-82=6cm,

丁點(diǎn)。從點(diǎn)A開(kāi)始沿射線(xiàn)4c向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，

',AP=23

工當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段力。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為(6-2t)cm,

故答案為:(6-2t)；

(2)解：S08C=：X6X8=24cm2,

①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段力C上，即OWtW3時(shí)，

VPC=6-23QC=3

???S“QC寸C?QC=36-2t).t=：x24,

整理得：t2-3t+4=0,

??工=/-4"=9-16=-7V0,

???該一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

???此情況不存在；

②當(dāng)點(diǎn):P在線(xiàn)段4c的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即3<￡48時(shí)，

*：PC=2t-6.QC=t.

，S“QC=^PC?QC=-6)?￡=：x24,

整理得：t2-3t-4=0,

解得：￡=4或一1(舍去)，

綜上所述，存在，當(dāng)￡=4時(shí)，APQC的面積是△48C面積的;.

6

8.(2023春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=12cm,BC=16cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A

開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如

果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

o

A-APB

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，aPBQ的面積等于35cm2?

（2）當(dāng)i為何值時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等8&cm?

（3）若點(diǎn)P,Q的速度保持不變，點(diǎn)P在到達(dá)點(diǎn)B后返回點(diǎn)A,點(diǎn)Q在到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B,一個(gè)點(diǎn)

停止，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止.問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于32cm2?

【思路點(diǎn)撥】

（1）分別用含t的代數(shù)式表示PB，BQ的長(zhǎng)，利用面積公式列方程求解即可.

（2）分別用含￡的代數(shù)式表示PB，BQ的長(zhǎng)，利用勾股定理列方程求解即可.

（3）分段要清楚，0<￡W8,P,Q都沒(méi)有返回，表示好PB,CQ的長(zhǎng)，用面積公式列方程，8<t<12,

P不返回，Q返回，表示好PB,CQ的長(zhǎng)，用面積公式列方程，12<tW16,兩點(diǎn)都返回，表示好PB,CQ

的長(zhǎng)，用面積公式列方程即可得到答案.

【解題過(guò)程】

解：（1）BP=AB-AP=12-t,BQ=2t,.

根據(jù)三角形的面積公式，得;P6?8Q=35,

即112-￡）?2￡=35,

整理，得產(chǎn)―12￡+35=0,

解得0=5/2=7，.

故當(dāng)t為5或7時(shí)，/P8Q的面積等于35cm2..

22

（2）根據(jù)勾股定理，得F。2=BP2+BQ?=（12-t）+（2t）=（8魚(yú)/，

整理，得5尸一241+16=0,

解得0==4

故當(dāng)t為:或4時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于

（3）①當(dāng)0YC&8時(shí)，PB=12-t,CQ=16-2t,

由題意，得：（16-21）（12=32,

解得：0=4,t2=16（舍去）.

②當(dāng)8yt<12時(shí)，PB=12-t,CQ=2t-16,

由題意，得“2亡一16)(12-。=32,此時(shí)方程無(wú)解.

③當(dāng)12YCW16時(shí)，PB=t-12,CQ=2t-16,

由題意,篋(2￡-16)("12)=32,

解得：0=16,/=4(舍去)>.

綜上所述，當(dāng)士為4或16時(shí)，4PCQ的面積等于32cm2.

9.(2022秋?廣東東莞?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖所示，在△48C中，ZC=90°,AC=6cm,FC=8cm,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以lcm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).

(1)如果P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)終止.問(wèn)：幾秒鐘后APCQ的面積等于8cm2?

(2)如果P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后立即返回，速度保持不變，直到點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后同時(shí)

停止運(yùn)動(dòng)，那么在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于lcm2?若存在，求出運(yùn)動(dòng)

時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)t(0<tV4)s后APCQ的面積等于8cm2,根據(jù)題意設(shè)CP=(6-t)cm,CQ=(8-2t)cm,利用三角

形面積公式可得*6-￡)(8-2t)=8,解出t的值即可；

(2)根據(jù)題意分類(lèi)討論：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡(0VtV4)s時(shí),CP=(6-t)cm,CQ=(8-2t)cm,利用三角形

面積公式可得;(6-t)(8-2t)=1,解出t的值即可；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(4<t<6)s0'j,CP=(6CQ=

(2t-8)cm,利用三角形面積公式可得*6-t)(2t-8)=1,解出￡的值即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：6+l=6(s),8+2=4(s),

設(shè)t(0<t<4/后^PCQ的面積等于8cm2,則CP=(6—t)cm,CQ=(8—2t)cm,

???根據(jù)題意，得式6-1)(8-2。=8,

???整理,得產(chǎn)-101+16=0,

解得口=2,t2=8(不合題意，舍去)，

PCQ的面積為8cm2.

(2)解：存在.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(U<t<4)s時(shí)，CP=(6-t)cm,CQ=(8-Zt)cm,

，根據(jù)題意，得*6-￡)(8-2t)=1,

???整理，得產(chǎn)_iot+23=0,

解得"=5-VLt2=5+V2(不合題意，舍去)；

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡(44t<6)s時(shí)，CP=(6—t)cm,CQ=(2t—8)cm,

???根據(jù)題意,M1(6-t)(2t-8)=l,

，整理，得/一10￡+25=0,

解得匕=Q=5,

???當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(5-&)s或5s時(shí)，△PCQ的面枳等于km?.

10.(2022秋?山東青島?九年級(jí)山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在矩形/WCO中，A4=IOcm,

AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)人出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)8出發(fā)沿BC以lcm/s的

速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).

(1)幾秒后，點(diǎn)P、。的距離是點(diǎn)P、Q的距離的2倍；

(2)是否存在時(shí)間f使得△QPQ的面積是22cm2?若存在請(qǐng)求出若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)t秒后點(diǎn)尸、。的距離是點(diǎn)P、Q距離的2倍，根據(jù)勾股定理可得PZ)2=4PQ2,然后再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)

可得方程8?+(2t)2=4[(10-21)2+t2],再解即可;

(2)設(shè)3秒后ADPQ的面積是24cm2,利用矩形面積-ADPQ的面積=周?chē)齻€(gè)三角形面積和列方程即可.

【解題過(guò)程】

解：(1)設(shè)￡秒后點(diǎn)P、。的距離是點(diǎn)P、Q距離的2倍，

PD=2PQ,

???四邊形力8co是矩形，

Z.A=Z.B=90°,

：.PD2=AP2+AD2,PQ2=BP2+BQ2,

vPD2=4PQ2,

?0<t<5時(shí)，

:.82+(2t)2=4[(10-2t)2+t2],

解得：￡i=3,J=7;

vt=7時(shí)10-2t<0,

t=3,

?5<t<8時(shí),

PD=y]AB2+AD2=2^41,

vPD=2PQ,

:.PQ=V41,

???點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿8C以Icm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

t=>/41,

答：3秒或同秒后，點(diǎn)P、。的距離是點(diǎn)P、Q的距離的2倍；

(2)不存在，理由如下：

設(shè)無(wú)秒后ADPQ的面積是22cm2,

???S^DPQ=S四邊形.CD-S&ADP-S48QP-SRDCQ，

???x8x2%+；(10-2x)-x+“8—x)x10=80—22,

整理得%2-8%+18=0,

???該方程無(wú)解，

???不存在時(shí)間t使得AOPQ的面積是22cm2.

11.(2022秋?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在^ABC中，ZA=90°,AB=12cm,AC=8cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)

P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線(xiàn)BA方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線(xiàn)CA方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是2cm/s,

點(diǎn)Q的速度是lcm/s,它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts(t>0).

(1)當(dāng)t=4時(shí)，求4APQ的面積.

（2）經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，△APQ的面積是△ABC面積的一半.

圖1備用圖

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)點(diǎn)尸的速度是2sn/s,點(diǎn)Q的速度是lcm/s,4P=4cm,AQ=4cm,利用面積公式求解；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒/APQ的面積是2L48C面積的一半，則8P=2tcm,CQ=2tcm,

進(jìn)而表示出4P=（12—2t）cm,AQ=（8-tym,利用面積公式表示出方程求解但是由于題目給的是射線(xiàn),

注意分類(lèi)討論.

【解題過(guò)程】

解：（1）???點(diǎn)P的速度是4cm/s,點(diǎn)Q的速度是2cm/s,

當(dāng)1=4時(shí)，BP=2t=8cm,CQ=t=4cm,

/.AP=4cm,AQ=4cm,

/.SAAPQ=\X4x4=8.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)l秒4APQ的面積是^ABC面積的一半.

2

根據(jù)題意得：!SAABC=IxIx12x8=24cm,

當(dāng)0VtV6時(shí)如圖1：

圖1

SAAPQ=1(12-2t)(8-t)=24,

整理得a-I4t+24=O,

解得t=12（舍去）或t=2.

當(dāng)6VtV8時(shí)如圖2：

SAAPQ=\(2t-12)(8-t)=24,

整理得t2-14x+72=0,

△<0,無(wú)解.

當(dāng)l>8時(shí)如圖3

SAAPQ=1（2t-12）（t-8）=24，

整理得t2-14x+24=0,

解得t=12或t=2（舍去）.

綜上所述：經(jīng)過(guò)2秒或12秒4APQ的面枳是^ABC面枳的一半.

12.（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，4、B、。、。為矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，48=16cm,BC=6cm,動(dòng)

點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)。從點(diǎn)C向點(diǎn)。移動(dòng).

（1）若點(diǎn)尸從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)8停止，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、。同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)2s時(shí)P、。西點(diǎn)之間的距

離是多少cm?

（2）若點(diǎn)尸從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)。隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)4、C同時(shí)出發(fā)，

問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?

（3）若點(diǎn)P沿著ABTBCTCD移動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、。同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)。停止時(shí),

點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△PBQ的面積為12cm2?

D

Bi----------lC

【思路點(diǎn)撥】

(l)作尸EIC。于E,表示出尸。的長(zhǎng)度，利用2爐+七°2=PQ2列出方程求解即可；

(2)設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)。的距離是10cm.在R/APEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程(16-5x)2=64,

通過(guò)解方程即可求得x的值；

(3)分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)。在A3上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)。在3C邊上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)尸在C。邊上時(shí)，分另J求解即可.

【解題過(guò)程】

解：(1)過(guò)點(diǎn)P作PEVCD于E.

16-2x3-2x2=6(cm),PE=AD=6cm：

在^中，根據(jù)勾股定理，端

PE4EQ2;PQ2,即36+36二尸。2,

PQ=6或cm：

?二經(jīng)過(guò)3時(shí)產(chǎn)、。兩點(diǎn)之間的距離是6?cm：

(2)設(shè)x秒后，點(diǎn)夕和點(diǎn)Q的距離是10cm.

(16-2x-3x)2+62=102,即(16-5x)2=64,

16-5x=±8,

.824

??內(nèi)=『”2=W；

???經(jīng)過(guò)聲或?sP、。兩點(diǎn)之間的距離是10cm：

（3）連接4Q.設(shè)經(jīng)過(guò)少后△P8Q的面積為12cm2.

①當(dāng)點(diǎn)。在43上時(shí)，則P8=16-3），，

?5

：.APB?BC=12,吟（16-3y）x6=12,

解得尸4；

②當(dāng)點(diǎn)P在8c邊上時(shí)，y<3<y,則BP=3），-A8=3y-16,QC=2yf

尸?Ce=g（3y-16）x2y=12,

解得），/=6,j2=-1（舍去）；

③當(dāng)點(diǎn)P在CO邊上時(shí)，Y<}<8,則QP=CQ-PQ=22-y,

（22-y）x6=12,

解得產(chǎn)18（舍去）.

綜上所述，經(jīng)過(guò)4秒或6秒△PBQ的面積為12cm2.

13.（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，平行四邊形48C。位于直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力（一8,0）,

點(diǎn)C（3,4）8C交y軸于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)。出發(fā)，沿D8方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從

點(diǎn)0出發(fā)，沿射線(xiàn)。/1的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)尸隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為I（秒）.

（2）若以A,B,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求I的值.

（3）當(dāng)ABE尸恰好是等腰三角形時(shí)，求t的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)題意，可得點(diǎn)3的坐標(biāo)為（-5,4）,即可求得8E=5r,OF=2h

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)尸在A點(diǎn)右側(cè)，四邊形ABEF為平行四邊形，BE=AF；②當(dāng)尸在A點(diǎn)左側(cè)，四

邊形/法AF為平行四邊形，BE=AF,列方程求解即可；

(3)分三種情況討論：①當(dāng)出三以,時(shí)；②當(dāng)EB=I山時(shí);③當(dāng)出土尸石時(shí)，分別列方程求解即可.

【解題過(guò)程】

解：(1)如圖

根據(jù)題意，可得點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-5,4),點(diǎn)力(-8,0),C(3,4)

：.BD=BC-CD=S-3=5,

BE=BD-DE=5~h

0F=2t

故答緊為BE=5-i,0F=2t.

(2)解：①當(dāng)尸在A點(diǎn)右側(cè)，四邊形A8E/為平行四邊形,

即8—21=5—3

解得t=3,

②當(dāng)尸在4點(diǎn)左側(cè)，四邊形BE4F為平行四邊形,

BE=AF,即5—￡=2￡—8,

解得￡=葭;

（3）解：當(dāng)△BE/7恰好是等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作R/_Lx軸于J,過(guò)點(diǎn)E作￡K_Lx軸于K,

BE=5-t,

EFZEK?+F"=742+(2t-t)2,

BF^BJ24-JF2=/42+(5-2￡)2,

有以下三種情況：

①當(dāng)8尸=￡尸時(shí)，有J42+(2￡-t)2=j42+(5-2t/,

5-2t=t,

解得”*

②當(dāng)E8=戶(hù)8時(shí)，

有（5-亡）2=16+（5-2亡）2,

△=100-4x3xl6=-92<0,故方程無(wú)解：

③當(dāng)BE=FE時(shí)，有（5-1產(chǎn)=16+￡2,

解得”總；

所以，當(dāng)"河￡二總時(shí)，A8E戶(hù)恰好是等腰三角形.

14.（2022秋?山東青島?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，ZB=90°,AB=6厘米，BC=8厘米.點(diǎn)P

從A點(diǎn)開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以I厘米/秒的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊

向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)）.

（1）如果P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，APBQ的面枳等于是△ABC的三分之一？

（2）如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，而且動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止

運(yùn)動(dòng)），動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？

（3）如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，而且動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止

運(yùn)動(dòng)），動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CB移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)），是否存在一個(gè)時(shí)刻，PQ同時(shí)平分4ABC

的周長(zhǎng)與面積？若存在求出這個(gè)時(shí)刻的t值，若不存在說(shuō)明理Ft!.

【思路點(diǎn)撥】

（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一，根據(jù)題意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,由，

△PBQ的面積等于是△ABC的二分之一列式可得求出t的值；

（2）在RtAPQB中，根據(jù)勾股定理列方程即可：

（3）分兩種情況：①當(dāng)PQ平分AABC面積時(shí)，計(jì)算出這時(shí)的1=5-63,同時(shí)計(jì)算這時(shí)PQ所橫△ABC的

周長(zhǎng)是否平分；②當(dāng)PQ平分△ABC周長(zhǎng)時(shí)，計(jì)算出這時(shí)的《此時(shí)APBQ的面積是否為如ABC，計(jì)算即

可.

也可以直接計(jì)算平分面積的時(shí)間，平分周長(zhǎng)的時(shí)間，看這兩個(gè)時(shí)間是否一樣，若兩個(gè)時(shí)間一樣則存在，若

不一樣則不存在.

【解題過(guò)程】

解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一，

由題意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

1、11

2x2tx（67=§0X6X8,

解得：1=2或4,

V0<t<4,

???t=2或4符合題意，

答：經(jīng)過(guò)2或4秒鐘，APBQ的面積等于是△ABC的三分之一.

c

(2)在RSPQB中，PQ2=BQ2+PB2,

(?=(2t)2+(6-t)2>

解得：L=0(舍)，t2」，

答：答秒鐘后,P、Q相距6厘米.

(3)由題意得:PB=6-t,BQ=8-2t,

分兩種情況：

①當(dāng)PQ平分△ABC面積時(shí)，

SAPBQ=：SAABC，

-(6-t)(8-2t)=3x8x6,

222

解得：t|=5+g,t2=5?g,

???Q從C到B,一共需要8:2=4秒，5+g>4,

???1=5+后不符合題意，舍去，

當(dāng)匕=5-舊時(shí)，AP=5-舊，BP=6-(5-V13)=1+\<13,BQ=8-2(5-713)=2V13-2,CQ=2(5-V13)

=10-2713,

PQ將△ABC的周長(zhǎng)分為兩部分：

一部分為：AC+AP+CQ=10+5-V13+10-2713=25-3g,

另一部分：PB+BQ=l+g+2反-2=3%<13-1,

25?3d，3al-1,

②當(dāng)PQ平分△ABC周長(zhǎng)時(shí)，

AP+AC+CQ=PB+BQ,

10+2t+t=6-t+8-2t,

當(dāng)仁|時(shí)'PB=6-~-~~f

BQ=8-2弩哼

綜上所述，不存在這樣一個(gè)時(shí)刻，PQ同時(shí)平分△ABC的周長(zhǎng)與面積.

15.（2022秋?江蘇?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形A8CD,AB=6cm,=2cm,點(diǎn)P以2cm/s的速度從

頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)A—3—C向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以lcm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).

（1）問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形48C。面積的點(diǎn)

（2）問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間使得點(diǎn)夕與點(diǎn)。之間的距離為遙？若存在，求出運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）要使四邊形P8CQ的面積是矩形面積的看此時(shí)點(diǎn)P應(yīng)在AB上，才是四邊形.根據(jù)路程=速度x時(shí)

間，分別用/表示8P、CQ的長(zhǎng)，再根據(jù)梯形的面積公式列方程求解；

（2）根據(jù)勾股定理列方程即可，注意分情況討論.

【解題過(guò)程】

（1）解：設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形48CD面積的g

CQ=t,PB=AB-AP=6-2t,

S四邊形P8CQ="CQ+PB）.BC=+6-2￡）x2=12xg,

解得："g

???兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)|秒，使四邊形P8CQ的面積是矩形4BC0面積的g.

（2）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)，秒運(yùn)動(dòng)后，使點(diǎn)P與點(diǎn)。之間的距離為遙,

①當(dāng)OVt<3時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，則即0V￡V2,

過(guò)Q點(diǎn)作QE14B于點(diǎn)E,

貝=23PH=6-Zt,CQ=3

：,PE=6—33

在RSPEQ中，

VPE=6-3t,EQ=2,PQ=岳,

：.PE2+EQ2=PQ2,

，(6-3￡)2+4=5,

解得0=3(舍)，12=4

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)QF方時(shí)，則6-2tV3即2V1V3,

過(guò)P點(diǎn)作PF1CD于點(diǎn)F,

則5P=23PB=6-2t,CQ=3

:,FQ=3t-6,

在RtAPFQ中,

*：FQ=3t-6,PF=2,PQ=5

：.PF2+FQ2=PQ2,

.*.(3t-6)2+4=5,

解得j=g,L,=?(含).

②當(dāng)3Vt&4時(shí)，則

\'AB=6,AB+BP=2t,

:.BP=2t-6,

Z.CP=2-(2t-6)=8-2t,

在RlAPCQ41>

?:CP=2-(2t-6)=8-2t,CQ=t,PQ=花,

：.PC2+CQ2=PQ2

有(8-2t)2+￡2=5,

得方程:5t2-32t+59=0,

△=322-4x5x59=-156<0,

此方程無(wú)實(shí)根.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)3或京時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)Q之間的距離為行.

16.（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCO中，AD//BC,ZB=90°,AD=16cm,

AB=\2cm,8C=21cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線(xiàn)BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)

Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)B,A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)”時(shí)，點(diǎn)尸隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒）.

（1）當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形PQOC是平行四邊形；

（2）當(dāng)/為何值時(shí)，以C,D,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于60cm2?

（3）當(dāng)0u<10.5時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使△PQO是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足要求的，的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）由題意已知，AD//BC,要使四邊形PQOC是平行四邊形，則只需要讓QO=PC即可，利用時(shí)間=路

程:速度，即可求出時(shí)間；

（2）要使以C、。、Q、。為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm2,可以分為兩種情況，點(diǎn)P、Q分別沿A。、BC運(yùn)

動(dòng)或點(diǎn)尸返回時(shí)，再利用梯形面積公式，即（QQ+PC）xA8：2=60,因?yàn)镼、P點(diǎn)的速度已知，AD.A8、

8c的長(zhǎng)度已知，用，可分別表示Q。、8c的長(zhǎng)，即可求得時(shí)間/；

（3）當(dāng)0W10.5時(shí)，點(diǎn)P向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，使△PQZ）是等腰三角形，可分三種情況，即PQ=PZ）、PQ=QD.

QD=PD-,可利用等腰三角形及直角梯形的性質(zhì)，分別用，表達(dá)等腰三角形的兩腰長(zhǎng)，再利用兩腰相等即可

求得時(shí)間t.

【解題過(guò)程】

解：（1）???四邊形PQOC是平行四邊形，

：.DQ=CP.

當(dāng)P從8運(yùn)動(dòng)到。時(shí)，

*：DQ=AD-AQ=\6-t,

CP=2\-2t,

A16-7=21-2/,

解得：，=5,

當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到8時(shí)，

\'DQ=AD-AQ=\6-t,

CP=2t-2\,

A16-r=2r-21,

解得：f=弓，

.??當(dāng)/=5或g秒時(shí)，四邊形PQOC是平行四邊形;

(1)

(2)若點(diǎn)P、Q分別沿A。、8C運(yùn)動(dòng)時(shí),

|(DQ+CP)*AB=60,

即:(16-7+21-2r)xl2=60,

解得：，=9(秒)，

若點(diǎn)P返回時(shí)，CP=2/-2,

則；(16-r+2r-21))xl2=60,

解得：/=15(秒).

故當(dāng)f=9或15秒時(shí)，以C,D,Q,P為頂點(diǎn)的梯形面積等6。5?；

(3)當(dāng)PQ=P。時(shí)，作7V/JLAQ于H,則HQ="。，

?:AH=BP,

：.2t=-（16-r）+3

2

???/=?秒；

當(dāng)PQ=Q。時(shí)，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t,QD=T6?f,

,：QD2=PQ2=t2-\-\22,

：.（16-r）2=122+-，

解得（秒）；

當(dāng)。。=夕。時(shí)，DH=AD-AH=AD-BP=16-Z,

'：QD2=PD2=PH2-^-HD2=\22+（16-2z）2,

:.（16-r）2=122+（16-2r）2,

BP3?-32/I144=0,

VA<0,

???方程無(wú)實(shí)根，

綜上可知，當(dāng)秒或3秒時(shí)，△PQ。是等腰三角形.

17.（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，RmABC中,ZC=90°,6c=46cm,ZA13C=30°.點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)，沿以每秒3cm的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒6cm的速度向終點(diǎn)

。運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)即停止.設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為九

（1）當(dāng)f=2秒時(shí)，求ABP。的面積；

（2）PQ能否與AA8C的一條邊平行，如果能，求出此時(shí)，的值；如不能，說(shuō)明理由；

（3）的面積能否為△ABC面積的三分之一？如果能，請(qǐng)求出的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】

（1）過(guò)點(diǎn)尸作尸￡_L3C于E,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求PE的長(zhǎng)，即可求解;

（2）分三種情況討論，由平行線(xiàn)的判定可求解：

（3）分兩種情況討論，由三角形的面積公式可求解.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸E_L△。于E,

當(dāng)f=2秒時(shí)，PB=6cm,BQ=2v3cm,

VZABC=30Q,PEIBC,

.\PE=-PB=3cm,

2

:?SABPQ=LxBQxPE=+x2痘x3=3用(cm2)；

22

(2)PQ不與△ABC的一條邊平行，理由如下：

???點(diǎn)Q始終在〃。上運(yùn)動(dòng)，

，PQ與BC不平行，

當(dāng)PQ〃AC時(shí)，

???NPQB=NACB=90。，

VZB=30%

：.PQ=^PB=^t(cm),8Q=回。=凈(cm),

又?.?點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒百cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

QB=乎f(cm),

???PQ與AC不平行，

當(dāng)PQ〃A8時(shí)，，則點(diǎn)P在4C上，

VZC=90°,BC=46cm,NABC=30°.

/.ZC=4cm,/W=8cm,

*：PQ//AB,

???NA