黑龍江省齊齊哈爾市2023−2024學(xué)年高二下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試卷附解析

/黑龍江省齊齊哈爾市2023?2024學(xué)年高二下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除，某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況，則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為（

）A．8人 B．10人 C．12人 D．18人4．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（

）A．，s B．4-3，s C．4-3，4s D．4-3，5．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則該三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形6．函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為7．如圖，圓O所在平面，是圓O的直徑，是圓周上一點(diǎn)，其中，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù).若，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．甲?乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同以外其余完全相同的號(hào)簽.其中，甲袋中有編號(hào)為的三個(gè)號(hào)簽；乙袋有編號(hào)為的六個(gè)號(hào)簽.現(xiàn)從甲?乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽，從甲?乙兩袋抽取號(hào)簽的過(guò)程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件B：從乙袋中抽取號(hào)簽6；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為3；事件D：抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同.則下列選項(xiàng)中，正確的是（

）A．B．C．事件與事件C相互獨(dú)立D．事件A與事件D相互獨(dú)立10．已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象D．函數(shù)在上的最小值為11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（

）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積不變?nèi)?、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)_____.13．某汽車站每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級(jí)的客車，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前往省城辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過(guò)一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，則他乘上上等車的概率為.14．等腰三角形ABC的腰，，將它沿高AD翻折，使二面角成60°，此時(shí)四面體ABCD外接球的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖是一個(gè)正四棱臺(tái)的石料，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和，高.

(1)求四棱臺(tái)的表面積；(2)若要這塊石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，求圓臺(tái)的體積.16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，.(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；(2)判斷四邊形的形狀，并求出其周長(zhǎng).17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.18．首次實(shí)施新高考的八?。ㄊ校┯?021年1月23日統(tǒng)一舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績(jī)，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段，，，，分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）求出圖中的值并估計(jì)本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例）；（Ⅱ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)；（Ⅲ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù).19．如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，M是棱BB1上一點(diǎn).(1)求證：B1D1∥平面A1BD；(2)求證：MD⊥AC；(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

答案1．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限.故選A.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于，結(jié)合已知條件求出，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，設(shè)向量的夾角為，所以，所以.故選B.【思路導(dǎo)引】由題目條件可得，即，利用向量夾角公式，將代入即可計(jì)算出夾角為.3．【正確答案】C【分析】利用分層抽樣的定義直接求解即可.【詳解】由題意可得抽取30人中青年員工有人.故選C.4．【正確答案】C【分析】利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，，所以的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.故選C.5．【正確答案】C【分析】利用余弦定理可得，再結(jié)合條件利用正弦定理及余弦定理可得，即得.【詳解】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形為等邊三角形.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件a2＋b2－c2＝ab，結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)題目條件2cosAsinB＝sinC，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得，即可判斷出三角形為等邊三角形.6．【正確答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選D.【思路導(dǎo)引】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得是偶函數(shù)，利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出的最大值為.7．【正確答案】A【分析】首先證明平面，可得與平面所成角為，即得.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以?因?yàn)?，，所以平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，，所?故選A.8．【正確答案】A【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以.故選A.【思路導(dǎo)引】由題可知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，則，即可得到a、b、c的大小關(guān)系.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A:A,B相互獨(dú)立,,A正確；對(duì)于B：基本事件共有18種，事件C包括2種情況,,B正確；對(duì)于C:由，得相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:由，得相互獨(dú)立，D正確.故選ABD.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)和差角公式化簡(jiǎn)結(jié)合對(duì)稱性可得，代入即可驗(yàn)證對(duì)稱軸，進(jìn)而判斷A；根據(jù)整體范圍即可判斷單調(diào)性求解B；根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可判斷C；利用整體法求解，即可求解最值判斷D.【詳解】的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故，則，所以，由于，所以， 對(duì)于A：，所以直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝的圖象，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對(duì)于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對(duì)于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，所以，因?yàn)樵谡叫沃校峙c為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，同理可得，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.

對(duì)于B，連接，，如圖，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以與所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，?dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最小值；當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)到平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】-3【分析】利用補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧希?，所以A={0,3}，故m=-3.故-3.13．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由列舉法可得所有可能的客車通過(guò)順序的情況，以及該人可以乘上上等車的情況，由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案.【詳解】據(jù)題意，所有可能的客車通過(guò)順序的情況為（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、中、上），（下、上、中），共6種，其中該人可以乘上上等車的情況有（中、上、下），（中、下、上），（下、上、中），共3種，則其概率為.故答案為.14．【正確答案】/【分析】根據(jù)題意，作出翻折前后的圖形如圖，由題設(shè)二面角迅速判斷是等邊三角形，作出其外心和四面體ABCD外接球球心，通過(guò)直角梯形，列方程組即可求得外接球半徑.【詳解】如圖所示，圖1為等腰三角形ABC，是底邊上的高，現(xiàn)沿著高翻折，使二面角成60°，得到圖2.因平面，則平面，且即二面角的平面角，即，因，故是等邊三角形，設(shè)的外心為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面，使點(diǎn)為四面體ABCD外接球球心，設(shè)外接球半徑為，由正弦定理，解得，則，，在直角梯形中，，解得，故四面體ABCD外接球的體積為.故/.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）求出側(cè)面的斜高，得到側(cè)面積，再與上下底面積求和得到表面積；（2）最大的圓臺(tái)是上、下底面圓與棱臺(tái)上、下底面正方形相切，高為棱臺(tái)的高時(shí)，求其體積即可.【詳解】（1）如下圖，正四棱臺(tái)側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以四棱臺(tái)的表面積.

（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，則圓臺(tái)的上、下底面圓與正四棱臺(tái)的上、下底面正方形相切，高為正四棱臺(tái)的高.則圓臺(tái)上底面圓半徑，下底面圓半徑，高，則圓臺(tái)的體積為.16．【正確答案】(1)，；(2)四邊形為等腰梯形，周長(zhǎng)為8.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及可求的坐標(biāo)，根據(jù)可求的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量坐標(biāo)關(guān)系及長(zhǎng)度關(guān)系，得出四邊形為等腰梯形，根據(jù)各邊長(zhǎng)可求周長(zhǎng).【詳解】（1）在平面直角坐標(biāo)系中，由，知，又，，設(shè)，則，，點(diǎn)，又，，點(diǎn).（2）由（1）可得，，，，，，又，，四邊形為等腰梯形，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為8.17．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；方法二：不妨設(shè)，則，利用正弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；方法三：利用余弦定理可得，利用換元法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴周長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為.[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理得，即，令，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最大值為.18．【正確答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）120；（Ⅲ）眾數(shù)為100，平均為.【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，求得，進(jìn)而得到及格率；（Ⅱ）分別求得在110以下和130以下的學(xué)生所在比例，結(jié)合百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，即可求解；（Ⅲ）結(jié)合頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得,所以及格率為.（Ⅱ）得分在110以下的學(xué)生所在比例為，得分在130以下的學(xué)生所占比例為，所以第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，估計(jì)第80百分位數(shù)為120.（Ⅲ）由圖可得，眾數(shù)估計(jì)值為100，平均數(shù)估計(jì)值為.19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)M為棱BB1的中點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)四邊形BB1D1D是矩形，可得B1D1∥BD，即得；（2）證明AC⊥平面BB1D，即得；（3）取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于點(diǎn)O，連接OM，BN，證明OM⊥平面CC1D1D，即得.【詳解】（1）在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是矩形，所以B1D1∥BD，而BD?平面A1BD，平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.（2）因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，又因?yàn)锽D⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD?平面BB1D，