安徽省定遠(yuǎn)2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/安徽省定遠(yuǎn)2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知，則（）A.7 B.21 C.35 D.42【正確答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)建立方程解得的值，利用組合數(shù)的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由，則或，解得或，所以.故選：B.2.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的（）A.在上單調(diào)遞增B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增【正確答案】C【分析】由的增減性與的正負(fù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，【詳解】時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，顯然C正確，其他選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.3.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先在中令，得到關(guān)于和的式子.再對(duì)求導(dǎo)后令，得到關(guān)于和的式子，從而求出.把代回表達(dá)式，求出.確定與的表達(dá)式.則判斷A，B；對(duì)再求導(dǎo)得，發(fā)現(xiàn)，說明遞增.又知，所以不恒大于等于，判斷C；由情況可知在取最小值，求出，判斷D.詳解】已知，令可得：對(duì)求導(dǎo)得，令可得：，可得.將代入可得，再令可得：，因?yàn)?，所以，解?

代入與的表達(dá)式中，可得：

A選項(xiàng)：由前面計(jì)算可知，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)：前面已求得，所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)：對(duì)設(shè)，求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以，這表明在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即不恒成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)：由前面分析可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，所以不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.4.將編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球，要使得恰有1個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同，則有（）種不同的放球方法.A.20 B.15 C.12 D.8【正確答案】D【分析】分步乘法原理，先確定唯一一個(gè)編號(hào)相同的盒子，再計(jì)算與之編號(hào)不同的盒子可得.【詳解】分步計(jì)算，先確定唯一一個(gè)編號(hào)相同的盒子，有種；再將剩下的小球放入與之編號(hào)不同的盒子中，有2種方法，所以一共有種.故選：D.5.若，，，則以下不等式正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合作差法比較即可.【詳解】因?yàn)?，令，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，又，所以，所以，?故選：D.6.已知集合，直線中的是取自集合中的三個(gè)不同元素，并且該直線的傾斜角為銳角，符合以上所有條件的直線的條數(shù)為（）A.40 B.32 C.24 D.23【正確答案】D【分析】根據(jù)題意按照順序分別將的選法種類逐一確定，再除去不合題意的即可.【詳解】由直線的傾斜角為銳角可知斜率一定存在，可得，且，所以異號(hào)，從集合中任取三個(gè)不同元素，且異號(hào)，易知有4種選法，有2種選法，有3種選法，共有種，又因?yàn)楫?dāng)和時(shí)，都表示直線，所以符合條件的直線的條數(shù)為種.故選：D7.以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，其中稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的“中值點(diǎn)”．請(qǐng)問函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】根據(jù)定義，帶入拉格朗日中值定理，令，找到，解方程，【詳解】由拉格朗日中值定理，，則，則，合題，共2個(gè)解，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把不等式只有一個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)整數(shù)解，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)整數(shù)解，即只有一個(gè)整數(shù)解，令，則的圖象在直線的上方只有一個(gè)整數(shù)解，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且，作出的圖象，由圖象可知a的取值范圍為，即.故選：B本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象及應(yīng)用，其中解答中把不等式的解轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)整數(shù)解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得到答案．【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術(shù)研究國家競爭力排名》的報(bào)告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機(jī)等二十多個(gè)領(lǐng)域．報(bào)告顯示，中國在其中19個(gè)領(lǐng)域處于領(lǐng)先．某學(xué)生是科技愛好者，打算從這19個(gè)領(lǐng)域中選取A，B，C，D，E這5個(gè)領(lǐng)域給班級(jí)同學(xué)進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（）A.A，B都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B.A不在第一天，B不在最后一天介紹方法種數(shù)為92C.A，B相隔一天介紹的方法種數(shù)為36D.A在B，C之前介紹的方法種數(shù)為40【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，在后3天中選擇2天，將和剩余的3天進(jìn)行全排列，相乘后得到A正確；B選項(xiàng)，分在最后一天進(jìn)行介紹和不在最后一天進(jìn)行介紹兩種情況，求出方法數(shù)相加后得到答案；C選項(xiàng)，采取插空和捆綁法進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，倍縮法進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，若在最后一天進(jìn)行介紹，則將剩余4個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，有種方法，若不在最后一天進(jìn)行介紹，從3天中選擇1天安排，再從除了最后一天的剩余3天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個(gè)領(lǐng)域和3天進(jìn)行全排列，有種選擇，則此時(shí)有種選擇，綜上，不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先把進(jìn)行全排列，再從選擇1個(gè)放在之間，有種方法，再將這三個(gè)領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，故C正確；D選項(xiàng)，進(jìn)行全排列，共有種方法，將進(jìn)行全排列，共有種方法，其中在，之前的有2種，故120種排列中，在，之前的有種，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.極大值點(diǎn)僅有一個(gè)C.無最大值，有最小值D.當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有3個(gè)實(shí)根【正確答案】BC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，函數(shù)在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)僅有1個(gè)極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無最大值，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有4個(gè)實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，則________．【正確答案】【分析】應(yīng)用賦值法求所有項(xiàng)系數(shù)之和.【詳解】令，則.故1613.已知，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為______．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，畫出函數(shù)圖象，并將函數(shù)的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，恒為正，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，畫出的圖象如下：要想關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則要函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)即可，顯然當(dāng)時(shí)，符合要求.故14.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.【正確答案】##【分析】把已知等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性得的關(guān)系，這樣把轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得極值即可得解．【詳解】由得，所以，則，因?yàn)?，，，所?令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故四?解答題：本題共5小題.共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知在的展開式中，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；【正確答案】（1）；（2）常數(shù)項(xiàng)為60，為第5項(xiàng).【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)之比列式求解即可；（2）求出展開式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)等于零，即可得解．【小問1詳解】依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，∴，即，由，解得；【小問2詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，解得，∴，∴常數(shù)項(xiàng)為60，為第5項(xiàng).16.已知函數(shù).（1）若在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求在上的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）三次函數(shù)在上不單調(diào)，只需導(dǎo)函數(shù)判別式大于0即可；（2）先判斷單調(diào)性，再結(jié)合端點(diǎn)值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以方程有兩個(gè)不同的根，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.小問2詳解】因?yàn)?，所?由，得或，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，，所以在上的值域?yàn)?17.現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）4名男學(xué)生互不相鄰；（2）老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；（3）2名老師之間有男女學(xué)生各1人.【正確答案】（1）2880（2）96（3）3840【分析】（1）利用插空法，先排老師和女學(xué)生，最后排剩余的4名男學(xué)生即可.（2）特殊元素優(yōu)先安排求解即可.（3）先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.【小問1詳解】先排老師和女學(xué)生共有種站法，再將男生插入到五個(gè)空中，有種，所以共有種不同的站法．【小問2詳解】由題意可得共種不同的站法．【小問3詳解】先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，有種站法，兩老師的站法有種，再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的站法．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)在處的切線是時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間，極小值，無極大值.（2）【分析】（1）根據(jù)切線求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）由不等式分離參數(shù)，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】，若在處的切線是，則，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值.【小問2詳解】依題意，①在上有解，①可化為，設(shè)，，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)函數(shù)值為，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增；所以，所以的取值范圍是.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【正確答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）依題可知恒成立，參變分離后，求函數(shù)最值即可；（2）（i）根據(jù)條件可知有兩個(gè)不同的正跟，列出方程組解出即可；（ii）根據(jù)（i）條件，不等式可以轉(zhuǎn)化為，變形后，設(shè)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.【小問1詳解】由題知，在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故.【小問2詳解】(i)由題設(shè)且，若，則在上恒成立，即