福建省福州市2023−2024學年高一下冊期末考數(shù)學試卷附解析VIP

/福建省福州市2023?2024學年高一下冊期末考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部（

）A． B．1 C． D．2．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80，其平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關系是（

）A．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù) B．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù)C．第60百分位數(shù)眾數(shù)平均數(shù) D．平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù)3．已知平面直角坐標系內(nèi)兩向量，則“”是“向量與夾角為銳角”的什么條件（

）A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要4．已知用斜二測畫法畫得的正方形的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為（

）A． B． C． D．5．中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．7．已知向量，滿足，，向量在向量方向上的投影向量為，則（

）A．3 B． C．2 D．8．在中，角所對的邊分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，有，則C．若，則符合條件的有兩個D．若，則為等腰三角形二、多選題（本大題共3小題）9．在中，，為的中點，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．某圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則下列關于此圓錐的說法正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為B．圓錐的體積為C．過圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8D．圓錐軸截面的面積為11．如圖，正方體的棱長為，，是線段上的兩個動點，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面C．的面積與的面積相等D．三棱錐的體積為定值三、填空題（本大題共3小題）12．一只田徑隊有男運動員56名，女運動員有42名，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本.如果樣本按比例分配，則男運動員應抽取名、女運動員應抽取名.13．在5張中有2張有獎，甲、乙先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為.14．已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且，點是邊上的中點，若，則的面積最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知．（1）求與的夾角；（2）若，且，求實數(shù)t及．16．在中，，，.(1)求的面積；(2)求c及的值.17．他指出：“要健全社會心理服務體系和疏導機制、危機干預機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關心理疏導起到了重要作用.某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導.據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導后的恢復情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機構(gòu)與該市管理部門設定的預案是:以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=問卷調(diào)查評分/100)18．如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.(1)求側(cè)面與底面所成的二面角的大小；(2)若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；(3)在（2）的條件下，問在棱上是否存在一點，使側(cè)面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由.19．在復數(shù)集中有這樣一類復數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復數(shù)，時它們在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱，這是共軛復數(shù)的特點．它們還有如下性質(zhì)：(1)設，，求證：是實數(shù)；(2)已知，，，求的值；(3)設，其中，是實數(shù)，當時，求的最大值和最小值．

答案1．【正確答案】B【分析】利用復數(shù)的除法運算求出即可作答.【詳解】依題意，，所以的虛部是1.故選B.2．【正確答案】D從數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80中計算出平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)，進行比較即可.【詳解】平均數(shù)為，，第5個數(shù)50即為第60百分位數(shù).眾數(shù)為50，它們的大小關系是平均數(shù)第60百分位數(shù)眾數(shù).故選D.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角，可得且排除同向共線情況，計算得到，然后根據(jù)充分條件、必要條件判斷即可.【詳解】若夾角為銳角，則，當同向共線時，，則，因為，所以不存在，故.所以且不同向共線夾角為銳角，所以“”是“向量與夾角為銳角”的充要條件.故選A.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應邊長關系，即可求出相應的面積．【詳解】設原正方形的邊長為，

根據(jù)斜二測畫法的原則可知，，高，所以對應直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為.故選C.5．【正確答案】D【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式以及圓的面積公式即可求解每個面的面積,進而可求表面積.【詳解】此幾何體為兩個半圓柱的組合體：一個大的半圓柱中間挖去一個小的同軸半圓柱，.故選D.6．【正確答案】D【分析】由外接球球心在正棱錐的高上，求得外接球的半徑后可得表面積．【詳解】由已知是正三棱錐，設是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設外接球半徑為，為的中心，所以，所以，由，得，解得，所以表面積為．故選D．【關鍵點撥】解題關鍵是得到外接球球心，求出球半徑．三棱錐的外接球球心在過各面外心與該面垂直的直線上．本題中如果求得是負數(shù)，說明點位置在相反方向，并不是說不存在.7．【正確答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義求出，再由數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量為，，所以，所以．因為，所以，所以（負值舍去）．故選B．8．【正確答案】B【分析】對于A，根據(jù)余弦定理，只能判定A為銳角；對于B，移項后，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導公式即得結(jié)論；對于C，由已知條件為兩邊一夾角，可判定錯誤；對于D，根據(jù)正弦定理把等式的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得，進而推斷，或，即可判定．【詳解】對于A：若，則，A為銳角，不能判定為銳角三角形，故A錯誤；對于B：若為銳角三角形，有，則，所以，故B正確；對于C：知道兩邊一夾角，則符合條件的三角形有且只有一個，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，所以或即，所以為等腰或直角三角形，故D錯誤．故選B．9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算，以及向量的數(shù)量積運算可判斷各個選項.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：因為為的中點，所以，故B正確；對于C：易知，所以，故C正確；對于D：，而，故D錯誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】對于A，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面開圖的弧長可求得圓心角；對于B，根據(jù)題意求出圓錐的高，從而可求出圓錐的體積；對于C，利用三角形面積公式結(jié)合圓錐軸截面的性質(zhì)分析判斷；對于D，直接利用三角形面積公式計算.【詳解】對于A：設圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，故A正確；對于B：圓錐的底面半徑為3，母線長為4，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故B錯誤.對于C：設圓錐的兩條母線的夾角為，則過這兩條母線所作截面的面積為，因為過圓錐母線的截面中，軸截面三角形對應的最大，此時，所以最大是鈍角，所以當時，截面的面積最大，最大值為8，故C正確；對于D：圓錐軸截面的面積為，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項；利用三角形的面積公式可判斷C選項；利用錐體的體積公式可判斷D選項.【詳解】對于A：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面，而平面，則，連接，又因為四邊形為正方形，所以，因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B：因為平面平面，平面，則平面，故B正確；對于C：設，取的中點，連接，，

由A選項可知平面，即平面，又平面，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，因為，分別為，的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，所以四邊形為矩形，則，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D：因為的面積為，因為平面，所以點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】先計算得到抽取比例為，再計算得到答案.【詳解】田徑隊運動員的總?cè)藬?shù)是，要得到28人的樣本，占總體的比例為，于是應該在男運動員中隨機抽取(名)，在女運動員中隨機抽取(名).13．【正確答案】【分析】根據(jù)分類加法和分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】分兩類情況討論：①甲中獎：；②甲未中獎.所以乙中獎的概率.14．【正確答案】【分析】利用余弦定理可求得的值，進而求得角的值，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以.所以，解得.，所以，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，的最大值為，所以.【方法總結(jié)】在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.15．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出，由數(shù)量積的運算律求得可得向量夾角；（2）計算，由，求出，然后由數(shù)量積的運算求出．【詳解】（1）由已知，，所以，又，所以；（2）由題意，解得，所以，，所以．【思路導引】求向量的模，通常把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算，根據(jù)是．16．【正確答案】(1)(2)，【分析】（1）利用平方關系求得，應用三角形面積公式求的面積；（2）余弦公式求c，再應用正弦定理求.【詳解】（1）由且，則，所以；（2）由，則，而，則.17．【正確答案】（1）2000，（2）（3）只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見詳解【分析】（1）由調(diào)查評分在的市民為人及頻率可得樣本容量；根據(jù)頻率和為1可得t；（2）由（1）知，根據(jù)調(diào)查評分在有人，有人，計算出心理等級均達不到良好的概率，由對立事件的概率可得答案；（3）由頻率分布直方圖估計市民心理健康問卷調(diào)查的平均評分及平均值與0.8作比較可得答案.【詳解】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標的和乘以組距為1，所以，解得；（2）由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人，因為經(jīng)過心理疏導后的恢復情況相互獨立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導后，心理等級均達不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為；（3）由頻率分布直方圖可得，估計市民心理健康問卷調(diào)查的平均評分為，所以市民心理健康指數(shù)平均值為，所以只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在，是的等分點，靠近點的位置【分析】（1）取中點，連接，，由正四棱錐的性質(zhì)知為所求二面角的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角，設，求出的值，即可得解；（2）依題意連接，，可知為異面直線與所成的角，證明出，計算出，的長，即可求得結(jié)果；（3）延長交于，取的中點，連接，，易得平面，可得平面平面，分析出為正三角形，易證平面，取的中點，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點，連接，，由正四棱錐的性質(zhì)可知平面，平面，，由正四棱錐的性質(zhì)可知,，，為所求二面角的平面角.平面，為側(cè)棱與底面所成的角，，設，則，，，，，；（2）連接，，分別為的中點，，，為異面直線與所成的角.平面，平面，則，，，平面，平面，又平面，.，；（3）延長交于，則為的中點，連接，取的中點，連接，.，為的中點，，由（1）可知，，又，，，平面，平面，平面，平面平面，由正四棱錐的性質(zhì)可知，，又，為正三角形，為的中點，則，又平面平面，平面平面，平面，平面，取的