廣西南寧市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)5月段考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/廣西南寧市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)5月段考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．若a，b是異面直線，且平面，那么b與平面的位置關(guān)系是（）A． B．b與相交 C． D．以上三種情況都有可能3．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．4．已知分段函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．如圖所示，某三角形的直觀圖是斜邊長(zhǎng)等于2的等腰直角三角形，則原三角形OAB的面積等于（）A．1 B．2 C． D．46．若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為、半徑為4的扇形，則這個(gè)圓錐的體積是（）A． B． C． D．7．在中，點(diǎn)O滿足，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)，，則的最小值是（）A．3 B．1 C． D．8．如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，則三棱錐的體積為（）A．12 B．6 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。9．一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．MN與AB是異面直線 D．BF與CD成角10．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，O是線段的中點(diǎn)，以下關(guān)于直線BO的結(jié)論正確的有（）A．與平面平行 B．與直線AC垂直C．與直線所成角為 D．與平面的距離為11．在正三棱柱中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若3，則正三棱柱外接球的表面積為B．若，在正三棱柱中放一個(gè)最大的球，該球的體積為C．若往正三棱柱中裝水，當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)AC，BC，，的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高度為D．若D是的中點(diǎn)，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則它的側(cè)面積為_(kāi)_______．13．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)，滿足，且，則________．14．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．四、解答題：共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）已知平面向量，滿足，，且．（1）求與的夾角；（2）設(shè)與方向相同的單位向量為，求向量在向量上的投影向量．16．（本小題滿分15分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足．（1）求角A的大小；（2）若，D為BC的中點(diǎn)且，求的面積．17．（本小題滿分15分）如圖，圓臺(tái)上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為，AB為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓上點(diǎn)C滿足，是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)P，C在平面的同側(cè)，且．（1）證明：平面PAC；（2）若圓臺(tái)的高為2，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，，且將函數(shù)的圖象向左平移單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，求的值．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、k（），使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對(duì)稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)．（1）若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)；（2）若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)，求的取值范圍．

2023級(jí)高一下段考數(shù)學(xué)試題答案1．C【詳解】由題目可知，，∴，在全集中，的補(bǔ)集為，答案為C．2．D【詳解】在長(zhǎng)方體中，平面ABCD視為平面，直線為直線a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，如圖，顯然有平面，當(dāng)直線b為直線AD時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)；因，平面，平面，則，當(dāng)直線b為直線EF時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)；當(dāng)直線b為直線時(shí)，直線a，b是異面直線，此時(shí)b與a相交，所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi)．故選：D．3．B【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量，由，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，解得或，則．故選：B．4．B【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，，圖像為折線，畫(huà)出分段函數(shù)圖像和直線的圖像即可求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，答案為B．5．C【詳解】中，，，則中，，，，則面積為，故選：C．6．B【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，所以．所以圓錐的高為，體積為，故選：B．7．D【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)镸、O、N三點(diǎn)共線，所以．所以．所以，所以當(dāng)，時(shí)，有最小值為．故選：D．8．B【詳解】如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，平面BDEF，所以平面BDEF，又因?yàn)椋^(guò)F作于G，可得四邊形BDGF為矩形，則，，所以，，，由余弦定理得，所以，所以，所以．故選：B．9．ACD【詳解】解：將正方體還原，如圖所示：由圖可知，A正確；B不正確；C正確；D．BF與CD平行，所以BF與CD成角正確．故選：ACD．10．ABD【詳解】因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，而平面，故平面，選項(xiàng)A正確；因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，而平面，故，選項(xiàng)B正確；由于，所以BO與所成角就是直線BO與直線所成角，因?yàn)?，，，所以，所以，即BO與直線所成角為，選項(xiàng)C不正確；由選項(xiàng)A可知，BO與平面的距離就是點(diǎn)B到平面的距離．設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，由，得，即，解得，即BO與平面的距離為，選項(xiàng)D正確，故選：ABD．11．【詳解】ACD．如圖，O是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的外心，是的外心，由得，，，．B．用平行于底面的平面過(guò)球心截得的圖形，恰好是正三角形和它的內(nèi)接圓，如圖，設(shè)h是正三角形的高，由正三角形重心的性質(zhì)，可得內(nèi)接圓的半徑，，所以．C．用平行于底面當(dāng)三棱柱的側(cè)面水平放置時(shí)，有水部分是四棱柱，高為原三棱柱的高，高為，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高假設(shè)為h，由已知條件，四棱柱與三棱柱的底面面積之比為，假設(shè)四棱柱和三棱柱的底面面積分別為3a，4a（），由水的體積不變可得，．D．∵，D是的中點(diǎn)，．由正三棱柱的性質(zhì)得，∵，平面，又平面，所以．12．100【詳解】∵上底的邊心距為1，下底的邊心距為4，高是4，∴斜高為，故側(cè)面積等于．故100．13．【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)?，且，所以為等腰直角三角形，且．作正方形AOBC，如圖所示，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故．故．14．【詳解】因?yàn)樵O(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意，都有，所以關(guān)于對(duì)稱，且，所以，即的周期是4，又由函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，可得函數(shù)與（且）的圖像在上恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，又，，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上，．15．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）解：∵，∴1分，即2分，又，，∴3分，∴4分，又向量夾角范圍是5分，∴與的夾角為6分；（2）解：∵9分，∴向量在向量上的向量為13分．16．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?分又因?yàn)樵谥?，有?分所以，化簡(jiǎn)得．5分因?yàn)?，所以，所以，于是?分因?yàn)?，所以?分（2）方法1：由題意知：9分將上式兩邊平方得：，即11分又，所以，13分可得．15分方法2：由D為BC的中點(diǎn)，可得．8分又，所以，9分在和中，根據(jù)余弦定理得．11分又，所以，13分可得．15分17．【詳解】（1）取AC中點(diǎn)M，連接PM、1分由題意，，，2分又，故，．3分又，，故，，4分所以四邊形為平行四邊形，則．5分由平面APC，故平面APC，6分故平面PAC．7分（2）由題意得，為圓臺(tái)的高，所以平面ABC．8分由（1）得，，所以平面ABC，所以．10分又，，平面PAC，∴平面PAC，∴為直線PB與平面ABC所成角．12分由題意得，，在中，，13分在中，，14分∴，即直線PB與平面PAC所成角的正弦值為．15分18．【詳解】解：（1）由題，4分所以的最小正周期為，由得，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，6分（2）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則，7分若函數(shù)是奇函數(shù)，則．8分因?yàn)?，所以，從而，解得?0分（3）由題知，則，，從而，，因此，因?yàn)?，且，所以，因此，，所以，所以?7分19．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，，2分即，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，3分只有，，故函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)為，4分（2）若，則，