練素養(yǎng) 類比變換法在探究動態(tài)圖形中的應(yīng)用VIP

蘇科版八年級上第一章全等三角形類比變換法在探究動態(tài)圖形中的應(yīng)用練素養(yǎng)12溫馨提示：點擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接1【2023·常州二十四中月考】如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過點A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E.(1)求證：BD＝DE＋CE.證明：∵BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD.(2)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置(BD<CE)時，其余條件不變，則BD與DE，CE的關(guān)系如何？請予以證明．解：BD＝DE－CE.證明：∵BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD.∴∠ABD＝∠CAE.(3)若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置(BD>CE)時，其余條件不變，則BD與DE，CE的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不需證明．解：BD＝DE－CE.(4)根據(jù)以上的討論，請用簡潔的語言描述BD與DE，CE的關(guān)系．解：歸納(1)(2)(3)可知，結(jié)論描述為：當(dāng)B，C在直線AE同側(cè)時，BD＝DE－CE.當(dāng)B，C在直線AE異側(cè)時，若BD>CE，則BD＝DE＋CE；若BD<CE，則BD＝CE－DE.2在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，點A在CB的延長線上，且AB＝BC，點E在直線BD上運動，連接AE，過點E作射線EF⊥AE，交CD所在的直線于點F.(1)如圖①，當(dāng)點E在線段BD上運動時，求證：AE＝EF；證明：在BA上取一點H，使得BH＝BE，連接HE.因為AB＝BC，BC＝BD，所以AB＝BD，即AB－BH＝BD－BE.所以AH＝ED.因為∠ABD＋∠CBD＝180°，∠CBD＝90°，所以∠ABD＝90°.所以∠AEB＋∠HAE＝90°.因為AE⊥EF，所以∠AEF＝90°.又∠AEB＋∠AEF＋∠DEF＝180°，所以∠AEB＋∠DEF＝180°－∠AEF＝90°.所以∠HAE＝∠DEF.因為∠ABE＝∠CBD＝90°，BC＝BD，BH＝BE，所以△BEH與△CBD均為等腰直角三角形．所以∠BHE＝∠BDC＝45°.又∠AHE＋∠BHE＝180°，∠EDF＋∠BDC＝180°，所以∠AHE＝∠EDF.(2)如圖②③，當(dāng)點E在線段DB的延長線及其反向延長線上運動時，線段AE與EF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由．解：AE＝EF.理由如下：如圖①，在BC上取一點G，使BG＝BE，連接GE.同(1)，得∠AGE＝∠EDF＝45°，AB＝BD.所以AB＋BG＝BD＋BE，即AG＝ED.因為∠ABE＝∠CBD，∠CBD＝90°，所以∠ABE＝90°，即∠