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和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

①（和-差）+2:

較小數(shù)

較小數(shù)十差二較大

數(shù)

和?較小數(shù)二較大

和+（倍數(shù)+1戶小數(shù)差?（倍數(shù)-1尸小數(shù)

數(shù)

公式小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

②（和+差）+2=

和-小數(shù)二大數(shù)小數(shù)+差二大數(shù)

較大數(shù)

較大數(shù)-差二較小

數(shù)

和-較大數(shù)二較小

數(shù)

求出同一條件下的

關(guān)鍵問題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的;

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

幾年后的年齡二大小年齡差?倍數(shù)差一小年齡

幾年前年齡=小年齡一大小年齡差+倍數(shù)差

歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語

來表示。

關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

植樹問題

在直線或者不封閉在直線或者不封在直線或者不封閉的

封閉曲線

基本類型的曲線上植樹，兩閉的曲線上植樹，曲線上植樹，只有一

上植樹

端都植樹兩端都不植樹端植樹

棵數(shù)二段數(shù)+1棵數(shù)二段數(shù)?1棵數(shù)二段數(shù)

基本公式

棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)二總長

關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)二（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）彳（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)二（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）!（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

牛吃草問題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的

差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）-T（長時間-短時間）；

總草量;較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期，

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)二總數(shù)量彳總份數(shù)

總數(shù)量二平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù):總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)二基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和小總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或

者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所有差的和；再

求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系

見基本公式②

抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物

體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情

況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多

于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按

照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其

中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=a1+(n-1)d;

通項=首項+(項數(shù)一1)x公差；

數(shù)列和公式:sn,=(a1+an)Xn-i-2;

數(shù)列和二(首項+末項)X項數(shù)+2；

項數(shù)公式：n=(an+a1)^-d+1;

項數(shù)二(末項-首項)?公差+1；

公差公式:d=(an-a1i)(n-1);

公差二(末項-首項)+(項數(shù)-1):

關(guān)鍵問題：確定已知■和未知量，確定使用的公式；

二進制及其應(yīng)用

十進制：用0?9十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的

2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-1+An-1X10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X10n-7+...

+A3X102+A2X101+A1X100

注意：N0=1；N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進制：用0?1兩個數(shù)字表示，逢2進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

(2)=AnX2n-1+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+…+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是0就是1?

十進制化成二進制：

①根據(jù)一進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)

按自下而上依次寫出即可，

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依

此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方

法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：

m1+m2...+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1

步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn

種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mlXm2Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點數(shù)-1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+???+（射線數(shù)一1）;

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)二長的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)

因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

a1<a2<a3<......<ano

求約數(shù)個數(shù)的公式:P=(r1+1)X(r2+1)X(r3+1)X........x(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

約數(shù)與倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最

大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì):

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘

以mo

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、10;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約

數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最

小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、12、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

輯轉(zhuǎn)相除法：先用較小的數(shù)除較大的數(shù)，得到第一個余數(shù)，再用第一個余數(shù)除較小的數(shù)，得

到第一個余數(shù)。又用第一個余數(shù)除第一個余數(shù)，得到第三個余數(shù)?！@樣重復(fù)下去，直到

余數(shù)為0,那么最后一個余數(shù)即為所求的最大公約數(shù)。

數(shù)的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫

做a能被b整除或b能整除a,記作b|ao

2、常用符號：整除符號，不能整除符號"”；因為符號所以的符號“J”；

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c乜能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q......r,且O〈r〈b,那么r叫做a除

以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-ao

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a=b（modm）,

讀作a同余于b模m。

二、同余的性質(zhì)：

①如果a、b除以n的余數(shù)相同，那么a與b的差能被n整除。

②a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之和（或這個積除以c的余數(shù)：

③a與b的和除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之和（或這個積除以c的余數(shù)）

④a與b的差除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之差（或這個差除以c的余數(shù)）

⑤如果a與b除以m的余數(shù)相同，那么a（n次方）與b（n次方）除以m的余數(shù)也相同。

三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

①若A=axb,貝I」MA=MaXb=（Ma）b

②若B=c+d貝ijMB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n（mod9）或（mod3）;

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的

和，則M三Y-X或M三11-（X-Y）（mod11）;

五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，貝ijap-1三11mod

P)O

分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用

基本概念與性質(zhì)：

分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。

②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)

換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的

分率。常見的處理方法是眄定不同的標準為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況

成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而

這個量是始終固定不變的、有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變cB、總量發(fā)生

變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

解一般分數(shù)應(yīng)用題時的方法：

①先尋求單位“1”：“的”的前面、“相當于”“是”“比”的后面的名詞即是單位

aAI”o

②單位“1”有具體數(shù)字時，（帶量的數(shù)字）要用乘法，反之用除法。

③單位“1”不統(tǒng)一時，要先統(tǒng)一單位“1”再做題。（統(tǒng)一單位“1”一般統(tǒng)一為總■或不

變量）

④通常解決分數(shù)應(yīng)用題即找具體數(shù)值所針對的分數(shù)

分數(shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以

用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法:利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

分數(shù)拆分

一、將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

①二十；

②=+（d為自然數(shù)）；

完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式:X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式:（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

比和比例

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程二速度X時間；路程+時間;速度；路程?速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間二相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間二路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間

逆水行程二（船速-水速）X逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度二船速-水速

靜水速度二（順水速度+逆水速度）+2

水速=（順水速度-逆水速度）4-2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：兩車從追及到離開的時間;長度和+速度差。

兩車從相遇到離開的時間;長度和+速度和

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度

和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。

工程問題

基本公式：

①工作總量:工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間:工作總呈小工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)）,利用

上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。

經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。

邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題

設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假

設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表來輔

助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不

同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的

關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B

兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)的計算，根據(jù)

計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情

況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。

幾何面積

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、

翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記

憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些總的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置

上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三

角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%o

立體圖形

名I

圖形特征表面積體積

稱

>8個頂點；6個面；相對的面相

長c?V=abh

S=2（ab+ah+bh）

等；12條棱；相對的棱相等；

方=Sh

體

正

8個頂點；6個面；所有面相等；

方S=6a2V=a3

12條棱；所有棱相等；

體

圓

S=S側(cè)+2S底

上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)

柱V=Sh

面展開后是長方形；

Stl=Ch

體

圓

下底是圓；只有一個頂點":母

S=S側(cè)+S底

稚線，頂點到底圓周卜任童一點的V=Sh

S側(cè)=rl

距離；

體

球

圓心到圓周上任意一點的距離

S=4r2V=r3

是球的半徑。

體

時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即

一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)度，即6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)度，即度。

③時針夾角公式：時X30°—分X5.5或分X5.5一時X30°

④時針和分針相重合需要的時間（分鐘數(shù)）二原來兩針間隔格數(shù)+11/12

時針與分針成直線所需要的時間（分針數(shù)）=（原來兩針間隔數(shù)±30）4-11/12

時針與分針成直角所需時訶（分鐘數(shù)）=（原來兩針間隔格數(shù)±15或45）+11/12

濃度與配比

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系,進行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量二溶質(zhì)重量+溶劑重量；

溶質(zhì)重量二溶液重量x濃度；

濃度=X100%=X100%

理論部分小練習：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系進行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

經(jīng)濟問題

利潤的百分數(shù)=（賣價■成本）?成本X100%；

賣價二成本X（1+利潤的百分數(shù)）；

成本:賣價+（1+利潤的百分數(shù)）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價二成本X（1+期望利潤的百分數(shù)）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息、二本金X利率X期數(shù)；

含稅價格;不含稅價格X（1+增值稅稅率）；

簡單方程

代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。

列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來。

列方程關(guān)鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。

等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)（除

0）,等式不變。

移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊;

移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。

加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號

里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要

改變；括號里面的數(shù)前沒有“+”或“?”的，都按有處理。

移項關(guān)鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移