廣東省廣州市白云區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

第第頁(yè)廣東省廣州市白云區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量a=(3，?6)，A．－4 B．－1 C．1 D．42．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的概率為（）A．112 B．536 C．173．已知甲組樣本數(shù)據(jù)分別為4，6，9，11，x，且平均數(shù)為7，若乙組樣本數(shù)據(jù)為7，11，17，21，2x?1，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．13 B．14 C．27 D．284．已知2?i是關(guān)于x的方程xA．p=4，q=?11 B．p=?4，q=3 C．5．已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，以直角邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體的表面積為（）A．π3 B．2π C．(26．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為3 B．中位數(shù)為3，極差為3C．平均數(shù)為3，中位數(shù)為3 D．平均數(shù)為3，眾數(shù)為47．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上.先從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)共面的點(diǎn)，再?gòu)那蛎嫔先?個(gè)點(diǎn)，形成四棱錐，這些四棱錐的體積的最大值為（）A．1+36 B．66 C．38．已知點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，滿(mǎn)足PA+PB+PCA．23 B．1 C．43二、多選題9．若平面α⊥平面β，且α∩βA．交線l的垂線必垂直于平面βB．與平面α垂直的直線平行于平面β或在平面β內(nèi)C．平面α內(nèi)的任一條直線必垂直于平面β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線D．過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β10．已知A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，若P(AB)=2A．事件A與B互為對(duì)立 B．事件A與B相互獨(dú)立C．P(A∪11．設(shè)z1，z2，z3A．若z1z3=z2zC．若|z1?z2|=12．在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD=λA．若λ=1B．若λ=1C．若λ∈[D．若λ∈[三、填空題13．某市2023年6月某一周的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：35548086728558這一周空氣質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)為.14．已知復(fù)數(shù)z=1?i1+四、雙空題15．在△ABC中，已知AB=2，AC=62，∠BAC=45°，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，則AD=，sin五、填空題16．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C六、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(sinA（1）求角A；（2）若a=27，b＝4，求△18．圖1是正方形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn).將其沿對(duì)角線AC折起，連結(jié)DB，如圖2.請(qǐng)?jiān)趫D2中證明：（1）AC//（2）AC⊥DB.19．為了解某市今年高一年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，從該市高一年級(jí)學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行“擲實(shí)心球”的項(xiàng)目測(cè)試.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在2米到12米之間，把獲得的所有數(shù)據(jù)分[2，4)，[4，6（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該市今年高一年級(jí)學(xué)生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知這100名學(xué)生中有女生40名，男生60名，這40名女生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為7和2.1，這60名男生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為8.5和2.4，求這100名學(xué)生“擲實(shí)心球”成績(jī)的方差.20．甲、乙兩人參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為23，乙每輪猜對(duì)的概率為1（1）求經(jīng)過(guò)兩輪活動(dòng)，兩人共猜對(duì)2個(gè)成語(yǔ)的概率；（2）求經(jīng)過(guò)兩輪活動(dòng)，兩人猜對(duì)成語(yǔ)的個(gè)數(shù)不相同的概率.21．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：BC⊥平面AB（2）若直線AC與平面A1BC所成角為α，二面角A1?BC?A的大小為β，試判斷22．古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：S=p(p?a)(p?b（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式S=1（2）在△ABC中，a+c=8，tanB2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】若a⊥b，則3×2+-6λ=0，解得λ=1.2．【答案】B【解析】【解答】由題意可知：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，共36個(gè)基本事件，123456123456723456783456789456789105678910116789101112

記”拋擲的兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6“為事件A，包含5個(gè)基本事件，

所以PA=536.3．【答案】A【解析】【解答】設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)分別為xi，i∈1，2，3，4，5，乙組樣本數(shù)據(jù)分別為yi，i∈1，2，3，4，5，

由題意可知：xi，i∈1，2，3，4，5的平均數(shù)為x=7，且y4．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)??i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的一個(gè)根，

則2-i2+p2-i+q=2p+q+3-p+4i=0，

可得5．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為1，斜邊長(zhǎng)為2，

故所得幾何體為圓錐，且底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，

所以幾何體的表面積為π×12+π×1×2=6．【答案】D【解析】【解答】對(duì)A：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3，3，3，3，6時(shí)，滿(mǎn)足中位數(shù)為3，極差為3，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，3，4，6時(shí)，滿(mǎn)足平均數(shù)為3，中位數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若平均數(shù)為3，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6，則其余4個(gè)數(shù)的和為3×5?6=9，

而眾數(shù)為4，故其余4個(gè)數(shù)的和至少為2×4+2×1=10，

矛盾，所以D一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確.

故答案為：D.

【分析】對(duì)ABC，舉例子說(shuō)明可以含有6即可；對(duì)D，利用反證法說(shuō)明一定不含6.7．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，

所以該球的球心O是AC1與BD1的交點(diǎn)，可得該球的半徑為32，

因?yàn)閺恼襟w的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)共面的點(diǎn)作為四棱錐的底面，

所以根據(jù)正方體的性質(zhì)，只需要考慮四棱錐的底面為面ABCD與面ABC1D1兩種情況即可，

當(dāng)四棱錐的底面為面ABCD時(shí)，易得SABCD=1，

該四棱錐的高最大值為O到底面ABCD的距離加上球的半徑，即12+32，

此時(shí)該四棱錐的體積為1312+32×1=1+36；

當(dāng)四棱錐的底面為面ABC1D1時(shí)，易得8．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)镻A+PB+PC=0，則點(diǎn)P為△ABC的重心，

取BC的中點(diǎn)D，

則AP→=23AD→=23×12AB→+9．【答案】B,C【解析】【解答】對(duì)A：交線l的垂線可能不在平面α內(nèi)，所以不一定垂直于平面β，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：與平面α垂直的直線平行于平面β或在平面β內(nèi)，故B正確；

對(duì)C：取平面β內(nèi)無(wú)數(shù)條與交線垂直的直線，平面α內(nèi)的已知直線與這無(wú)數(shù)條直線垂直，故C正確；

對(duì)D：若α內(nèi)的任意一點(diǎn)取在交線l上，所作垂線可能不在平面α內(nèi)，所以不一定垂直于平面β，故D錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】對(duì)A：因?yàn)镻(AB)=29≠0，所以事件A與B不互斥，所以事件A與B不互為對(duì)立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：P(A)P(B)=23×13=29，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立，故B正確；

對(duì)C：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=23+13-29=79，故C正確；

對(duì)D：P11．【答案】A,D【解析】【解答】對(duì)A：若z1z3=z2z3，，則z1z3?z2z3=(z1?z2)z3=0，

因?yàn)閦1≠z2，則z1?z2≠0，所以z3=0，故A正確；

對(duì)B：若z1=z3，則z12=z1z3，

因?yàn)閨z1|2與z12不一定相等，所以|z1|2，z1z3不12．【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)A：因?yàn)锳D=λAC(λ∈R)，λ=12，所以AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，則csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，

在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B?θ)，則asin(B?θ)=BCsin(B?θ)=CDsin∠CDB，

因?yàn)椤螦DB=π?∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，

所以csinθ=asin(B?θ)，故A正確；

對(duì)C：因?yàn)镾△ABD+S△BCD=S△ABC，

所以12c?BDsinθ+12a?BDsin(B?θ)=12acsinB，

則sinθa+sin(B?θ)c=sin13．【答案】80【解析】【解答】把這一周空氣質(zhì)量指數(shù)從小到大排列：35，54，58，72，80，85，86，

因?yàn)?×60%=4.2，

所以這一周空氣質(zhì)量指數(shù)的第60百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，即80.

故答案為：80.

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.14．【答案】-1【解析】【解答】因?yàn)閦=1?i1+i=1?i21+i1?i=-2i2=-i15．【答案】5；3【解析】【解答】由余弦定理，得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcos∠BAC=22+(62)2?2×2×62×22=52，

即BC=213，BD=CD=13．

在△ABD中，由余弦定理，得cos∠BDA=BD2+AD2?AB22BD?AD=AD2+9213AD，

在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CDA=CD2+AD2?AC22CD?AD=AD16．【答案】7【解析】【解答】如圖，依次連接AE，EF，F(xiàn)D1，D1A，四邊形AEFD1即為所求截面，

因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為棱BC、CC1的中點(diǎn)，所以EF∥D1A，

可知ADD1?ECF為三棱臺(tái)，所以S△ADD1=12×a×a=a22，S△ECF=1217．【答案】（1）解：因?yàn)閙∥n，則sinA=且A∈(0，（2）解：由余弦定理a2=b整理得c2?4c?12=0，解得c=6或所以△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=2【解析】【分析】(1)根據(jù)向量平行可得sinA=3cosA，進(jìn)而結(jié)合同角三角關(guān)系運(yùn)算求解；

18．【答案】（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為所以EF//因?yàn)锳C?平面EFG，EF?平面所以AC//平面EFG（2）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，因?yàn)槿切蜠AC，三角形BAC均是以AC為底邊的等腰直角三角形，所以DH⊥AC，因?yàn)镈H，BH是平面所以AC⊥平面DHB，因?yàn)镈B?平面所以AC⊥DB.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形中位線可得EF//AC，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據(jù)三線合一可得19．【答案】（1）解：依題意，由頻率分布直方圖可得成績(jī)?cè)赱2，4)，[4，6)，所以0.05+0.所以該本的平均數(shù)為0.故估計(jì)該市今年高一年級(jí)學(xué)生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)為7.（2）解：設(shè)這40名女生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為x=7和s這60名男生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為y=8.5這100名學(xué)生“擲實(shí)心球”成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為z和s2則zs=2所以這100名學(xué)生“擲實(shí)心球”成績(jī)的方差為2.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率和為1求得2a=0.1，進(jìn)而結(jié)合加權(quán)平均數(shù)的公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)方差公式20．【答案】（1）解：設(shè)“甲第k(k=1，2)輪猜對(duì)”為事件A則P(記“經(jīng)過(guò)兩輪活動(dòng)，兩人共猜對(duì)2個(gè)成語(yǔ)”為事件C，則事件C有三種可能：甲全對(duì)、甲乙各對(duì)一個(gè)、乙全對(duì)，所以P(（2）解：記“經(jīng)過(guò)兩輪活動(dòng)，兩人猜對(duì)成語(yǔ)的個(gè)數(shù)不相同”為事件D，則事件D有三種可能：均全錯(cuò)、均錯(cuò)一個(gè)、均全對(duì)，所以P(所以P【解析】【分析】(1)由題意可知：共猜對(duì)2個(gè)成語(yǔ)有甲全對(duì)、甲乙各對(duì)一個(gè)、乙全對(duì)，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；

(2)事件D有三種可能：均全錯(cuò)、均錯(cuò)一個(gè)、均全對(duì)，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式以及對(duì)立事件概率運(yùn)算求解.21．【答案】（1）解：在平面ABB1A1中，過(guò)點(diǎn)A作因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面所以AD⊥平面A1BC，又BC?平面A在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥又AD∩AA1=A，AD，AA1（2）解：α<因?yàn)锳D⊥平面A1所以直線AC與平面A1BC所成角為∠ACD，即∠ACD=因?yàn)锳D⊥平面A1BC，CD?平面A1故在Rt△ACD中，tan因?yàn)锽C⊥平面ABB1A1，A所以二面角A1?BC?A的平面角為∠A1BA又AD⊥A1B，故在Rt△又BC⊥AB，所以Rt△ABC中，必有AC>AB所以ADAC<AD因?yàn)閥=tanx在(0【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面A1B