2025年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）﹣5的絕對(duì)值是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．（3分）2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品順利返回地球，我國(guó)科學(xué)家通過(guò)研究證明了月球在1960000000年前仍存在巖漿活動(dòng)．?dāng)?shù)據(jù)“1960000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．196×107 B．19.6×108 C．1.96×109 D．0.196×10103．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣14．（3分）下列長(zhǎng)度（單位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，105．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝7，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．86．（3分）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，問(wèn)何日相逢？”（鳧：野鴨．所提問(wèn)題即“野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天能夠相遇？”）如果設(shè)經(jīng)過(guò)x天能夠相遇，得（）A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝17．（3分）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x（k1＜0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜18．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）計(jì)算：5a﹣3a＝．10．（3分）分解因式：x2﹣9＝．11．（3分）如圖，AB∥CD，直線AB與射線DE相交于點(diǎn)O．若∠D＝50°°．12．（3分）如圖，長(zhǎng)為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8mm．13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半徑為2的長(zhǎng)為．14．（3分）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)p（Pa）3）的反比例函數(shù)．當(dāng)V＝1.2m3時(shí)，p＝20000Pa．則當(dāng)V＝1.5m3時(shí)，p＝Pa．15．（3分）如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線y＝a（x﹣3）2+2.5運(yùn)行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時(shí)離地面的高度OA為1.6mm．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝4，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形DAEF為平行四邊形．三、解答題（本大題共11小題，共102分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，作圖過(guò)程需保留作圖痕跡）17．（6分）計(jì)算．18．（6分）解方程．19．（6分）解不等式組．20．（8分）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫樹狀圖或列表的方法21．（10分）為了解八年級(jí)學(xué)生的體重情況，某校隨機(jī)抽取了八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，收集并整理數(shù)據(jù)后體重情況統(tǒng)計(jì)表組別體重x（kg）頻數(shù)（人數(shù)）A類x＜49.510B類49.5≤x＜59.5aC類59.5≤x＜69.58D類x≥69.5b根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）a＝，b＝；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是°；（3）若該校八年級(jí)共有1200名學(xué)生，估計(jì)體重在59.5kg及以上的學(xué)生有多少人？22．（10分）如圖，制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，需用正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片（1）現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長(zhǎng)方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)？（2）如果需要制作100個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少?gòu)堈叫斡布埰?3．（10分）如圖，港口B位于島A的北偏西37°方向，燈塔C在島A的正東方向，一艘海輪D在島A的正北方向，且B、D、C三點(diǎn)在一條直線上BD．（1）求島A與港口B之間的距離；（2）求tanC．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈）24．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a為常數(shù)．（1）若該二次函數(shù)的圖象與直線y＝2a2有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的值；（3）求證：該二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．25．（12分）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長(zhǎng)2m，面積為1.5m2．（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)正方形面積較大；（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面．請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積y（m2）與DE的長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值．26．（12分）已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圓．（1）請(qǐng)你在圖1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作△ABC的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，若⊙O的半徑為R，求證：；（3）如圖3，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BC＝7，，求CF的長(zhǎng)．27．（12分）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖，小昕同學(xué)在正方形紙板ABCD的邊AB、BC上分別取點(diǎn)E、F，且AE＝BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC，垂足為G，DE交AC于點(diǎn)P，GE交AF于點(diǎn)Q．【活動(dòng)猜想】（1）GD與GE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）證明（1）中的結(jié)論；【實(shí)踐應(yīng)用】（3）若AD＝3，AE＝1，求QF的長(zhǎng)；【綜合探究】（4）若AD＝3，則當(dāng)AP＝時(shí)，△DPG的面積最?。?/p>

2025年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案AC．DBCACA一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）﹣5的絕對(duì)值是（）A．5 B．﹣5 C． D．【解答】解：﹣5的絕對(duì)值為5．故選：A．2．（3分）2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品順利返回地球，我國(guó)科學(xué)家通過(guò)研究證明了月球在1960000000年前仍存在巖漿活動(dòng)．?dāng)?shù)據(jù)“1960000000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．196×107 B．19.6×108 C．1.96×109 D．0.196×1010【解答】解：1960000000＝1.96×109．故選：C．3．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1【解答】解：根據(jù)題意得，x+1≥0，解得x≥﹣2．故選：D．4．（3分）下列長(zhǎng)度（單位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10【解答】解：A、1+2＝4，故本選項(xiàng)不符合題意；B、2+3＞8，故本選項(xiàng)符合題意；C、3+5＝5，故本選項(xiàng)不符合題意；D、5+4＜10，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．5．（3分）如圖，在△ABC中，BC＝7，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E、BC于點(diǎn)F、G，∴EA＝EB，GA＝GC，∴△AEG的周長(zhǎng)＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7，故選：C．6．（3分）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，問(wèn)何日相逢？”（鳧：野鴨．所提問(wèn)題即“野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天能夠相遇？”）如果設(shè)經(jīng)過(guò)x天能夠相遇，得（）A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1【解答】解：根據(jù)題意得：x+．故選：A．7．（3分）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x（k1＜0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣1．當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1【解答】解：由雙曲線的對(duì)稱性得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴當(dāng)y1＜y3時(shí)，x的取值范圍為﹣1＜x＜0或x＞3．故選：C．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC，，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，，∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，∴點(diǎn)D到AC，AB的距離相等均為CD的長(zhǎng)，∴，∴，∴，∴，∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD，∴，即：，∴，∴，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）計(jì)算：5a﹣3a＝2a．【解答】解：5a﹣3a＝6a．故答案為：2a．10．（3分）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【解答】解：x2﹣9＝（x+6）（x﹣3）．故答案為：（x+3）（x﹣6）．11．（3分）如圖，AB∥CD，直線AB與射線DE相交于點(diǎn)O．若∠D＝50°130°．【解答】解：根據(jù)題意可知，AB∥CD、D，∠D＝50°，∴∠AOE＝∠D＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130．12．（3分）如圖，長(zhǎng)為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m2.4m．【解答】解：∵長(zhǎng)為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.7m，∴，故答案為：2.7．13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半徑為2的長(zhǎng)為π．【解答】解：如圖，連接OB，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴劣弧的長(zhǎng)為：，故答案為：π．14．（3分）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)p（Pa）3）的反比例函數(shù)．當(dāng)V＝1.2m3時(shí)，p＝20000Pa．則當(dāng)V＝1.5m3時(shí)，p＝16000Pa．【解答】解：設(shè)p與V之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝（k為常數(shù)，將V＝1.2，p＝20000代入p＝，得20000＝，解得k＝24000，∴p與V之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝，當(dāng)V＝1.4時(shí)，p＝，∴當(dāng)V＝7.5m3時(shí)，p＝16000Pa．故答案為：16000．15．（3分）如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線y＝a（x﹣3）2+2.5運(yùn)行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時(shí)離地面的高度OA為1.6m8m．【解答】解：由題意，OA＝1.6m，得A（5，1.6），將A（4，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得：1.6＝a（5﹣3）2+8.5，解得：，∴，令y＝0，得，解得：x2＝8，x2＝﹣7，∴OB為8m，故答案為：8．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝4，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形DAEF為平行四邊形．【解答】解：∵四邊形DAEF為平行四邊形，∴EF＝AD，DF＝AE，∵E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，∴可以看作EF是定線段，菱形ABCD在AC方向上水平運(yùn)動(dòng)，則如圖，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，過(guò)點(diǎn)E作關(guān)于線段MN的對(duì)稱點(diǎn)E'，由對(duì)稱性得BE＝BE'，∴BE+BF＝BE'+BF≤E'F，當(dāng)且僅當(dāng)E'、B、F依次共線時(shí)，此時(shí)如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，EE交MN于點(diǎn)H，菱形ABCD中，AC＝4，∴，BO＝DO＝，AC⊥BD，由題可得AC∥MN，∴由對(duì)稱性可得EH⊥HB，∴AC⊥GH，∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°，∴四邊形EOBH是矩形，∴EH＝EH＝OB＝1，∵四邊形DAEF為平行四邊形，∴DF＝AE，DF∥AC，∴GD⊥DO，∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°，∴四邊形DOEG是矩形，∴GD＝EO，GE＝DO＝1，∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝4，GE'＝GE+EH+E'H＝3，∴，即BE+BF的最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共102分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，作圖過(guò)程需保留作圖痕跡）17．（6分）計(jì)算．【解答】解：原式＝10﹣3﹣1＝7﹣1＝6．18．（6分）解方程．【解答】解：原方程去分母得：2x＝3（x+6），整理得：2x＝3x+3，解得：x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x（x+5）＝6≠0，則x＝﹣2是原方程的解．19．（6分）解不等式組．【解答】解：解不等式①得x＜2，解不等式②得x＞﹣4，所以不等式組的解集為：﹣4＜x＜2．20．（8分）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫樹狀圖或列表的方法【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，∴摸到紅球的概率為．故答案為：．（2）列表如下：紅白白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）（白，白）共有16種等可能的結(jié)果，其中6次都摸到白球的結(jié)果有9種，∴2次都摸到白球的概率為．21．（10分）為了解八年級(jí)學(xué)生的體重情況，某校隨機(jī)抽取了八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，收集并整理數(shù)據(jù)后體重情況統(tǒng)計(jì)表組別體重x（kg）頻數(shù)（人數(shù)）A類x＜49.510B類49.5≤x＜59.5aC類59.5≤x＜69.58D類x≥69.5b根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）a＝20，b＝2；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是72°；（3）若該校八年級(jí)共有1200名學(xué)生，估計(jì)體重在59.5kg及以上的學(xué)生有多少人？【解答】解：（1）樣本容量為：10÷25%＝40，故a＝40×50%＝20，b＝40﹣10﹣20﹣8＝2，故答案為：20，4；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是：360°×，故答案為：72；（3）答：估計(jì)體重在59.5kg及以上的學(xué)生約有300人．22．（10分）如圖，制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，需用正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片（1）現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長(zhǎng)方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)？（2）如果需要制作100個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少?gòu)堈叫斡布埰俊窘獯稹拷猓海?）設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個(gè)，乙種紙盒y個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：恰好能制作甲種紙盒40個(gè)，乙種紙盒80個(gè)；（2）設(shè)制作乙種紙盒m個(gè)，需要w張正方形硬紙片，根據(jù)題意得：w＝2m+（100﹣m）＝m+100，∵k＝1＞8，∴w隨m的增大而增大，又∵m≥（100﹣m），解得：m≥，∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝34時(shí)，w取得最小值．答：至少需要134張正方形硬紙片．23．（10分）如圖，港口B位于島A的北偏西37°方向，燈塔C在島A的正東方向，一艘海輪D在島A的正北方向，且B、D、C三點(diǎn)在一條直線上BD．（1）求島A與港口B之間的距離；（2）求tanC．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈）【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD，∵AC⊥AD，∴BM∥AC，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，AC＝6km，∴，得，在Rt△ABM中，由，得AB＝4，答：島A與港口B之間的距離為8km；（2）在Rt△ABM中，，∵△BDM∽△CDA，∴，∴，在Rt△ADC中，．24．（10分）已知二次函數(shù)y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a為常數(shù)．（1）若該二次函數(shù)的圖象與直線y＝2a2有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求a的值；（3）求證：該二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【解答】（1）解：∵二次函數(shù)y＝x2+2（a+2）x+3a2﹣7a+3中，1＞2，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，∵二次函數(shù)的圖象與直線y＝2a2有兩個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)的最小值小于3a2，則，即4a2﹣4a+5＜2a2，解得；（2）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝4（a+2）2﹣4×7×（3a2﹣4a+3）＝﹣8a5+16a﹣8＝﹣8（a﹣3）2≥0，∴3（a﹣1）2≤3，又∵8（a﹣1）5≥0，∴8（a﹣8）2＝0，解得a＝6；（3）證明：∵當(dāng)x＝0時(shí)，，∴二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．25．（12分）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊BC長(zhǎng)2m，面積為1.5m2．（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)正方形面積較大；（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面．請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積y（m2）與DE的長(zhǎng)x（m）之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值．【解答】解：（1）∵BC＝2m，面積為1.3m2，∴，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，∵四邊形CDEF是正方形，∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝1.5﹣x，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACB，得，即，解得，∵四邊形GDEF是正方形，∴DE∥GF，∴∠CED＝∠B，∠EDC＝∠A，∴Rt△DEC∽R(shí)t△ABC，得，即，∴，∴，∵∠A＝∠A，∠AGD＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽R(shí)t△ABC，得，即，解得，∵，∴圖1的正方形面積較大；（2）∵四邊形CDEF是長(zhǎng)方形，∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝1.4﹣x，∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACB，得，則，DC＝AC﹣AD＝，∴長(zhǎng)方形的面積y＝DE×，∵，∴開口向下，當(dāng)x＝1m時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為，在圖2中，同理得Rt△DEC∽R(shí)t△ABC，得，∴DC＝，，同理得Rt△ADG∽R(shí)t△ABC，得，則，∴長(zhǎng)方形的面積，∵，∴開口向下，∴當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為．26．（12分）已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圓．（1）請(qǐng)你在圖1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作△ABC的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，若⊙O的半徑為R，求證：；（3）如圖3，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BC＝7，，求CF的長(zhǎng)．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖，作⊙O的直徑AM，∴∠ABM＝90°，AM＝2R，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠AMB，∴△ABM∽△ADC，∴，即，∴；（3）解：如圖，連接OE，∵EF為⊙O的切線，∴∠OEF＝90°，∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴∠EOC＝60°，∠F＝30°，∵OE＝OC，∴△OEC是等邊三角形，∠OEC＝∠OCE＝60°，∴∠CEF＝30°，∠CEF＝∠F，∴CE＝CF＝R．在Rt△ADC中，，∠ACB＝60°，，∴CD＝3，BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4，在Rt△ACD中，，在Rt△ABD中，，代入，得，即．27．（12分）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖，小昕同學(xué)在正方形紙板ABCD的邊AB、BC上分別取點(diǎn)E、F，且AE＝BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC，垂足為G，DE交AC于點(diǎn)P，GE交AF于點(diǎn)Q．【活動(dòng)猜想】