工程流體力學(xué)答案(陳卓如)

第一章

［陳書1-15］圖軸在滑動軸承中轉(zhuǎn)動，軸的直徑力二2（k?機，軸承寬度Z?=30cm,間隙S=0O&77?。間

隙中充滿動力學(xué)粘性系數(shù)〃=0245Pa-s的潤滑油。假設(shè)軸旋轉(zhuǎn)時潤滑油阻力的損耗功率P=50.7W,

試求軸承的轉(zhuǎn)速〃=?當(dāng)轉(zhuǎn)速〃=l（XX）〃min時，消耗功率為多少？（軸承運動時維持恒定笠速）

【解】軸外表承受的摩擦阻力矩為：M=TA—

2

其中剪切應(yīng)力：r=pv—

dr

外表積：A=TtDb

囚為間隙內(nèi)的流速可近似看作線性分布，而且對粘性流體，外外表上應(yīng)取流速為零的條件，故徑向流速

梯度:*果

其中轉(zhuǎn)動角速度：a）=2m

w7inD?DkD、b

所以：M=u----;rDb—=---------

6226

維持勻速*專動時所消耗的功率為：P-M（o-2Mm—"n"

b

所以:

將：//=0.245Pa-s

代入上式，得：/?=1.493r/s=89.56r/nin

當(dāng)〃二1000r/min=yr/s時所消耗的功率為：

［陳書1-16］兩無限大平板相距〃=25mm平行（水平）放置，其間充滿動力學(xué)粘性系數(shù)〃=1.5Pa?s的

甘油，在兩平板間以V=0.15m/s的恒定速度水平拖動一面枳為A=0.5m2的極薄平板。如果薄平板保

持在中間位置需要用多大的力？如果置F距一板10mm的位置，需多大的力？

【解】平板勻速運動，受力平衡V

題中給出平板“極薄〃，故無需考慮平板的體積、重量及邊緣效應(yīng)等。

此題應(yīng)求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力與流體作用在薄板上下外表上摩擦力平衡。

作用于薄板上外表的摩擦力為：

題中未給出流場的速度分布，且上下兩無限大平板的間距不大，不妨設(shè)為線性分布。

設(shè)薄板到.上面平板的距離為h,那么有：

V

所以：Fu=p-A

h

同理，作用于薄板下外表的摩擦力為：

維持薄板勻速運動所需的拖力：

當(dāng)薄板在中間位置時,h=l2.5mm=12.5x10-3m

將/?=25mm=25xl0-3m、V=0.15m/s,A=OSn?和4=1.5Pas代入，得：

如果薄板置于距一板（不妨設(shè)為上平板）10mm的位置，那么：

代入上式得：F=18.75N

［陳書1-1刀一很大的薄板放在Z?=0.06m寬水平縫隙的中間位置，板上下分別放有不同粘度的油，一種

油的粘度是另一種的2倍。當(dāng)以V=0.3m/s的恒定速度水立拖動平板時，每平方米受的總摩擦力為

F=29No求兩種油的粘度。

【解】平板勻速運動，受力平衡。

題中給出薄板"，故無需考慮平板的體積、重量及邊緣效應(yīng)等。

此題應(yīng)求解的水平方向的拖力。

水平方向，薄板所受的拖力與流體作用在薄板上下外表上摩擦力平衡。

不妨先設(shè)平板.上面油的粘度為4,平板下面油的粘度為2〃。

作用于薄板上外表的摩擦力為：

題中未給出流場的速度分布，旦上下兩無限大平板的間距不大，不妨設(shè)為線性分布。

薄板到上面平板的距離為〃2,所以:

2V

所以：F?=處——

b

同理，作用于薄板下外表的摩擦力為:

維持薄板勻速運動所需的拖力:

所以:

將人=0.06m、V=0.3m/s、A=1m?和b=29N代入，得平板上面油的粘度為:

平板下面油的粘度為：2//=1.933Pa-s

從以上求解過程可知，假設(shè)設(shè)平板下面油的粘度為〃，平板上面油的粘度為2〃，可得出同樣的結(jié)論。

［陳書1-22］圖示滑動軸承寬=300mm,軸徑d=100mm,間隙S=0.2mm,間隙中充滿了動力學(xué)

粘性系數(shù)〃=0.75Pa?s的潤滑油。試求當(dāng)軸以〃=300r/min的恒定轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動時所需的功率。（注：不

計其他的功率消耗）

【解】軸外表承受的摩擦阻力矩為：M=TA-

2

其中剪切應(yīng)力：T=吟

外表積：A=7idb

因為間隙內(nèi)的流速可近似看作線性分布，而且對粘性流體，外外表上應(yīng)取流速為零的條件，故徑向流速

7,ducod

梯度：一=—

dr25

其中轉(zhuǎn)動角速度：69=2加

所以：M=

2J

維持勻速轉(zhuǎn)動時所消耗的功率為：P=M①=2Mm=W%

o

將：//=0.75Pa-s

代入上式，得消耗的功率為：P=870.73W

［陳書1-23］圖示斜面傾角a=20"，一塊質(zhì)量為25kg,邊長為1m的正方形平板沿斜面等速下滑，平板

和斜面間油液厚度為8=1mm。假設(shè)下滑速度V=（）.25m/s,求油的粘度。

［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。

沿斜坡外表方向，平板下外表所受油液的粘滯力與重力沿斜面的分量平衡。

平板下外表承受的摩擦阻力為：F=rA

其中剪切應(yīng)力：r=//—

dz

因為間隙內(nèi)的流速可近似看作線性分布，而且對粘性流體，外外表上應(yīng)取流速為零的條件，故垂直于斜

坡外表方向的流速梯度為：—=-

dzJ

所以：尸二也

而重力在平行于斜面方向的分量為：G=〃7gsina

因：F=G

juVA

故：——=mgsma

整理得：整期逑

VA

將：m=25kg

代入上式，得：;/=0.335Pa-s

第二章

［陳書2-8］容器中盛有密度不同的兩種液體，問測壓管A及測壓管B的液面是否和容器中的液面0-0

齊平？為什么？假設(shè)不齊平，那么A、B測壓管液面哪個高？

［解］依題意，容器內(nèi)液體靜止。

測壓管A與上層流體連通，且上層流體和測壓管A均與大氣連通，故A測壓管的液面與液面0-0齊平。

測壓管B與上下層流體連通，其根部的壓強為:

其中九為上層液體的厚度，為為液體分界面到B管根部的垂向距離，p”為大氣壓

因測壓管B與大氣連通，其根部的壓強又可表示為：

其中h為B管內(nèi)氣液界面到B管根部的垂向距離

所以：夕話九+204=夕28〃

由此可知：假設(shè)8Vp2,B測壓管的液面低于A測壓管的液面和0-0面；假設(shè)8〉02,B測壓管的液

面高A測壓管的液面和0-0面；假設(shè)仇=p?,A、B測壓管的液面和0Q面三者平齊。

又因為密度為8的液體穩(wěn)定在上層，Wp、＜p「

［陳書2-12］容器中有密度為月和0的兩種液體，試?yán)L出AB面上的壓強分布圖。

［解］令上、下層液體的厚度分別為九和生，取垂直向下的方向為z軸的正方向，并將原點設(shè)在自由外

表上，可寫出AB外表上壓強的表達(dá)式：

整理得：

［陳書2-24］直徑D=1.2m,L=2.5的油罐車，內(nèi)裝密度/?=900%g/〃「的石油，油面高度為h=lm,以

〃=2時S)的加速度水平運動。試確定油貓車側(cè)蓋A和B上所受到的油液的作用力。

［解］取x坐標(biāo)水平向右，y坐標(biāo)垂直紙面向內(nèi)，z坐標(biāo)垂直向上，原點定在油罐的中軸線上。油液受到

的體積力為：

由歐拉方程積分可得：p=Pc-C^-Pgz

根據(jù)題意及所選的坐標(biāo)系，當(dāng)x=0,z=〃時，p=pa

故：Pa=PC-

所以：p=pa+pax

因大氣壓的總體作用為零，故上式中可令p0=()

于是：p=pg(h_z)_pax

左側(cè)蓋形心的坐標(biāo)：x=--,z=()

2

故該處的壓強：P［=pgh+pa—

2

左側(cè)蓋所受油液的作用力；&=0/q=12523.7N(取g=9.81m/s2)

右側(cè)蓋形心的坐標(biāo)：x=-,z=()

2

故該處的壓強：PR=網(wǎng)1-pci三

左側(cè)蓋所受油液的作用力：F『PR占=Q*\N(取g=9.81m/s2)

［陳書2-26］盛有水的圓筒形容器以角速度&繞垂直軸作等速旋轉(zhuǎn)，設(shè)原靜水深為h,容器半徑為R,

試求當(dāng)口超過多少時可露出筒底？

F-：非慣性坐標(biāo)系中相對靜止流體滿足歐拉方程：dp=p(Xdx+Ydy+Zdz)

等速旋轉(zhuǎn)時液體所受的質(zhì)量力為：

X=ciTrcosO,Y=6y2rsin^,Z=-g

將其代入歐拉方程，積分得：

自由外表中心處r=0,p=pa［大氣壓)，再令此處的z坐標(biāo)為：zc(令簡底處z=0),代入上式，得:

所以：C二〃”4席7c

所以：P=P'療/_gz+pa+pgzc

等壓面的方程：P-Pa-P^c=1(02r2_gz

P2

對于自由外表：］)=P.，故自由外表的方程為:

當(dāng)筒底剛好露出時，zc=0,所以自由面方程為:

自由面與筒壁相交處的垂向坐標(biāo)：H=—co-R2

2g

旋轉(zhuǎn)后的水體體積:

將水視為不可壓縮流體，根據(jù)質(zhì)量守恒，旋轉(zhuǎn)前后的水體體積應(yīng)相等，所以：

所以：（O=—y［gh

R

［陳書2-39］在由貯水池引出的直徑D=0.5m的圓管中安裝一蝶閥，h=10m,蝶閥是一個與管道直徑相

同的圓板，它能繞通過中心的水平軸回轉(zhuǎn)。為不使該閥自行轉(zhuǎn)動，問所需施加的力矩應(yīng)為多大？

［解］將閥門的圓心定為坐標(biāo)原點，z軸垂直向上，那么壓強分布為：

由于靜水壓導(dǎo)致閥門所受的總力矩為:

M=-2居W"(cos48_l)g=_標(biāo)叱『：(cos4e-l)de

所以：y/2

I14

=——pgR4——sin40-TV=5刖=30.08M〃?

4I4/-JT/2

［陳書2-43］圖示一儲水設(shè)備，在C點測得絕對壓強為〃=29430Pa,h=2m,R=lm。求半球曲面AB

所受到液體的作用力。

［解］建立如下圖的坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)原點取在球心，z軸垂直向上。以C為參考點，容器內(nèi)任意點的

壓強可表達(dá)為：

作用在曲面AB上任意點處的壓強均與外表垂直，即壓力的作用線通過球心。簡單分析可知，曲面上水

平方向的液體合壓力為零，液體的曲面的總作用力僅表達(dá)在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用線

通過球心。

球面的外法線方向；

其中e為緯度角，夕為經(jīng)度角。

曲面AB上的垂向總液體壓力：

其中：〃it.二sin〃，r=Rcos3

所以：F.=17vR~y〃sin%os例6

將2=Asin〃和『'sinecos陽夕=一代入上式，得：

Jo2

32

Wpc=29430Pa,h=2m,R=lm,p=1000kg/m和g=9.81m/s代入，得：

第二早

［陳書3-8］流體運動的速度場為匕=29+33,3=2H,匕=0,式中。為常數(shù)。試求：/=1時過(0,切

點的流線方程。

解：

流線滿足的微分方程為：—=-^=—

「。匕

將y=2w+。/，v=2xt,v.=0,代入上式，得：

人/>z

—竺^二空(x-y平面內(nèi)的二維運動)

2yt+at2xt

移向得：Ixtdx=(2yt+aty)dy

兩邊同時積分：^xtdx^^ilyt+at^dy(其中t為參數(shù))

枳分結(jié)果：x2t=y2t+ayf+C］此即流線方程，其中C為積分常數(shù))

將t=l,x=0,y=b代入上式，得：0=從+。/?+。

，積分常數(shù)。=一/一"

At=l時刻，過(0,b)點的流線方程為：x2=y2+ay-(b1+ab)

整理得：X2-/-^+(Z?2+6/Z?)=0

陳書3-10二元不可壓縮流體流動的流線方程如下，問哪一個是無旋的？

(1)2Axy=C；

(2)Av+By=C；

(3)4ln(Ay2)=C,

其中4B,C均為常數(shù)。

［解法一］

(1)根據(jù)流線方程24xy=C=2Ayclx+2Axdy=0

w“八一'dxdv

當(dāng)AwO時，有一=一--

xy

令〃=j/(x,y),v=-3/(x,y)

根據(jù)流體的不可壓縮性，從而二f+4「f-W；=xf「yf；=o

dxdy

再把流線方程24xy=C對x求導(dǎo)得到

dudv.....

x

^^―+—=Vt->/y=fyy-yfy=-2#v=0

y是任意的，得到￡=o

無旋

(2)根據(jù)流線方程以+8)，=。=>4公+氏加=0

令〃="(x,y),v=-Af(x,y)

duBv).

根據(jù)流體的不可壓縮性，從而竽+生=8/；-/1。=0

dxcy

再把流線方程AK+By=。對x求導(dǎo)得到

所以=+?=取一Af；=-2A/；=0

oxdy

當(dāng)A=0時，u=0無旋

當(dāng)A#O時，/'=0

無旋

(3)根據(jù)流線方程41n(冷，2)=C

當(dāng)AHO時，曳=-3

2xy

令〃=2"(%,力,v=-)/(x,y)

再把流線方程2Au=C對x求導(dǎo)得到

根據(jù)流體的不可壓縮性，

從而"+I-2/+2司f；=/+2忒-忒=/-2忒=0

ox②

祟一二=2忒+忒=(2x—1]/；,不恒為0

cyoxI2x)-

有旋

【解法二]

(1)由題意知：

流函數(shù))，)=個

得到

從而

無旋

(2)同上

流函數(shù)甲(x,y)=Ar+By

u=—B，v=A

無旋

(3)同上

流函數(shù)\|/(x,y)=與/

u=-2xy，v=y

有旋

|陳書3-11］設(shè)有兩個流動，速度分量為:

⑴匕.=WY,vv=ax,vz=0；

,、cvex八

(2)匕v=—，.T，=—~~7,瞑=0

廠+)廣)廠+y-

式中a,。為常數(shù)。試問：這兩個流動中哪個是有旋的？哪個是無旋的？哪個有角變形？哪個無角變

形？

解：兩個流動中均有也=0,即均為平面二維流動狀態(tài)，因此旋轉(zhuǎn)角速度分量q=ov=0,角

變形速度分量yx=yy=0o

1dvdv1

(1)(分vY)=；(a+a)=a

2excy2

???當(dāng)awO時此流動有旋，無角變形；當(dāng)a=0時此流動無旋，無角變形。

(2)磯」(生—如),(^<—^<)=0

22,小8,2'(1+力2(/+/丁

???當(dāng)cwO時此流動無旋，有角變形；當(dāng)c=0時此流動無旋，無角變形。

［陳書3-13］設(shè)空間不可壓縮流體的兩個分速為：

222

(3)vv=ax+by+cz,v..=-dxy-eyz-fax

(y2

⑷…序+不zx

vy=s】n

其中a,b,c,d,e,/均為常數(shù)。試求第三個分速度也。當(dāng)z=()時％=0。

解：

不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：d+且2+*=0,

dxdydz

。匕二血多

那么:

dzdxdy

dvd匕”=-2c-ez

⑴z

IT"ox1V

O,I

將上式積分得：v.=［—三dz=-2axz+dxz+—ez2+f(x,y)

-)dz2

利用條件z=0時v2=0得到/(蒼y)=0

v.=-2atz+dxz+—ez2

-2

⑵條啜號=。

=j^dz=g(x,),)

將上式積分得：匕

利用條件z=o時叱=0得到g*，y)=0

v.4>=0

［陳書3-30］如下圖水平放置水的分支管路，D=100mm,?=15//s,dx=d2=25mm,

dy=50/72/77,%】=3%3,V2=4/??/so求%i，qV2?qV3>匕，匕。

解：

1

根據(jù)質(zhì)量守恒定理有：qv=qvl+<7V2+^V3()

其中%2=哼匕=1.96〃$

將外？以及條件外?=3%3帶入⑴式得到：

qV3=3.26//J,qvl=3qV3=9.78//s

那么匕=%_=19.92〃?/5,匕=物■二1.66〃z/s。

乃&2兀d；

第四章

［陳書4—8］測量流速的皮托管如下圖，設(shè)被測流體的密度為夕，測壓管內(nèi)液體密度為回，測壓管內(nèi)

液面的高度差為h。假定所有流體為理想流體，皮托管直徑很小。試證明所測流速

［證明］沿管壁存在流線，因此可沿管壁列出理想流體的Bernoulli方程：

匕2Pi以％—

2gpg~2gpg

其中點1取在皮托管頭部（總壓孔），而點2取在皮托管環(huán)向測壓孔（靜壓孔）處。

因流體在點1處滯止，故：Vl=0

又因皮托管直徑很小，可以忽略其對流場的干擾，故點2處的流速為來流的速度，即：

將以上條件代入Bernoulli方程（1）,得:

u=L（Z「Z2）+PL」（2）

V_Pg.

再次利用皮托管直徑很小的條件，得：z,-z2=0

從測壓管的結(jié)果可知：Pi-〃2=-p）gh

將以上條件代入（2）式得：.=.6青^

證畢。

［陳書4-13］水流過圖示管路，4=300mm,w=6m/s,0=3m。不計損失，求出。

［解］因不及損失，故可用理想流體的Bernoulli方程：

7%片J―岐生⑴

2gpg~2gpg

題中未給出流速沿管道斷面的分布，再考慮到理想流體的條件，可認(rèn)為流速沿管道斷面不變。此外，對

于一般的管道流動，可假定水是不可壓縮的，于是根據(jù)質(zhì)量守恒可得：

匕A=嶺4（2）

其中A和A2分別為管道在1和2斷面處的截面積:

,4用

A=

"T4

方程（1）可改寫為:

根據(jù)題意：回一〃2=0，2,-Z2=/7（5）

將（5〕代入（4；,得：——=/?4——'、6）

2g2g

再由（2）和（3）式可得：%些二也在

44

所以：v2=v,（7）

4

孑，"4742

將（7）式代入（6）得：—^=/?+工

2g2g

整理得：%2g<%

d；匕2

d）=J------fd、（8J

■》2劭+片

將4=300mm,w=6m/s,h=3m,g=9.8m//代入（8）式，得：

［陳書4—19］圖示兩小孔出流裝置，試證明不計流動損失時有關(guān)系式九（y+為）=均%.（此題陳書必

的標(biāo)注有誤）

［證明］因不計損失，可視流體為理想流體，那么位于加深度處的小孔出流速度為:

同樣，位于九深度處的小孔出流速度為：彩=而耳

流出小孔后流體做平拋運動，位于九深度處的小孔出流的下落時間為：

故其射的程為：號=也=廊=2/凹+），2）4

同理，位于勺深度處的小孔出流的射程為—“麻杵=2質(zhì)

根據(jù)題意：'二當(dāng)

所以：RG+%%=2^1^

于是：（%+）“九二%％

第六章

［陳書4—8］測量流速的皮托管如下圖，設(shè)被測流體的密度為P，測壓管內(nèi)液體密度為回，測壓管內(nèi)

液面的高度差為h。假定所有流體為理想流體，皮托管直徑很小。試證明所測流速

［證明］沿管壁存在流線，因此可沿管壁列出理想流體的Bernoulli方程：

彳Pl匕2%

z.+--^—=z2+^+—（1）

2gpg-2gpg

其中點1取在皮托管頭部（總壓孔），而點2取在皮托管環(huán)向測壓孔（靜壓孔）處。

因流體在點1處滯止，故：V,=0

又因皮托管直徑很小，可以忽略其對流場的干擾，故點2處的流速為來流的速度，即：

將以上條件代入Bernoulli方程（1）,得:

--j2gJ（z「Z2）+比*］（2）

VL夕g」

再次利用皮托管直徑很小的條件，得：z,-z2=0

從測壓管的結(jié)果可知：P\-P2=S\-P)gh

將以上條件代入(2)式得：y=J2g/Z用金

證畢。

［陳書4—13］水流過圖示管路，P1=〃2，4=3(X)mm,v,=6m/s,〃=3m。不計損失，求&。

［解］因不及損失，故可用理想流體的Bernoulli方程：

馬+止+且=人+三+三(1)

2gpg~2gpg

題中未給出流速沿管道斷面的分布，再考慮到理想流體的條件?，可認(rèn)為流速沿管道斷面不變。此外，對

于一般的管道流動，可假定水是不可壓縮的，于是根據(jù)質(zhì)量守恒可得：

正人=嶺4⑵

其中A和4分別為管道在1和2斷面處的截面積：

A\ATidz(、

A.=~L,A.=--(3,

14-4

方程(1)可改寫為：

攻=儲一2)+止+2二”(4)

2g㈠2gpg

根據(jù)題意：〃［-〃2=°，z2=h(5)

將(5)代入(4),得：—=h+—^—(6)

2g2g

再由(2)和(3)式可得：匕戒=也成

4-4

?2

所以：V2=匕—y(7)

9Cli

V]2

將(7)式代入(6)得：—^=/2+曳

2g2g

整理得：4=2g”-：

將4=300mm,片=6m/s,h=3m,g=9.8m/s2代入（8）式，得：

［陳書4一19］圖示兩小孔出流裝置.，試證明不計流動損失時有關(guān)系式九（y+%）=為%。（此題陳書為

的標(biāo)注有誤）

［證明］因不計損失，可視流體為理想流體，那么位于九深度處的小孔出流速度為：

同樣，位于九深度處的小孔出流速度為：為=/荻

流出小孔后流體做平拋運動，位于九深度處的小孔出流的下落時間為:

M=也=廊^戶=2/（必+%達(dá)

故其射的程為:

同理，位于外深度處的小孔出流的射程為:

根據(jù)題意：、二與

所以：27d還訴=邛員

于是：（X+%）%二）/2

第六章

［陳書6-7］二維勢流的速度勢為9=%。,式中。是極角，々為常數(shù)，試計算:

(1)沿圓周V+y2=內(nèi)的環(huán)量;

(2)沿圓周(x—a)2+y2=R2(R<a)的環(huán)量。

眄⑴

rdOr

那么沿圓周X2+)，2=R2的速度環(huán)量「=1/1?〃/

(2)易知此二維勢流除在原點處均有勢，而圓周“—〃)2+y2=R2(R<a)不含原點。故沿圓

周的速度環(huán)量「二0

［陳書6-8］距離力=2m的兩平板外表間的速度分布為巳=10(；//2一,2),式中匕是兩平面間)，處的

速度。試求流函數(shù)獷的表達(dá)式，并繪制流線。

解：因為絲=匕=10?力2-,2

6y【4)

所以，.=10-h2y-^~+/(x)

3,

所以，f(x)=C

那么收=1()-h2y-^-+C,

143)

其中常數(shù)C的取值對流動圖形無影響，可認(rèn)為是0

所以〃=10-1〃221

［陳書6-9］某平面流場速度勢函數(shù)為夕=K(/-y2),式中K為常數(shù)。試求流函數(shù)。

居因為匕=竺=以=2依

dxdy

所以〃=2枚y+/(x)

又因為匕.=&=-2Ky=一字=-2Ky-

②ox

所以/（x）=C,即”=2的，+C

由于常數(shù)C的取值不影響流動情況，故可取為零。

那么勿=2心＞，

第七章

［凍書7-6］煙囪直徑c/=l〃7,煙量外,=17.96kg/h,煙氣密度夕=（）.7kg〃/,周圍大氣密度

4=1.2Kg/〃/，煙囪內(nèi)壓強損失AR=O.O35?L,V為煙囪內(nèi)煙氣流動的速度，/z為煙囪高度。

d2g

為保證煙囪底部斷面1處的負(fù)壓不小于10〃〃〃水柱，煙囪的高度才應(yīng)大于（或小于）多少？

［解］此題用Bernoulli方程求解。

對1、2斷面列出總流的伯努利方程：

Pi四片小aV^.…

Pg2gpg2g

山質(zhì)量守恒可知：匕=V2

再假定動能修正系數(shù)：4二。2=1

式（1）可簡化為：

^+―=Zo+—+/zw.⑵

pg■pg

P2-P1=々（々-22一兒）⑶

斷面1處的負(fù)壓：P：一回，移項可得：P1=P；—〃：

而斷面2處的壓強為當(dāng)?shù)氐拇髿鈮?，即：?=a

其中p；和P；分別為斷面1、2處的大氣壓

將以上各式代入（3）式得：

（%-P：）+P：=0g（z「z?-hw）（4）

而：P3-P；=Pagh,z,-z2=/?

代入(4)式得：p；=pg(h-Q-Pagh⑸

hV2

依題意，能量損失：//.=A^.=0.035--

ud2g

P；=刖(1-0.035^-1-pagh

I2dg)

代入（5）式:

=ghp1-0.035a-Pa

移項得：〃=丁7---------不——=T（6）

gP1-0.035^-P<,

LI2dg）J

令?！盀樗拿芏?，負(fù)壓可用從高的水柱表示為：〃；=

代入（6）得:h二P4

(v2\

p1-0.035—\-p

I2dga

將流速：V一4代入上式，得:

h=PwM⑺

小-。85蟋"

23

將：A/?=10/W77>g=\0m/s、pu=1.2k^//n、p=0.7kg/4、Pw=1000k^/w

%=17.96kg/Mn”=l〃"VU7)式得:

因為：z,-z2=h,所以：z2-Z)=-h=20/z?

【陳書7-10】將一平板伸入水的自由射流內(nèi)，垂直于射流的軸線。該平板截去射流流量的一局部4匕，

引起射流剩余局部偏轉(zhuǎn)角度a。射流流速V=30m/s,全部流量外二36x1（T3m3%,截去流量

%=12x10-3n?/s。求偏角a及平板受力廠。

解：用動量積分定理求解

題中指明流體為水，但并未特別提及其力學(xué)性質(zhì)。為解體，不妨忽略粘性，并假定流體不可壓縮。

選取如下圖的控制體及坐標(biāo)系

正入控制體的動量通量在x方向的分量：Mi=pqvN（0為流體密度）

注入控制體的動量通量在y方向的分量：M*0

流出控制體的動量通量在x方向的分量：=pqv^V2cosa

流出控制體的動量通量在y方向的分量：MJpq、，,X-sina—2的”

因忽略粘性，平板和水之間無摩擦力（切向力），所以平板對水的作用力只有沿x方向的分量，令其為死

又因為大氣壓沿控制體周界枳分等于零，所以由動量積分定理有：

￡=一批：=夕也?匕yosa-pq、,V⑴

。=加乙一M，；二2也?匕-sina—p%"12）

可以找到一條從0-0斷面到1-1斷面的流線，對于該流線可以列出Bernoulli方程：

因為P|=P2H，（大氣壓）

Z+LzV2

故

2g2?

因射流速度較大，可忽略重力，可得

同理可得

將以上關(guān)系代入（1）式和（2）式，得

￡二P，（q%cosa-外）⑶

0=pV（q%sina-qv）（4）

由（4）式得到,

<7V|=sina（5）

又因流體不可壓，所以

代入（5）式得到,

所以，a=30"

再由（3）式求得：

［7-11］如下圖，水由水箱1經(jīng)圓滑無阻力的空口水平射出，沖擊到一平板上，平板封蓋著另一水箱2

的孔口，兩水箱孔口中心線重合，水位高分別為乙和〃2,孔口徑4=:4。求保證平板壓在2箱孔口

2

上時4與的關(guān)系。（不計平板的重量及摩擦力）

解：因不計摩擦力，可以視為理想流體，那么小孔處流速：

射在平板上的流體沿板的四周流出。

選取如下圖的控制體，作用在控制體上的外力為大氣壓和平板的作用力。

大氣壓的積分效果為零，又由于忽略摩擦，平板的作用力只能沿X方向，設(shè)其為工

假設(shè)容器足夠大，流動定常，那么X方向的動量枳分方程：

故水流作用于平板上的力為：

平板右側(cè)受到的靜水壓為

為保證平板壓在孔口上，須有尸>（,即

有4=g4，可得：

［陳書7-13變］如圖，一帶有傾斜平板的小車逆著來自無窮遠(yuǎn)處的射流以速度v勻速移動。射流斷面枳

為A,體積流量為Q,流體為理想不可壓縮的，不計地面的摩擦力和重力。

(1)假設(shè)u=(),求分流流量3和2與入射總流量Q的關(guān)系;

(2)假設(shè)uwO,求推動小車W?需的功率。

F-：(1)令上面出流的速度和斷面積為：％,從，有：場=0

A

令下面出流的速度和斷面積為：4,,有："，

■■'4

令入流斷面的速度為：“，有：〃=2

A

選取一條從入流斷面到上面出流斷面的流線列出理想流體的伯努利方程:

因p和Pi均為大氣壓，重力忽略，所以：/二〃

同理可得：u2=u

選取如下圖的坐標(biāo)系及控制體。

連入控制體的動量通量在X方向的分量為：pirAcosG

注入控制體的動量通量在y方向的分量為：-夕〃2Asin<9

從1斷面處流出控制體的動量通量在x方向的分量為：-。

從2斷面處流出控制體的動量通量在x方向的分量為：夕雨&

因流體為理想流體，故x方向平板的反作用力為零，所以：

即：一。i?i+-Qucose=o

考慮到：u=W)=u2,有：一。|+。2-QcosO=0

由質(zhì)量守恒有：。=。+。2

所以：Q尸?1(1-COS。)，e2=y(l+cos6>)

（2）將坐標(biāo)系固定在小車上，選取與（1）中相同的控制體。

因流體為理想流體，故x方向平板的反作用力為零，僅需考慮y方向平板的受力。

注入控制體的動量通量在y方向的分量為：-pl+yfAsin。

流出控制體的動量通量在y方向的分量為零。

所以沿y方向平板的反作用力為：p（//+v）2Asin<9

該力在小車前進(jìn)方向的分量為：/=/?（〃+v）2Asin26>

所以推動小車所需的功率為：P=Fv=p（ii+v）2vAsin20=p—+vvAsin20

M）

［陳書7-18］油在如下圖的管中流動，其密度夕=850kg/m3,流量%=0.5n?/s,管徑d=25cm,兩

彎頭之間的距離/=1m,下部彎頭出口處壓強〃=IMPa。求油流對上部彎頭作用力矩的大小和方向（不

計損失）。

［:解］將積分形式的動量方程對上部彎頭的中心取矩，得：

因流動定常，所以：

其中總力矩包含兩局部：1）外部支承對管道的力矩而；2）進(jìn)口和出口處壓強產(chǎn)生的力矩肪°。

所以：

因為進(jìn)口處通量的力臂為零，故僅有出口處的通量局部對力矩有奉獻(xiàn)，為：

ffpVyxVdS（逆時針方向）

山$Tia

口處合壓力對上部彎頭的力臂為零，故只需考慮出口壓強對力矩的奉獻(xiàn)：

|必/=〃苧/（順時針方向）

所以：

考慮到力矩方向：

油流對上部彎頭的力矩等于外部支撐對管道的作用力矩（方向相反）。

［陳書7-21］一個灑水裝置的旋轉(zhuǎn)半徑R=200mm,噴嘴直徑d=8mm,噴射方向角。=45°,兩個噴嘴

的流量均為%=0.28L/s。假設(shè)摩擦阻力矩M=0.2N.m,求轉(zhuǎn)速n。假設(shè)在噴水時不讓其旋轉(zhuǎn)，應(yīng)施

加多大力矩？

［解］此題用積分形式的動量矩方程求解：

系統(tǒng)所受的總力矩為：

所以：

題意隱含灑水裝置等速旋轉(zhuǎn)，故其角加速度為零，控制體內(nèi)流體的動量矩守恒，即：

由此可得：

并令灑水裝置的角速度為。，那么從噴口流出的水的絕對速度為：

其中V'為水流從噴嘴流出的相對速度；匕為牽連速度，方向垂直于旋轉(zhuǎn)臂（考慮水流的反推作用

可知其方向與噴出水流沿圓周區(qū)線分量的方向相反），大小等于0R。

假定懸臂軸線的角度為0（總可以通過選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系到達(dá)），水平向右的方向為x軸正向，垂直

向上的方向為y軸正向（如圖），那么相對速度和牽連速度可分解為：

其中A為噴嘴截面積。

因為速度V在徑向的分量對力矩?zé)o奉獻(xiàn)，而它在垂直于旋轉(zhuǎn)臂方向的分量為大?。?/p>

于是：

所以：

代入條件，得：

轉(zhuǎn)速：n=—=1°刀6=1.716r/s=l（）3r/min

2乃2x3.14

假設(shè)不轉(zhuǎn)動，那么以上各式中角速度為零，可得：

第八章

［陳書8-9］一個圓球放在流速為1.6m/s的水中，受的阻力為4.4N。另一個直徑為其兩倍的圓球置于

一風(fēng)洞中，求在動力相似條件下風(fēng)速的大小及球所受的阻力。噓〃囁=13,p（n=L28kg/m\

［解］:此題涉及繞流物體的粘性阻力，應(yīng)選取雷諾數(shù)為主要的相似準(zhǔn)則，于是：

從上式可得:

由題意知：，,匕蟲=13,uw=1.6m/s

d

air2VH.

將以上條件代入，得風(fēng)速：uair=x13x1.6=0.8x13=10.4（m/s）

轉(zhuǎn)化阻力采用牛頓數(shù)相等的原則，即:

由上式可得；F.=電場售

P/4

1000

由題意：2W

,F(=4.4N

Pa：1.28

2

10.42

所以：F=—^IX2X4.4=0.952(N)

a,irr1000TT

［陳書8-10］需測定飛行器上所用流線型桿子的阻力，桿子厚度為30mm,飛行器速度為150km/h,當(dāng)

用桿子模型在水槽中測定其粘性阻力時，水流速度為2m/s,vaiJvw=13.問模型厚度應(yīng)為多少？

［解］:此題涉及繞流物體的粘性阻力，應(yīng)選取雷諾數(shù)為主要的相似準(zhǔn)則，于是:

從上式可得:

由題意知：匕配=13,/a/r=30mm=0.03m

%,=1,6m/s,uair=150km/h=於徐。m/s

15()x10I

將以上條件代入，得模型厚度：X—X0.03=0.096m=96mm

36(X)x1.613

［陳書8-11］為了得到水管中蝶閥的特性曲線，利用空氣來進(jìn)行模型實驗。模型蝶閥直徑。“二250mm,

當(dāng)a=3（）“，空氣（夕=1.25kg/nd）流量/的=1.6nT/sE寸，實驗測得如下數(shù)據(jù)：模型中壓強降

Ap,”=275nimH2O；氣流作用在閥門上的力是匕,二137N；繞閥門旋轉(zhuǎn)軸氣流的作用力矩是

M”,=2.%N.m。設(shè)實驗在自模區(qū)進(jìn)行，且實際蝶閥2=2.5m,水流量外,=8m7s,a角相同。

試確定實物中的壓強降、作用力及作用力矩。

［角河涉及壓強降，應(yīng)考慮歐拉數(shù)相等，即:

由上式可得：%=且￡%,

由題意：-^=—=8(X)

Pm1.25

取重力加速度：g=9.8ms'

所以：△化=Mx2695=5390Pa,或：A/?=—x275=550mmH.O

'4001400

轉(zhuǎn)化作用力采用牛頓數(shù)相等的原則，即:

2

由上式可得：月=2噂優(yōu)=2.5Ixl37=27400(N)

40010.25

…MtPR

力矩：一L=-i-L

M,“

prj?74(Y)9S

所以：M,=x—x2.94=5880(N-mj

,n

'PmDm1370.25

［陳書8-12］在深水中進(jìn)行火箭的模擬實驗，模型大小與實物之比為1/1.5。假設(shè)火箭在空氣中的速度為

500km/h,問欲測定其粘性阻力，模型在水中的實驗速度為多少（vair/vw=13）?

［解｝此題涉及繞流物體的粘性阻力，應(yīng)選取雷諾數(shù)為主要的相似準(zhǔn)則，于是:

由上式可得：見「=匕品〃,亦=—x—x500=57.69（km/h）=16（m/s）

匕5131

第九章

［陳書9-11］具有〃=4.03xl（T'Pa-s,0=740kg/n?的油液流過直徑為2.54cm的圓管，平均流速為

0.3m/So試計算30m長度管子上的壓強降，并計算管內(nèi)距內(nèi)壁0.6cm處的流速。

［解］管內(nèi)流動的雷諾數(shù)：Re二邀

將〃=4.03x10、Pa-s、p=740kg/m3萬=0.3m/s和d=2.54cm代入，得:

因為Re=1399.2<2000,所以流動為層流，沿程阻力損失系數(shù):

i—2

沿程阻力損失：&二—j

d2g

/而_64/夕"

表示成壓強降的形式：△［)=偌砥=2

2Re12

6430x740X009

△p=------X---------7

1399.22.54xl（）22

代入數(shù)據(jù)，得：

-^―x—x740x9=l799（Pa）

1399.22.54'7

因為是層流運動，流速滿足拋物面分布，且其分布為:

將7=254-06=0.67（cm）、//=4.03x10-5Pa-s>d=2.54cm和l=30m代入，得:

2

［陳書9-12］某種具有夕=780kg/m3,〃=7.5xl(T5pa.s的油，流過長為12.2m,直徑為1.26cm的

水平管子。試計算保持管內(nèi)為層流的最大平均流速，并計算維持這一流動所需要的壓強降。假設(shè)油從這

一管子流入直徑為0.63cm,長也為12.2m的管子，問流過后一根管子時的壓強降為多少？

［:解］管內(nèi)流動的雷諾數(shù)：Re=2"

管內(nèi)保持層流時，雷諾數(shù)低于下臨界雷諾數(shù)，即：Re=R；=2320

所以：正二華

將〃=7.5xl（）Tpa-s、p=780kg/m\=2320和d=1.26cm代入，得:

Ipu2_64ipii2

△p=A

（12Red2

6412.2X780X0OW

壓強降：

-----X---------7

23201.26乂10一22

32122

---X----x78x0.1772=3.264（Pa）

23212.6

流入后一根管子時，流量不變，直徑減小，用上標(biāo)表示后一種情況，那么有:

所以：Re=-￡Re=—x2320=4640

d0.63

此時流動進(jìn)入湍流光滑區(qū)，且我e=4640<1()5,可用布拉修斯公式求解沿程阻力損失系數(shù)，即:

0.3164/pu2

壓強降;=%

d2R^25d~T

‘1.26、

此時，平均流速：w=0.0177x(m/s)

、0.63>

A0.316412.2780