小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)金典講義資料全集

小學(xué)奧數(shù)（三年級(jí)金典講義資料全集）

第一講從數(shù)表中找規(guī)律

在前面學(xué)習(xí)了數(shù)列找規(guī)律的基礎(chǔ)上，這一講將從數(shù)表的角度動(dòng)身，接著探討數(shù)列的規(guī)律性。

例1下圖是按肯定的規(guī)律排列的數(shù)學(xué)三角形，請(qǐng)你按規(guī)律填上空缺的數(shù)字

1

24

369

481216

51015（）25

61218（）3036

分析與解答這個(gè)數(shù)字三角形的每一行都是等差數(shù)列（第一行除外），因此，第5行中的括號(hào)內(nèi)填

20,第6行中的括號(hào)內(nèi)填24o

例2用數(shù)字?jǐn)[成下面的三角形，請(qǐng)你細(xì)致視察后回答下面的問(wèn)題：①這個(gè)三角陣的排列有何規(guī)律？②

1

11

121

依據(jù)找出的規(guī)律寫(xiě)出三角陣的第6行、第7行。③推斷第20行的各數(shù)之和是多少？「16

分析與解答

①首先可以看出，這個(gè)三角陣的兩邊全由1組成；其次，這個(gè)三角陣中，第一行由1個(gè)數(shù)組成，第

2行有兩個(gè)數(shù)…第幾行就由幾個(gè)數(shù)組成；最終，也是最重要的一點(diǎn)是：三角陣中的每一個(gè)數(shù)（兩邊上的

數(shù)1除外），都等于上一行中與它相鄰的兩數(shù)之和.如:2=1+1,3=2+1,4=3+1,6=3+3。

②依據(jù)由①得出的規(guī)律，可以發(fā)覺(jué)，這個(gè)三角陣中第6行的數(shù)為1,5,10,10,5,1：第7行的

數(shù)為1,6,15,20,15,6,k

③要求第20行的各數(shù)之和，我們不妨先來(lái)看看起先的幾行數(shù)。

行

爭(zhēng)1

1=1

行

爭(zhēng)2

1+1=2!-----------------------------------

行

爭(zhēng)3

2

售

行1+2+1=2----------------------------/

41+3+3+1=23------------------行數(shù)T

名

ih5行

-t4

舞

行1+4+6+4+F2

6

1+5+10+10+5+1=2,-------

至此，我們可以推斷，第20行各數(shù)之和為219。

注：其中，2n表示n個(gè)2相乘，即2X2X…X2,其中n為自然數(shù)。

［本題中的數(shù)表就是聞名的楊輝三角，這個(gè)數(shù)表在組合論中將得到廣泛的應(yīng)用］

例3將自然數(shù)中的偶數(shù)2,4,6,8,10…按下表排成5歹!），問(wèn)2000出現(xiàn)在哪一歹IJ?

ABCD

246

16141210

18202224

32302826

34363840

48464442

50-

分析與解答

方法1：考慮到數(shù)表中的數(shù)呈S形排列，我們不妨把每?jī)尚蟹譃橐唤M，每組8個(gè)數(shù)，則依據(jù)組中數(shù)

字從小到大的依次，它們所在的列分別為B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我們只要考察2000是第幾

組中的第幾個(gè)數(shù)就可以了，因?yàn)?000是自然數(shù)中的第1()()。個(gè)偶數(shù)，而1000+8=125,即2000是第

125組中的最終一個(gè)數(shù)，所以，2000位于數(shù)表中的第250行的A歹ij。

方法2：細(xì)致視察數(shù)表，可以發(fā)覺(jué)：A列中的數(shù)都是16的倍數(shù)，B列中數(shù)除以16余2或者14,C

列中的數(shù)除以16余4或12,D列的數(shù)除以16余6或10,E列中的數(shù)除以16余8.這就是說(shuō)，數(shù)表中數(shù)

的排列與除以16所得的余數(shù)有關(guān)，我們只要考察2000除以16所得的余數(shù)就可以了，因?yàn)?000?

16=125,所以2000位于A列。

學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了會(huì)做一道題，而是要學(xué)會(huì)思索問(wèn)題的方法.一道題做完了，我們還應(yīng)當(dāng)細(xì)

致思索一下，哪種方法更簡(jiǎn)潔，題目主?？疾斓膯?wèn)題是什么…這樣學(xué)習(xí)才能舉一反三，不斷進(jìn)步。

就例3而言，假如把偶數(shù)改為奇數(shù)，2000改為1993,其他條件不變，你能很快得到結(jié)果嗎？

例4按圖所示的依次數(shù)數(shù)，問(wèn)當(dāng)數(shù)到1500時(shí)，應(yīng)數(shù)到第幾列？1993呢？

①②③④⑤

12345

9876

10111213

17161514

18192021

25242322

26272829

33323130

34???

分析與解答

方法1：同例3的考慮，把數(shù)表中的每?jī)尚蟹譃橐唤M，則第一組有9個(gè)數(shù)，其余各組都只有8個(gè)數(shù)。

(1500-9)+8=186…3(1993—9)08=248

所以，1500位于第188組的第3個(gè)數(shù)，1993位于第249組的最終一個(gè)數(shù)，即1500位于第④列，1993

位于第①列。

方法2：考慮除以8所得的余數(shù).第①列除以8余1,第②列除以8余2或是8的倍數(shù)，第③列除以

8余3或7,第④列除以8余4或6,第⑤列除以8余5；而15004-8=187-4,19934-8=249-1,貝I」1993

位于第①列，1500位于第④列。

例5從1起先的自然數(shù)按下圖所示的規(guī)則排列，并用一個(gè)平行四邊形框出九個(gè)數(shù)，能否使這九個(gè)數(shù)的

和等于①1993；②1143；③1989.若能辦到，請(qǐng)寫(xiě)出平行四邊形框內(nèi)的最大數(shù)和最小數(shù)；若不能辦到，

說(shuō)明理由.

分析與解答

我們先來(lái)看這九個(gè)數(shù)的和有什么規(guī)律.細(xì)致視察，簡(jiǎn)單發(fā)覺(jué)：12+28=2X20,13+27=2X2(),14+26二2

X20,19+21=2X20,UP：20是框中九個(gè)數(shù)的平均數(shù).因此，框中九個(gè)數(shù)的和等于20與9的乘積.

事實(shí)上，由于數(shù)表排列的規(guī)律性，對(duì)于隨意由這樣的平行四邊形框出的九個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，都有這樣的規(guī)律,

即這九個(gè)數(shù)的和等于平行四邊形正中間的數(shù)乘以9。

①因?yàn)?993不是9的倍數(shù)，所以不行能找到這樣的平行四邊形，使其中九個(gè)數(shù)的和等于1993。

②1143+9=127,127+8=15…7.這就是說(shuō),假如1143是符合條件的九個(gè)數(shù)的和,則正中間的數(shù)

肯定是127,而127位于數(shù)表中從右邊數(shù)的第2歹U.但從題中的圖簡(jiǎn)單看出，平行四邊形正中間的數(shù)不

能位于第1行，也不能位于從左數(shù)的第1歹h第2歹I」、第7列和第8歹U，因此，不行能構(gòu)成以127為

中心的平行四邊形。

③19894-9=221,221+8=27…5,即1989是9的倍數(shù)，且數(shù)221位于數(shù)表中從左起的第5歹U，故

可以找到九個(gè)數(shù)之和為1989的平行四邊形，如圖：

其中最大的數(shù)是229,最小的數(shù)是213.

/213~214~215/

7220221222/

/227228229/

習(xí)題一

1.視察下面已給出的數(shù)表，并按規(guī)律填空：

1

35

7911

13151719

2123()2729

313335()3941

2.下面一張數(shù)表里數(shù)的排列存在著某種規(guī)律，請(qǐng)你找出規(guī)律之后，依據(jù)規(guī)律填空。

256711

810()418

61012920

3.下圖是自然數(shù)列排成的數(shù)表，依據(jù)這個(gè)規(guī)律，1993在哪一列？

ABCDEF

123

654

789

121110

131415

181716

19-

4.從1起先的自然數(shù)如下排列，則第2行中的第7個(gè)數(shù)是多少?

12671516

3581417

491318???

1012???

11???

習(xí)題一解答

1.第5行的括號(hào)中填25；第6行的括號(hào)中填37。

2.這個(gè)數(shù)表的規(guī)律是：其次行的數(shù)等于相應(yīng)的第三行的數(shù)與第一行的數(shù)的差的2倍.B|J：8=2X(6—2),

10=2X(10—5),4=2X(9—7),18=2X(20—11).因此，括號(hào)內(nèi)填12。

3.1993應(yīng)排在B列"

4.參看下表：

第2行的第7個(gè)數(shù)為30

第四講最短路途問(wèn)題

在日常工作、生活和消遣中，常常會(huì)遇到有關(guān)行程路途的問(wèn)題.在這一講里，我們主要解決的問(wèn)題

是如何確定從某處到另一處最短路途的條數(shù)。

例1下圖4一1中的線段表示的是汽車(chē)所能經(jīng)過(guò)的全部馬路，這輛汽車(chē)從A走到B處共有多少條最短路

途？

1C1

E2F3

I-

[H3I6

圖4-1圖4-2

分析為了敘述便利，我們?cè)诟鹘徊纥c(diǎn)都標(biāo)上字母.如圖4—2.在這里，首先我們應(yīng)當(dāng)明確從A到B

的最短路途究竟有多長(zhǎng)？從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，不論怎樣走，最短也要走長(zhǎng)方形AHBD的一個(gè)長(zhǎng)與一個(gè)寬，

即AD+DB.因此，在水平方向上，全部線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于AD；在豎直方向上，全部線段的長(zhǎng)度和應(yīng)

等于DB.這樣我們走的這條路途才是最短路途.為了保證這一點(diǎn)，我們就不應(yīng)當(dāng)走“回頭路”，即在水

平方向上不能向左走，在豎直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同學(xué)很快找出了從A到B的全部最短路途，即：

A-C-D-GfBA->C->F-G-B

A->C->F->I->BAfE—FfGfB

A-E-F-I-BA-E-H-I-B

通過(guò)驗(yàn)證，我們確信這六條路途都是從A到B的最短路途.假如依據(jù)上述方法找，它的缺點(diǎn)是不能

保證找出全部的最短路途，即不能保證“不漏”.當(dāng)然假如圖形更困難些，做到“不重”也是很困難的。

現(xiàn)在視察這種題是否有規(guī)律可循。

1.看C點(diǎn)：由A、由F和由D都可以到達(dá)C,而由F-C是由下向上走，由D-C是由右向左走，這

兩條路途不管以后怎樣走都不行能是最短路途.因此，從A到C只有一條路途。

同樣道理：從A到I）、從A到E、從A到H也都只有一條路途。

我們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、D、E、H這四個(gè)點(diǎn)上，如圖4—2。

2.看F點(diǎn)：從上向下走是C-F,從左向右走是E-F,則從A點(diǎn)動(dòng)身到F,可以是AfC—F,也可以

是A-E-F,共有兩種走法.我們?cè)趫D4―2中的F點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“2".2=1+1.第一個(gè)“1”是從A-C的

一種走法；其次個(gè)“1”是從A-E的一種走法。

3.看G點(diǎn)：從上向下走是D-G,從左向右走是F-G,則從AfG

可以這樣走：A->C-*D-*G,:二:〉fFfG,共有三種走法.

ft口

我們?cè)贕點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“3".3=2+1,“2”是從A-F的兩種走法，“1”是從A-D的一種走法。

4.看I點(diǎn)：從上向下走是F-I,從左向右走是H—I,則從動(dòng)身點(diǎn)

AC

A可以這樣走：,,AfE->H->I,共有三種走法，

在I點(diǎn)標(biāo)上“3”.3=2+1.“2”是從AfF的兩種走法;在“是從A-H的一種走法。

5.看B點(diǎn)：從.上向下走是G-3,從左向右走是I-B,則從動(dòng)身點(diǎn)A—B可以這樣走：

A-*C->DXAH、

A-CfG->BA->E->?IfB

A-*C-*FA-*E-*H

共有六種走法.6二3+3,第一個(gè)“3”是從AfG共有三種走法，其次個(gè)“3”是從A->I共有三種走

法.在B點(diǎn)標(biāo)上法”。

我們視察圖4-2發(fā)覺(jué)每一個(gè)小格右下角上標(biāo)的數(shù)正好是這個(gè)小格右上角與左下角的數(shù)的和，這個(gè)

和就是從動(dòng)身點(diǎn)A到這點(diǎn)的全部最短路途的條數(shù).這樣，我們可以通過(guò)計(jì)算來(lái)確定從A-B的最短路途

的條數(shù)，而且能夠保證“不重”也“不漏”。

解：由上面的分析可以得到如下的規(guī)律：每個(gè)格右上角與左下角所標(biāo)的數(shù)字和即為這格右下角應(yīng)標(biāo)的

數(shù)字.我們稱(chēng)這種方法為對(duì)角線法，也叫標(biāo)號(hào)法。

圖4-3

依據(jù)這種“對(duì)角線法”，B點(diǎn)標(biāo)6,則從A到B就有6條不同的最短路途（見(jiàn)圖4—3）。

答：從A到B共有6條不同的最短路途。

例2圖4—4是一個(gè)街道的平面圖，縱橫各有5條路，某人從A到B處（只能從北向南與從西向東），

共有多少種不同的走法？

pX3*4

“?如

，也不/個(gè)5

圖4-4圖4-5

分析因?yàn)锽點(diǎn)在A點(diǎn)的東南方向，題目要求我們只能從北向南與從西向東，也就是要求我們走最短

路途。解：如圖4―5所示。答：從A到B共有70種不同的走法。

例3如圖4—6,從甲地到乙地最近的道路有幾條？

分析要求從甲地到乙地最近的道路有幾條，也就是求從甲地到乙地的最短路途有幾條.把各交叉點(diǎn)

標(biāo)上字母，如圖4—7.這道題的圖形與例1、例2的圖形又有所區(qū)分，因此，在解題時(shí)要特別留意是由

哪兩點(diǎn)的數(shù)之和來(lái)確定另一點(diǎn)的。

①由甲一A有1種走法，由甲一F有1種走法,則就可以確定從甲一G共有1+1=2（種）走法。

②由甲fB有1種走法，由甲fD有1種走法,則可以確定由甲一E共有1+1=2（種）走法.

③由甲fC有1種走法，由甲一H有2種走法,則可以確定由甲fj共有1+2=3（種）走法。

④由甲一G有2種走法，由甲一M有1種走法,則可以確定從甲-N共有2+1=3（種）走法。

⑤從甲->K有2種走法，從甲一E有2種走法,則從甲一L共有2+2=4（種）走法。

⑥從甲一N有3種走法，從甲一L有4種走法,則可以確定從甲fP共有3+4=7（種）走法。

⑦從甲一J有3種走法，從甲一P有7種走法,則從甲f乙共有3+7=10（種）走法。

解：在圖4—7中各交叉點(diǎn)標(biāo)上數(shù)，乙處標(biāo)上10,則從甲到乙共有10條最近的道路。

例4某城市的街道特別整齊，如圖4—8所示，從西南角A處到東北角B處要求走最近的路，并且不能

通過(guò)十字路口C（因正在修路）.問(wèn)共有多少種不同的走法?

分析因?yàn)锽點(diǎn)在A點(diǎn)的東北角，所以只能向東和向北走.為了敘述便利，在各交叉點(diǎn)標(biāo)上字母，如

圖4一9.

BsB2BiB-

廝BYBqBqBioBn

c

Cl

c2Csq

hiAio49AsAT

二AiA：AsAs

圖4-8圖4-9

①?gòu)腁-A1有1種走法，AfAll有1種走法,則可以確定從A->A10共有1+1=2（種）走法"

②從A-A2有1種走法，A-A10有2種走法,則可以確定從A-A9共有1+2=3（種）走法。

③從A-A3有1種走法，A-A9有3種走法，則可以確定從A-A8共有1+3=4（種）走法.

④從AfA4有1種走法，A-A8有4種走法，則可以確定A-A7,共有1+4=5（種）走法。

⑤從A-A5有1種走法，A-A7有5種走法，則可以確定A-A6共有1+5=6（種）走法。

⑥從A~*C1有1種走法，AfA10有2種走法，則可以確定從A->C2共有1+2=3（種）走法。

⑦從A-C2有3種走法，A-A9有3種走法，則可以確定A-C3共有3+3=6（種）走法。

⑧從A-C4可以是AfC—C4,也可以是A-A7fC4,因?yàn)镃處正在修路，所以A-CfC4行不通，只

能由A7~*C4,由于AfA7有5種走法，所以A->C4也有5種走法，從AfA6有6種走法，所以從Af

C5共有5+6=11（種）走法。

⑨從A-B6有F種走法，A-C2有3種走法，則可以確定從A-B7共有1+3=4（種）走法。

⑩從A-B7有4種走法，A-C3有6種走法，則可以確定從A-B8共有4+6=10（種）走法。

（11）從A-B9可以是A-B8-B9,也可以是A-C-B9,因?yàn)镃處正在修路，所以A-C-B9行不通，只能

由B8fB9,由于A-B8有10種走法，所以AfB9。也有1C種走法.從A-C4有5種走法，所以從A-

B10共有10+5=15（種）走法。

?從A-C5有11種走法，A—B10有15種走法，則從A-B11共有15+11=26（種）走法。

?從A-B5有1種走法，A-B7有4種走法，則可以確定從A-B4共有1+4=5（種）走法。

（14）從A-B4有5種走法，A-B8有10種走法，則可以確定從A-B3共有5+10=15（種）走法.

（15）從A-B3有15種走法，AfB9有10種走法,則可以確定從AfB2共有15+10=25（種）走法。

（16）從A-B2有25種走法，A-B10有15種走法，則可以確定從A-B1共有25+15=40（種）走法。

（17）從A-B1有40種走法，A-B11有26種走法，則可以確定從A-B共有40+26=66（種）走法。

解：如圖4T0所示。答：從A到B共有66種不同的走法.

習(xí)題四

1.假如沿圖4-11中的線段，以最短的路程，從A點(diǎn)動(dòng)身到B點(diǎn)，共有多少種不同的走法?

A

圖4-11B

2.從學(xué)校到少年宮有4條東西向的馬路和3條南北向的馬路相通.如圖4-12,李楠從學(xué)校動(dòng)身，步行到

少年宮（只許向東和向南行進(jìn)），最多有多少種不同的行走路途?

3.如圖4-13,從P到Q共有多少種不同的最短路途?

4.如圖4-14所示為某城市的街道圖，若從A走到B（只能由北向南、由西向東），則共有多少種不同

的走法?

KI1I1IIQ4I_IB

圖4-13圖4-14

5.如圖4-15所示，從甲地到乙地，最近的道路有幾條？

6.圖4-16為某城市的街道示意圖，C處正在挖下水道，不能通車(chē)，從A到B處的最短路途共有多少條？

Bn

Li—乙-T1

c

甲___________IIA

圖4-15圖4-16

7.如圖4T7所示是一個(gè)街道的平面圖，在不走回頭路、不走重復(fù)路的條件下，可以有多少種不同的走

法？

圖4-17

8.圖4-18是某城市的主要馬路示意圖，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交橋，車(chē)輛不能通行，則

從A到B的最近路途共有幾條？

習(xí)題四解答

1.解:

B答：從A到B共有126種走法。

2.解:

從學(xué)校到少年色,最多有10種不同的行走路途。

3.解:

從P到Q共有126條不同的最短路途.

4.解:

B答：從A到B共有12種走法。

5.解：

\

\4\\11

1

2、、、、3、、4

、、X.

111答：從甲到乙最近的道路有11條。

6.解:

10

B答：從A到B有25種不同的走法。

：從A到B最短的路途有699條

第五講歸一問(wèn)題

為什么把有的問(wèn)題叫歸一問(wèn)題？我國(guó)珠算除法中有一種方法，稱(chēng)為歸除法.除數(shù)是幾，就稱(chēng)幾歸；

除數(shù)是8,就稱(chēng)為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這也許就是歸一說(shuō)法的來(lái)歷吧！

歸一問(wèn)題有兩種基本類(lèi)型.一種是正歸一，也稱(chēng)為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車(chē)3小時(shí)行150千米，照這

樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱(chēng)為返回來(lái)一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這

樣，修路240千米需幾小時(shí)？

正、反歸一問(wèn)題的相同點(diǎn)是：一般狀況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在其次步.正歸一問(wèn)題是求

幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

例1一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必需先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)

數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？124-6=2（分米）②1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2X60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類(lèi)量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），

然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問(wèn)題得解。

解：1小時(shí)二60分鐘12X（60+6）=12X10=120（分米）=12（米）

或124-（64-60）=124-0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)駕，磨完剩下的面粉還要幾

小時(shí)？

方法1：

分析通過(guò)3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問(wèn)題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下

的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問(wèn)題所求。

解：（20000-6000）+（6000+3）=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

方法2：用比例關(guān)系解。

解：設(shè)磨剩下的面粉還要x小時(shí)。

20000-6000_6000

x=~6000x=3X14000x=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還耍7小時(shí)。

例3學(xué)校買(mǎi)來(lái)一些足球和籃球.已知買(mǎi)3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買(mǎi)3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花

了355元現(xiàn)在要買(mǎi)5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.依據(jù)已

知條件分析出第一次和其次次買(mǎi)的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5=2（個(gè)）,總價(jià)差355-281=74（元）.74

元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)，一個(gè)足球的價(jià)錢(qián)也可以隨之求出，使問(wèn)題

得解。

解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)：（355-281）4-（7-5）=37元②一個(gè)足球的價(jià)錢(qián)：（28137X5）4-3=32（元）

③共花多少元？32X5十37X4=308（元）

答：買(mǎi)5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4一個(gè)長(zhǎng)方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開(kāi)進(jìn)水管8小時(shí)可以把空

池注滿(mǎn)；單開(kāi)排水管6小時(shí)可把滿(mǎn)池水排空.兩管齊開(kāi)需多少小時(shí)把滿(mǎn)池水排空？

分析要求兩管齊開(kāi)須要多少小時(shí)把滿(mǎn)池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開(kāi)

時(shí)要把滿(mǎn)池水排空，排水速度必需大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決

了這個(gè)問(wèn)題，又知道總水量，就可以求出排空滿(mǎn)池水所需時(shí)間。

解：①進(jìn)水速度：4804-8=60（噸/小時(shí)）②排水速度：4804-6=80（噸/小時(shí)）

③排空全池水所需的時(shí)間：4804-（80-60）=24（小時(shí)）列綜合算式：

4804-（4804-6-4804-8）=24（小時(shí)）答：兩管齊開(kāi)需24小時(shí)把滿(mǎn)池水排空。

例57輛“黃河牌/卡車(chē)6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求須要增加同樣的卡

車(chē)多少輛？

方法1：

分析要想求增加同樣卡車(chē)多少輛，先要求出一共須要卡車(chē)多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每

趟需多少輛卡車(chē)，應(yīng)當(dāng)知道一輛卡車(chē)一次能運(yùn)多少?lài)嵣惩痢?/p>

解：①一輛卡車(chē)一次能運(yùn)多少?lài)嵣惩粒?36+6+7=56+7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必需運(yùn)走幾噸？5604-5=112（噸）

③須要增加同樣的卡車(chē)多少輛？112?8-7=7（輛）列綜合算式：

560?5：（336+6+7）-7=7（輛）答：需增加同樣的卡車(chē)7輛。

方法2：

在求一輛卡車(chē)一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同狀況的算式：①336?6-7,②336+7+

6.算式①先除以6,先求出7輛卡車(chē)1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車(chē)的載重量；算式②，先除以

7,求出一輛卡車(chē)6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6,求出每輛卡車(chē)的載重量。

在求560噸沙土5次運(yùn)完須要多少輛卡車(chē)時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

①560+5+8=112+8=14（輛）

所需的卡車(chē)一趟運(yùn)走的噸數(shù)

②560+8+5=70-5=14（輛）

運(yùn)走560噸沙土需要的車(chē)次）

③560+（8X5）=560+40=14（輛）

L一輛卡車(chē)5次運(yùn)走如噸

求出一共用車(chē)14輛后，再求增加的輛數(shù)就簡(jiǎn)單了。

例6某車(chē)間要加工一批零件，原支配由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要

求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

分析我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).依據(jù)已知條件，加工這批零件，原支配須要多少

“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或

削減，工期延長(zhǎng)或縮短，仍舊依據(jù)原來(lái)的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求

出要加班的工時(shí)數(shù)，問(wèn)題就解決了。

解：①原支配加工這批零件須要的“工時(shí)”：8X18X7.5=1080（工時(shí)）

②增加6人后每天工作幾小時(shí)?10804-（18+6）4-4=11.25（小時(shí)）

③每天加班工作幾小時(shí)?11.25-8=3.25（小時(shí)）答：每天要加班工作3.25小時(shí)。

例7甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙

打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

分析已知條件告知我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相

同”，問(wèn)題就簡(jiǎn)單解決了.題目里還告知我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出

“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了.

解：①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？36004-4=900（個(gè)）

②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？（2450+2050）4-900=5（小時(shí)）

③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：24504-5=490（個(gè)）

④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：20504-5=410（個(gè)）

答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。

還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；其次層，

在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打

字2450+2050=4500（個(gè)）；打字3600個(gè)用4小時(shí)，打字4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600

的幾倍，也肯定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。

解：①“相同時(shí)間”是幾小時(shí)?4X[（2450+2050）4-3600]=5（小時(shí)）

②甲每小時(shí)打字多少個(gè)？2450?5=490（個(gè)）③乙每小時(shí)打字多少個(gè)？20504-5=410（個(gè)）

答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).

習(xí)題五

1.花果山上桃樹(shù)多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請(qǐng)算出桃樹(shù)有幾棵？

2.5箱蜜蜂一年可以酣75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？

3.4輛汽車(chē)行駛300千米須要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車(chē)同時(shí)運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有

1000公升，問(wèn)是否夠用？

4.5臺(tái)拖拉機(jī)24天耕地12000公宙.要18天耕完54000公畝土地，須要增加同樣拖拉機(jī)多少臺(tái)？

習(xí)題五解答

1.1804-6X72+90=2250(棵)或：180X(72+6)+90=2250(棵)答：桃樹(shù)共有2253棵。

2.3004-(754-5)-5=15(箱)或5X[(300-75)4-751=5X3=15(箱)答：要增加15箱蜜蜂。

3.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行8。0千米須要的汽油，然后進(jìn)行比較.假如大

于1000公升，說(shuō)明不夠用；小于或等于1000公升，說(shuō)明夠用。240?4彳300><5><800=800(公升)800

公升V1000公升，說(shuō)明夠用.答：1000公升汽油夠用。

4.提示：先求出1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地公畝數(shù)，然后求出18天耕54000公畝須要拖拉機(jī)臺(tái)數(shù)，再求增加

臺(tái)數(shù)。

54000*18-(12000*24-5)-5=25(臺(tái))

這一步還可以用4下方法計(jì)算

①12000*5-24

②12000+(5X24)

天需要的總臺(tái)數(shù)

③12000+(24X5)

匚5臺(tái)需要的總天數(shù)

答：須要增加25臺(tái)拖拉機(jī)

第六講平均數(shù)問(wèn)題

求平均數(shù)問(wèn)題是小學(xué)學(xué)習(xí)階段常常接觸的一類(lèi)典型應(yīng)用題，如“求一個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡、平均

身高、平均分?jǐn)?shù)……”。

平均數(shù)問(wèn)題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù)。

解答這類(lèi)應(yīng)用題時(shí)，主要是弄清晰總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，依據(jù)總數(shù)除以它相對(duì)應(yīng)的

份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)。

一、算術(shù)平均數(shù)

例1用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個(gè)杯子水面平均

高度是多少厘米?

分析求4個(gè)杯子水面的平均高度，就相當(dāng)于把4個(gè)杯子里的水合在一起，再平均倒入4個(gè)杯子里,

看每個(gè)環(huán)子里水面的高度。

解：（44-5+7+8）4-4=6（厘米）答：這4個(gè)杯子水面平均高度是6厘米。

例2蔡琛在期末考試中，政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、生物五科的平均分是89分.政治、數(shù)學(xué)兩科的平

均分是91.5分.語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科的平均分是84分.政治、英語(yǔ)兩科的平均分是86分，而且英語(yǔ)比語(yǔ)文

多10分.問(wèn)蔡琛這次考試的各科成果應(yīng)是多少分？

分析解題關(guān)鍵是依據(jù)語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科平均分是84分求出兩科的總分，乂知道兩科的分?jǐn)?shù)差是10

分，用和差問(wèn)題的解法求出語(yǔ)文、英語(yǔ)各得多少分后，就可以求出其他各科成果。

解：①英語(yǔ)：（84X2+10）4-2=89（分）②語(yǔ)文：89-10=79（分）③政治：86X2-89=83（分）④數(shù)

學(xué)：91.5X2-83=100（分）⑤生物：89X5-（89+79+83+100）=94（分）

答：蔡琛這次考試英語(yǔ)、語(yǔ)文、政治、數(shù)學(xué)、生物的成果分別是89分、79分、83分、100分、94

分。

二、加權(quán)平均數(shù)

例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖

每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問(wèn)：什錦糖每千克多少元？

分析要求混合后的什錦糖每千克的價(jià)錢(qián)，必需知道混合后的總錢(qián)數(shù)和與總錢(qián)數(shù)相對(duì)應(yīng)的總千克數(shù).

解：①什錦糖的總價(jià)：4.40X2+4.20X3+7.20><5=57.4（元）②什錦糖的總干克數(shù)：2+3+5=10（千

克）③什錦糖的單價(jià)：57.4+10=5.74（元）答：混合后的什錦糖每千克5.74元。

我們把上述這種平均數(shù)問(wèn)題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元

的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個(gè)數(shù)很重要，對(duì)葉錦糖的單價(jià)產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的

作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。

例4甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉

170JT，乙棉田有多少畝？

分析此題是己知兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個(gè)數(shù)和其中一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)的問(wèn)題.

甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉

田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補(bǔ)足，也就是看90斤里面包含幾個(gè)15斤，從而求出的

是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。

解：①甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？（203-185）X5=90（斤）②乙棉田有幾畝？904-（185-170）

=6（畝）答：乙棉田有6畝。

三、連續(xù)數(shù)平均問(wèn)題

我們學(xué)過(guò)的連續(xù)數(shù)有“連續(xù)自然數(shù)”、“連續(xù)奇數(shù)”、“連續(xù)偶數(shù)”.已知幾個(gè)連續(xù)數(shù)的和求出這

幾個(gè)數(shù)，也叫平均問(wèn)題。

例5已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144,求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

分析已知偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它的特點(diǎn)是首項(xiàng)與末項(xiàng)之和等于其次項(xiàng)

與倒數(shù)其次項(xiàng)之和，等于第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)之和……即每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組，八個(gè)數(shù)分成4組，每一

組兩個(gè)數(shù)的和是144+4=36.這樣可以確定出中間的兩個(gè)數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。

解：①每組數(shù)之和：144?4=36②中間兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)：（36+2）+2=19③中間兩個(gè)數(shù)中較小的

一個(gè)：19-2二17???這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)為1八13、15、17、19、21、23和25。

答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25。

四、調(diào)和平均數(shù)

例6—個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行爬山訓(xùn)練.從A地動(dòng)身，上山路長(zhǎng)11千米，每小時(shí)行4.4千米.爬到山頂后，沿原

路下山，下山每小時(shí)行5.5千米.求這位運(yùn)動(dòng)員上山、下山的平均速度。

分析這道題目是行程問(wèn)題中關(guān)于求上、下山平均速度的問(wèn)題.解題時(shí)應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均

數(shù)這兩個(gè)不同的概念.速度的平均數(shù)二（上山速度+下山速度）+2,而平均速度=上、下山的總路程+上、

下山所用的時(shí)間和。

解：①上山時(shí)間：11+4.4=2.5（小時(shí)）②下山時(shí)間：11/5.5=2（小時(shí)）

O

③上、下山平均速度：11X2-（2.5-2）=4-（千米）

答：上、下山的平均速度是每小時(shí)45千米。

我們把41千米叫做4.4千米和5.5千米的調(diào)和平均數(shù)。

五、基準(zhǔn)數(shù)平均數(shù)

例7中關(guān)村三小有15名同學(xué)參與跳繩競(jìng)賽,他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別為93、94、85、92、86、88、

94、91、88、89、92、86、93、90、89,求每個(gè)人平均每分鐘跳繩多少個(gè)？

分析從他們每人跳繩的個(gè)數(shù)可以看出，每人跳繩的個(gè)數(shù)很接近，所以可以選擇其中一個(gè)數(shù)90做為

基準(zhǔn)數(shù)，再找出每個(gè)加數(shù)與這個(gè)基準(zhǔn)數(shù)的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的差作為加數(shù)，如93=90+3,3作為加數(shù)；小

于基準(zhǔn)數(shù)的差作為減數(shù)，如87=90-3,3作為減數(shù).把這些差累計(jì)起來(lái)，用和數(shù)的項(xiàng)數(shù)乘以基準(zhǔn)數(shù)，加

上累計(jì)差，再除以和數(shù)的個(gè)數(shù)就可以算出結(jié)果。

解：①跳繩總個(gè)數(shù)。93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

二90X15+(3+4+2+4+1+2+3)-C5+4+2+2+1+4+1)=1350+19-19=1350(個(gè))

②每人平均每分鐘跳多少個(gè)？13504-15=90(個(gè))答：每人平均每分鐘跳90個(gè).

習(xí)題六

1.某次數(shù)學(xué)考試，甲乙的成果和是184分，乙丙的成果和是187分，丙丁的成果和是188分，甲比丁

多1分，問(wèn)甲、乙、丙、丁各多少分？

2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數(shù)。

3.縫紉機(jī)廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機(jī)750臺(tái)，其次季度生產(chǎn)的是第一季度生產(chǎn)的2倍多66臺(tái)，下

半年平均月生產(chǎn)1200臺(tái)，求這個(gè)廠一年的平均月產(chǎn)量。

4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖

的價(jià)錢(qián)為8.2元？

5.7個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1988,求這7個(gè)連續(xù)偶數(shù)。

6.6個(gè)學(xué)生的年齡正好是連續(xù)自然數(shù)，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個(gè)人年齡一共是126歲,

求這6個(gè)學(xué)生各幾歲？

7.食堂買(mǎi)來(lái)5只羊，每次取出兩只合稱(chēng)一次重量，得到十種不同的重量(千克)：47、50、51、52、

53、54、55、57、58、59.問(wèn)這五只羊各重多少千克？

習(xí)題六解答

1.???甲+乙二184(1)乙+丙=187(2)丙+丁=188(3)(2)-(1)丙-甲二3(4)

(3)-(4)丁+甲=185???甲二(185+1)4-2=93(分)丁=937=92(分)乙二184-93=91(分)

丙二187-91二96(分)答：甲、乙、丙、丁的成果分別為93分、91分、96分、和92分。

2.1962+19734-1981+1994+2005=1981X5+(13+24)-(8+19)=9915。9915+5=1983。

3.①上半年總產(chǎn)量：750X3+750X3X2+66=6816(臺(tái))②下半年總產(chǎn)量：1200X6=7200(臺(tái))

③平均月產(chǎn)量：(6816+7200)+12=1168(臺(tái))答：平均月產(chǎn)量是1168臺(tái)。

4.(8.8-8.2)X54-(8.2-7.2)=3(千克)答：與乙種糖3千克混合。

5.分析已知奇數(shù)個(gè)偶數(shù)的和，可以用和除以個(gè)數(shù)求出中間數(shù)，再求出其他各偶數(shù)。中間數(shù)：1988-7=284

其他六個(gè)數(shù)分別為278、280、282、284、286、288、290。答：這7個(gè)偶數(shù)分別為：278、280282、

284、286、288、290。

6.分析6個(gè)孩子年齡和與小明爸爸年齡相同，說(shuō)明小明爸爸年齡是126歲的一半，是63歲.其他6個(gè)

學(xué)生的年齡和也是63歲.63+3=21（歲），21=10+11為中間兩個(gè)數(shù)，所以其他四人年齡依次為8、

9、12、13歲。答：這六個(gè)學(xué)生的年齡分別為：8、9、10、11、12、13歲。

7.解：設(shè)5只羊的重量從輕到重依次為Al、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47,Al+A3=50.....A3+A5二股,

A4+A5=59.10次稱(chēng)重5只羊各稱(chēng)過(guò)4次，所以它們的重量和應(yīng)是：

A1+A2+A3+A4+A5=（47+50+51+52+53+54+55+57+58+59）4-4=134

A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28Al=50-28=22A2=47-22=25

A5=58-28=30A4=59-30=29

答：這5只羊的重量分別為22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.

第七講和倍問(wèn)題

和倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題

意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采納畫(huà)線段圖的方法來(lái)表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題

的途徑。

例1甲班和乙班共有圖書(shū)160本.甲班的圖書(shū)本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書(shū)多少本？

分析設(shè)乙班的圖書(shū)本數(shù)為1份，則甲班圖書(shū)為乙班的3倍，則甲班和乙班圖書(shū)本數(shù)的和相當(dāng)于乙

班圖書(shū)