江西省橫峰中學(xué)高三第14周周練數(shù)學(xué)（文）試題

第14周高三文科數(shù)學(xué)周練試卷1．設(shè)向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1，2cosθ)垂直，則cos2θ等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C．0D．－12．已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝aeq\o\al(2,n)(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C3．設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1()A．若θ確定，則|a|唯一確定B．若θ確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則θ唯一確定D．若|b|確定，則θ唯一確定4．在以O(shè)A為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，k)，則實數(shù)k＝________．5．?dāng)?shù)列{an}的通項為an＝(－1)n·n·sineq\f(nπ,2)＋1的前n項和為Sn，則S100＝________.6．已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(eq\r(3)，－1)，且m·n＝1，A為銳角．(1)求角A的大??；(2)求函數(shù)f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.(1)求證：{lgan}是等差數(shù)列；(2)設(shè)Tn是數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,（lgan）（lgan＋1）)))的前n項和，求Tn；(3)求使Tn>eq\f(1,4)(m2－5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．8.對于數(shù)列{xn}，若對任意n∈N*，都有eq\f(xn＋xn＋2,2)＜xn＋1成立，則稱數(shù)列{xn}為“減差數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a1＝1，S3＝eq\f(7,4).(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{Sn}是否為“減差數(shù)列”；(2)設(shè)bn＝(2－nan)t＋an，若數(shù)列b3，b4，b5，…是“減差數(shù)列”，求實數(shù)t的取值范圍．

第14周高三文科數(shù)學(xué)周練試卷1．(2012·陜西，7，易)設(shè)向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1，2cosθ)垂直，則cos2θ等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C．0D．－1【答案】C∵a⊥b，∴1×(－1)＋cosθ·2cosθ＝0，即2cos2θ－1＝0，∴cos2θ＝0，故選C.2．(2014·山西晉中名校高三聯(lián)考，5)已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝aeq\o\al(2,n)(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C．2D．1【答案】C由題意可知an＋1＋an－1＝2an＝aeq\o\al(2,n)，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù)，故an＝0舍去)，又bn＋1bn－1＝beq\o\al(2,n)＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，故log2(a2＋b2)＝log24＝2.3．(2014·浙江，9，難)設(shè)θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1()A．若θ確定，則|a|唯一確定B．若θ確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則θ唯一確定D．若|b|確定，則θ唯一確定【答案】B|b＋ta|＝eq\r(（b＋ta）2)＝eq\r(b2＋2t|a||b|cosθ＋t2a2)＝eq\r(|b|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|a|2)，令y＝t2|a|2＋2t|a||b|cosθ＋|b|2，則y是關(guān)于t的一元二次函數(shù)．又∵|a|>0，∴其圖象開口向上，因此在對稱軸t＝－eq\f(|b|,|a|)·cosθ處取得最小值，由已知ymin＝eq\f(4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos2θ,4|a|2)＝|b|2－|b|2cos2θ＝|b|2(1－cos2θ)＝1，∴|b|2sin2θ＝1，∴|b|sinθ＝1，∴若θ確定，sinθ確定，從而|b|確定．若|b|確定，因為0≤θ≤π，所以θ不確定．4．(2013·重慶，14，易)在以O(shè)A為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，k)，則實數(shù)k＝________．【解析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義知eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝9＋1＝10，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3)×(－2)＋1×k＝6＋k，∴6＋k＝10，解得k＝4.【答案】45．(2015·山東濱州一模，14)數(shù)列{an}的通項為an＝(－1)n·n·sineq\f(nπ,2)＋1的前n項和為Sn，則S100＝________.【解析】由數(shù)列{an}的通項公式得a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝1，a5＝－4，a6＝1，a7＝8，a8＝1，…，四項為一組，每組的和都是6，故S100＝25×6＝150.【答案】1506．(2014·福建福州二模，16，13分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(eq\r(3)，－1)，且m·n＝1，A為銳角．(1)求角A的大小；(2)求函數(shù)f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．解：(1)由題意得m·n＝eq\r(3)sinA－cosA＝1，故2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).因為A為銳角，所以A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即A＝eq\f(π,3).(2)由(1)知cosA＝eq\f(1,2).所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2).因為x∈R，所以sinx∈[－1，1]，因此，當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)時，f(x)有最大值eq\f(3,2)，當(dāng)sinx＝－1時，f(x)有最小值－3，所以所求函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.(1)求證：{lgan}是等差數(shù)列；(2)設(shè)Tn是數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,（lgan）（lgan＋1）)))的前n項和，求Tn；(3)求使Tn>eq\f(1,4)(m2－5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．(2)解由(1)知，Tn＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋…＋\f(1,n（n＋1）)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝3－eq\f(3,n＋1).(3)解∵Tn＝3－eq\f(3,n＋1)，∴當(dāng)n＝1時，Tn取最小值eq\f(3,2).依題意有eq\f(3,2)>eq\f(1,4)(m2－5m)，解得－1<m<6，故所求整數(shù)m的取值集合為{0，1，2，3，4，5}．8.對于數(shù)列{xn}，若對任意n∈N*，都有eq\f(xn＋xn＋2,2)＜xn＋1成立，則稱數(shù)列{xn}為“減差數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且a1＝1，S3＝eq\f(7,4).(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{Sn}是否為“減差數(shù)列”；(2)設(shè)bn＝(2－nan)t＋an，若數(shù)列b3，b4，b5，…是“減差數(shù)列”，求實數(shù)t的取值范圍．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因為a1＝1，S3＝eq\f(7,4)，所以1＋q＋q2＝eq\f(7,4)，即4q2＋4q－3＝0，所以(2q－1)(2q＋3)＝0.因為q＞0，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2n－1)，Sn＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,2n－1)，所以eq\f(Sn＋Sn＋2,2)＝2－eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n＋2)＜2－eq\f(1,2n)＝Sn＋1，所以數(shù)列{Sn}是“減差數(shù)列”．(2)由題設(shè)知，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n,2n－1)))t＋eq\f(1,2n－1)＝2t－eq\f(tn－1,2n－1).由eq\f(bn＋bn＋2,2)＜bn＋1(n≥3，n∈N*)，得t－eq\f(tn－1,2n)＋t－eq\f(t（n＋2）－