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研究報告-1-表上作業(yè)法的退化解一、表上作業(yè)法概述1.表上作業(yè)法的定義表上作業(yè)法是一種求解線性規(guī)劃問題的方法,它將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個表格形式,通過對表格進(jìn)行一系列的行變換和列變換,找到最優(yōu)解。這種方法最早由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇在20世紀(jì)30年代提出,后來被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)管理、經(jīng)濟(jì)計劃、資源配置等領(lǐng)域。表上作業(yè)法的基本思想是將線性規(guī)劃問題的約束條件轉(zhuǎn)化為等式,形成所謂的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,然后通過主元選擇、行變換和列變換等步驟,逐步消去非基本變量,最終得到一個只包含基本變量的解。在這個過程中,表上作業(yè)法通過觀察目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化,判斷最優(yōu)解是否已經(jīng)找到,從而避免了對整個解空間進(jìn)行窮舉搜索,大大提高了求解效率。具體來說,表上作業(yè)法首先將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,即在約束條件中引入松弛變量、過剩變量或人工變量,使所有約束條件變?yōu)榈仁?。接著,通過選擇主元,使得目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非零元素變?yōu)榱?,同時調(diào)整其他行,使主元所在列的其他元素變?yōu)榱恪_@一過程稱為行變換。然后,通過列變換,使得目標(biāo)函數(shù)中除了主元所在列的其他元素均為零,這一過程稱為列變換。通過一系列的行變換和列變換,逐步消去非基本變量,直到目標(biāo)函數(shù)中只包含基本變量。在整個過程中,表上作業(yè)法通過觀察目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化,判斷最優(yōu)解是否已經(jīng)找到。如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)均為非負(fù)值,則找到了最優(yōu)解;如果存在負(fù)值,則需要繼續(xù)進(jìn)行行變換和列變換,直到找到最優(yōu)解。表上作業(yè)法的核心在于主元的選擇和變換的順序。主元的選擇通常遵循最小比值規(guī)則,即選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非零元素作為主元。變換的順序則遵循最小比值規(guī)則和最小正數(shù)規(guī)則,以確保變換后的解仍然是可行的。此外,表上作業(yè)法還涉及到人工變量的引入和消去,以及退化解的處理。在引入人工變量的情況下,需要通過兩階段法來求解線性規(guī)劃問題。在退化解的處理中,需要根據(jù)退化解的類型和程度,采取相應(yīng)的策略來恢復(fù)可行解??傊砩献鳂I(yè)法通過一系列的數(shù)學(xué)操作,將復(fù)雜的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個可操作的表格,從而有效地求解最優(yōu)解。2.表上作業(yè)法的特點(1)表上作業(yè)法的一個顯著特點是直觀性和易于理解。該方法通過將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個表格形式,使得決策者可以直觀地看到各個變量和約束條件之間的關(guān)系。這種表格形式的展示方式使得問題的結(jié)構(gòu)更加清晰,便于決策者進(jìn)行分析和決策。(2)另一個特點是表上作業(yè)法具有較好的通用性。它適用于各種類型的線性規(guī)劃問題,包括標(biāo)準(zhǔn)形式和非標(biāo)準(zhǔn)形式。此外,該方法還適用于具有多個約束條件和多個決策變量的復(fù)雜問題。這使得表上作業(yè)法成為解決線性規(guī)劃問題的一種非常靈活和廣泛使用的方法。(3)表上作業(yè)法的第三個特點是計算過程的簡便性。該方法主要通過行變換和列變換來實現(xiàn),這些變換在數(shù)學(xué)上相對簡單,易于實現(xiàn)。此外,表上作業(yè)法還具有較好的穩(wěn)定性,即使初始數(shù)據(jù)有所變化,只要遵循正確的變換規(guī)則,通常能夠得到正確的結(jié)果。這些特點使得表上作業(yè)法在求解線性規(guī)劃問題時具有較高的實用性和效率。3.表上作業(yè)法的適用范圍(1)表上作業(yè)法在工業(yè)生產(chǎn)計劃領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它可以幫助企業(yè)優(yōu)化生產(chǎn)流程,合理安排生產(chǎn)資源,提高生產(chǎn)效率。例如,在制定生產(chǎn)計劃時,可以運用表上作業(yè)法來平衡不同產(chǎn)品的生產(chǎn)量,確保原材料和人力資源的合理分配。(2)在交通運輸領(lǐng)域,表上作業(yè)法同樣發(fā)揮著重要作用。它可以用于解決運輸問題,如貨物的配送和調(diào)運。通過表上作業(yè)法,可以確定最優(yōu)的運輸方案,降低運輸成本,提高運輸效率。此外,該方法還適用于解決多車輛路徑問題,優(yōu)化配送路線。(3)在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域,表上作業(yè)法也得到廣泛應(yīng)用。它可以幫助企業(yè)進(jìn)行投資決策、成本分析和庫存管理。例如,在投資決策中,表上作業(yè)法可以用于評估不同投資方案的風(fēng)險和收益,為企業(yè)提供決策依據(jù)。在成本分析中,可以運用表上作業(yè)法來分析不同成本因素對總成本的影響,為企業(yè)成本控制提供參考。在庫存管理中,表上作業(yè)法可以幫助企業(yè)確定最優(yōu)的訂貨策略,降低庫存成本??傊砩献鳂I(yè)法在多個領(lǐng)域都展現(xiàn)出其強(qiáng)大的應(yīng)用價值。二、表上作業(yè)法的基本原理1.表上作業(yè)法的理論基礎(chǔ)(1)表上作業(yè)法的理論基礎(chǔ)主要建立在線性代數(shù)和線性規(guī)劃理論之上。線性代數(shù)提供了處理線性方程組和解線性不等式的方法,這是表上作業(yè)法解決線性規(guī)劃問題的核心。在表上作業(yè)法中,線性方程組通過引入松弛變量、過剩變量或人工變量被轉(zhuǎn)化為等式,從而可以使用線性代數(shù)中的矩陣運算來求解。(2)線性規(guī)劃理論是表上作業(yè)法的關(guān)鍵組成部分。線性規(guī)劃理論研究的是在給定線性約束條件下,如何找到線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。表上作業(yè)法通過將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個標(biāo)準(zhǔn)形式的表格,然后通過行變換和列變換來尋找最優(yōu)解,這一過程完全符合線性規(guī)劃理論的基本原理。(3)表上作業(yè)法的理論基礎(chǔ)還包括對偶理論。對偶理論指出,對于任何線性規(guī)劃問題,都存在一個與之相關(guān)的對偶問題。對偶問題的解可以提供原問題的某些信息,如最優(yōu)解的下界。在表上作業(yè)法中,對偶理論可以幫助分析問題結(jié)構(gòu),優(yōu)化變換過程,并提高求解效率。此外,對偶理論還與靈敏度分析和影子價格等概念密切相關(guān),這些概念對于理解線性規(guī)劃問題的性質(zhì)和優(yōu)化決策具有重要意義。2.表上作業(yè)法的數(shù)學(xué)模型(1)表上作業(yè)法的數(shù)學(xué)模型通常以線性規(guī)劃問題的形式表示。一個線性規(guī)劃問題包括一個目標(biāo)函數(shù)和一系列線性不等式或等式約束。目標(biāo)函數(shù)可以是最大化或最小化某種線性組合的決策變量。這些決策變量代表實際問題的決策因素,如生產(chǎn)量、成本、時間等。(2)在表上作業(yè)法中,線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型通常被轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。這意味著所有的不等式約束都轉(zhuǎn)換為等式約束,并引入松弛變量、過剩變量或人工變量。這些變量用于保證原問題的約束條件在模型中得以滿足。標(biāo)準(zhǔn)形式的數(shù)學(xué)模型通常如下所示:\[\begin{align*}\text{最大化}\quad&c^Tx\\\text{滿足}\quad&Ax=b\\&x\geq0\end{align*}\]其中,\(c\)是目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量,\(x\)是決策變量向量,\(A\)是約束矩陣,\(b\)是約束右端向量。(3)在標(biāo)準(zhǔn)形式的基礎(chǔ)上,表上作業(yè)法通過引入人工變量將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束。這些人工變量在初始階段被引入以保持問題的可行性,但在最終解中通常會被消除。通過主元選擇和行變換,表上作業(yè)法逐步將非基本變量轉(zhuǎn)換為基本變量,直到所有基本變量的系數(shù)均為非負(fù)值,從而找到最優(yōu)解。這個過程涉及到目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的調(diào)整、主元的選擇和變換矩陣的構(gòu)建,所有這些步驟都嚴(yán)格遵循線性規(guī)劃理論的數(shù)學(xué)模型。3.表上作業(yè)法的基本步驟(1)表上作業(yè)法的基本步驟首先是對原始線性規(guī)劃問題進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。這一步驟包括將所有的不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束,并在必要時引入松弛變量、過剩變量或人工變量。這一步的目的是確保問題能夠以標(biāo)準(zhǔn)形式呈現(xiàn),使得后續(xù)的行變換和列變換操作得以順利進(jìn)行。(2)在標(biāo)準(zhǔn)化處理完成后,接下來是主元選擇階段。這一階段的目標(biāo)是確定哪個變量應(yīng)該成為主變量,以便進(jìn)行行變換和列變換。主元的選擇通常遵循最小比值規(guī)則,即選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非零元素作為主元。這一步驟是表上作業(yè)法的關(guān)鍵,因為它直接影響到求解的效率和正確性。(3)主元確定后,接下來的步驟是進(jìn)行行變換和列變換。行變換的目的是使主元所在列的其他元素變?yōu)榱?,而列變換的目的是使主元所在行的其他元素變?yōu)榱恪_@些變換通過矩陣運算實現(xiàn),包括主元行的擴(kuò)展和主元列的壓縮。隨著變換的進(jìn)行,非基本變量逐漸被消除,而基本變量則被保留在表格中。這一過程反復(fù)進(jìn)行,直到目標(biāo)函數(shù)中的所有元素(除了主元所在列的系數(shù))都變?yōu)榱悖@時就找到了最優(yōu)解。三、表上作業(yè)法的建模1.決策變量的確定(1)決策變量的確定是線性規(guī)劃問題建模過程中的關(guān)鍵步驟。決策變量代表問題中需要做出決策的因素,如生產(chǎn)數(shù)量、資源分配、產(chǎn)品組合等。在確定決策變量時,首先需要理解問題的背景和目標(biāo),明確哪些變量是關(guān)鍵因素,這些變量將直接影響到目標(biāo)函數(shù)的值。(2)決策變量的確定通?;趩栴}的實際需求。例如,在生產(chǎn)計劃問題中,決策變量可能包括每種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量;在運輸問題中,決策變量可能是每條運輸路線上的貨物數(shù)量。確定決策變量時,需要確保它們能夠全面反映問題的各個方面,同時避免引入不必要的變量,以免增加模型的復(fù)雜性和求解難度。(3)決策變量的具體形式取決于問題的類型和目標(biāo)。在一些情況下,決策變量可能是連續(xù)的,如生產(chǎn)量或時間;在另一些情況下,決策變量可能是離散的,如產(chǎn)品數(shù)量或運輸路線。在確定決策變量的取值范圍時,需要考慮問題的實際約束,如資源限制、生產(chǎn)能力、市場需求等。正確地確定決策變量是保證線性規(guī)劃模型準(zhǔn)確性和求解有效性的基礎(chǔ)。2.目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建(1)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建是線性規(guī)劃問題建模的核心環(huán)節(jié),它直接反映了問題的優(yōu)化目標(biāo)。在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時,需要根據(jù)問題的具體要求,確定是最大化還是最小化某個線性組合的決策變量。例如,在成本最小化問題中,目標(biāo)函數(shù)可能是一個關(guān)于生產(chǎn)成本的線性表達(dá)式;而在利潤最大化問題中,目標(biāo)函數(shù)則可能是一個關(guān)于收益的線性表達(dá)式。(2)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建通常涉及對問題中各個決策變量的權(quán)重進(jìn)行賦值。這些權(quán)重代表了不同決策變量對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)程度。例如,在資源分配問題中,不同資源的權(quán)重可能反映了它們對項目完成時間或成本的影響。正確地賦予權(quán)重對于確保目標(biāo)函數(shù)能夠準(zhǔn)確反映問題的優(yōu)化目標(biāo)是至關(guān)重要的。(3)在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時,還需要考慮問題的約束條件。這些約束條件可能限制決策變量的取值范圍,或者對目標(biāo)函數(shù)的值施加限制。因此,目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建不僅要反映決策變量的優(yōu)化目標(biāo),還要與約束條件相協(xié)調(diào)。這要求在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時,對問題的所有相關(guān)因素進(jìn)行全面分析,以確保目標(biāo)函數(shù)能夠真實地反映問題的優(yōu)化需求。3.約束條件的建立(1)約束條件的建立是線性規(guī)劃問題建模中的重要環(huán)節(jié),它反映了實際問題中存在的限制或要求。這些約束條件可以是資源的限制、時間的要求、成本的控制等。在建立約束條件時,需要詳細(xì)分析問題的背景,識別出所有對決策變量施加限制的因素。(2)約束條件的表達(dá)形式通常為線性不等式或等式。線性不等式可以是“小于等于”(≤)、“大于等于”(≥)或“等于”(=)的形式。例如,在一個生產(chǎn)問題中,原材料的使用量可能受到限制,這可以表達(dá)為一個“小于等于”的不等式約束。建立約束條件時,必須確保所有實際情況下的限制都被納入模型。(3)約束條件的建立還需要考慮到問題的可行性和有效性。這意味著約束條件不僅應(yīng)該反映實際限制,而且應(yīng)該確保問題有解。在某些情況下,可能需要引入額外的約束條件,如非負(fù)性約束,以確保決策變量的值不會為負(fù)。此外,建立約束條件時還需要考慮變量之間的相互關(guān)系,以及這些關(guān)系如何影響問題的整體求解過程。四、表上作業(yè)法的初始基本可行解1.初始基本可行解的概念(1)初始基本可行解是線性規(guī)劃問題中的一個基本概念,它指的是滿足所有約束條件且至少有一個變量取非負(fù)值的解。在求解線性規(guī)劃問題時,找到初始基本可行解是至關(guān)重要的,因為它為后續(xù)的迭代過程提供了起點。(2)初始基本可行解的確定通常需要通過引入松弛變量、過剩變量或人工變量來實現(xiàn)。這些變量的引入是為了將原問題的不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束,從而在標(biāo)準(zhǔn)形式下進(jìn)行求解。在引入這些變量后,通過適當(dāng)?shù)男凶儞Q,可以找到一個或多個變量為非負(fù)值的解,這個解即為初始基本可行解。(3)初始基本可行解的概念在表上作業(yè)法中尤為重要。在表上作業(yè)法中,通過主元選擇和行變換,逐步將非基本變量轉(zhuǎn)換為基本變量,直到找到一個初始基本可行解。這個解不僅是可行的,而且還是最優(yōu)解的一個必要條件。因此,確定初始基本可行解是線性規(guī)劃問題求解過程中不可或缺的一步。2.初始基本可行解的確定方法(1)初始基本可行解的確定方法之一是通過引入松弛變量。當(dāng)線性規(guī)劃問題中的約束條件為“小于等于”或“大于等于”形式時,可以通過引入松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束。例如,對于“小于等于”的約束,可以引入一個非負(fù)的松弛變量,使得原約束變?yōu)榈仁?。通過這種方式,可以確保解的可行性,因為松弛變量的非負(fù)性保證了原約束條件的滿足。(2)另一種確定初始基本可行解的方法是使用過剩變量。當(dāng)約束條件為“大于等于”形式時,可以引入過剩變量。過剩變量與松弛變量類似,也是非負(fù)的,但它的引入是為了將“大于等于”的約束轉(zhuǎn)換為等式。通過過剩變量的引入,可以在初始解中保持原約束條件的可行性。(3)在某些情況下,如果線性規(guī)劃問題中存在“等于”的約束條件,或者原問題本身就是標(biāo)準(zhǔn)形式,那么可能不需要引入額外的變量。在這種情況下,可以通過直接觀察原問題的系數(shù)矩陣和常數(shù)項來確定初始基本可行解。例如,如果某個變量的系數(shù)在目標(biāo)函數(shù)和所有約束條件中均為零,并且常數(shù)項也為零,那么這個變量可以取任意非負(fù)值,從而為其他變量的確定提供基礎(chǔ)。這種方法適用于簡單問題,但在復(fù)雜問題中可能需要額外的技巧和經(jīng)驗。3.初始基本可行解的舉例說明(1)假設(shè)有一個簡單的線性規(guī)劃問題,目標(biāo)是最大化利潤。問題中有兩個決策變量:生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量x和生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量y。約束條件包括原材料的使用量不超過100單位,以及生產(chǎn)A和B產(chǎn)品所需的人工時間不超過50小時。目標(biāo)函數(shù)為最大化5x+4y。初始時,我們可以將原材料和人工時間的約束轉(zhuǎn)換為等式,并引入松弛變量s1和s2。問題變?yōu)椋鹤畲蠡?x+4y約束條件:x+y≤100x+y≤50x,y,s1,s2≥0通過引入松弛變量,我們得到了一個初始基本可行解,例如x=0,y=0,s1=100,s2=50。這個解滿足所有約束條件,并且至少有一個變量(松弛變量)取非負(fù)值。(2)考慮一個運輸問題,有三個目的地D1、D2和D3,以及兩個供應(yīng)點S1和S2。每個目的地的需求量已知,每個供應(yīng)點的供應(yīng)量也已知。運輸成本隨距離而變化。問題是要確定每個供應(yīng)點到每個目的地的運輸量,以最小化總運輸成本。引入決策變量xiy表示從供應(yīng)點i到目的地y的運輸量。約束條件包括供應(yīng)點的供應(yīng)量不超過,以及目的地的需求量不超過。目標(biāo)函數(shù)是最小化總運輸成本。通過引入松弛變量,可以將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束。例如,對于供應(yīng)點S1,約束條件可能為:2x11+3x12+x13≤150x11,x12,x13,s11,s12,s13≥0這里,x11,x12,x13是決策變量,s11,s12,s13是松弛變量。一個初始基本可行解可能為x11=0,x12=0,x13=0,s11=150,s12=0,s13=0,滿足供應(yīng)點的供應(yīng)量不超過的約束。(3)在資源分配問題中,假設(shè)有一個工廠需要分配一定數(shù)量的資源(如機(jī)器時間、原材料等)到不同的生產(chǎn)線。每個生產(chǎn)線有特定的產(chǎn)量要求和資源限制。目標(biāo)是最小化生產(chǎn)成本。問題可以建模為一個線性規(guī)劃問題,其中決策變量表示分配到每個生產(chǎn)線的資源量。約束條件包括資源的總量不超過、生產(chǎn)線的產(chǎn)量要求等。目標(biāo)函數(shù)是最小化總成本。例如,假設(shè)有兩個生產(chǎn)線P1和P2,資源總量為100單位,P1和P2的產(chǎn)量要求分別為40和60單位。約束條件可能為:2x1+3x2≤100x1+x2≥40x1,x2≥0一個初始基本可行解可能為x1=40,x2=0,滿足資源總量不超過和產(chǎn)量要求的約束。這個解至少有一個變量(x1)取非負(fù)值,是問題的可行解。五、表上作業(yè)法的退化解過程1.退化解的定義(1)退化解,又稱退化解或退化情形,是指在求解線性規(guī)劃問題時,由于某些約束條件或目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生特定變化,導(dǎo)致問題的解集退化到一個或多個變量的值為零的解。這種情形通常發(fā)生在約束條件比決策變量多的情況下,或者目標(biāo)函數(shù)中某些系數(shù)為零時。(2)退化解的定義涉及到線性規(guī)劃問題的基本結(jié)構(gòu)。在標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題中,目標(biāo)函數(shù)是一個線性組合的決策變量,而約束條件由線性不等式或等式組成。當(dāng)這些約束條件或目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化,使得某個變量的值必須為零以保持問題的可行性時,就出現(xiàn)了退化解。這種解的特點是它不能提供完整的資源分配或決策方案,因為它忽略了某些決策變量的作用。(3)退化解通常是由于線性規(guī)劃問題中的某些特殊條件引起的,如多重約束或特殊的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)。在多重約束的情況下,如果某個決策變量的系數(shù)在所有約束條件中均為零,那么這個變量的值將不會影響問題的解。在特殊的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)情況下,如果某個變量的系數(shù)為零,那么在最優(yōu)解中,這個變量的值也將為零。退化解的出現(xiàn)需要通過特定的方法來處理,以確保問題能夠找到有效的解。2.退化解的條件(1)退化解的條件之一是線性規(guī)劃問題中存在多重約束。當(dāng)問題中存在多個等式約束,且這些約束之間可以相互替代時,就會導(dǎo)致退化解。例如,如果問題中有兩個等式約束,但它們實際上描述的是同一個條件,那么在求解過程中,其中一個約束可以被另一個約束所替代,導(dǎo)致至少一個變量的值為零。(2)另一個導(dǎo)致退化解的條件是目標(biāo)函數(shù)中某些系數(shù)為零。如果目標(biāo)函數(shù)中某個決策變量的系數(shù)為零,那么在最優(yōu)解中,這個變量的值也將為零。這種情況可能發(fā)生在目標(biāo)函數(shù)的某些變量對問題的目標(biāo)沒有貢獻(xiàn)時,或者是在對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理時引入的變量。(3)退化解還可能由于線性規(guī)劃問題中的約束條件與決策變量的系數(shù)之間的關(guān)系引起的。例如,如果一個決策變量在所有約束條件中的系數(shù)都為零,那么這個變量在求解過程中可以被忽略,因為它不會影響任何約束條件的滿足。此外,如果某個約束條件在所有決策變量中的系數(shù)都為零,那么這個約束條件也可以被忽略,因為它不會對問題的解產(chǎn)生影響。這些情況都可能導(dǎo)致退化解的出現(xiàn)。3.退化解的計算方法(1)退化解的計算方法通常包括對線性規(guī)劃問題進(jìn)行敏感性分析。敏感性分析可以幫助識別哪些變量的系數(shù)變化會導(dǎo)致退化解。在計算過程中,首先通過主元選擇和行變換找到初始基本可行解。然后,逐步改變目標(biāo)函數(shù)中某些變量的系數(shù),觀察解的變化情況。(2)當(dāng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)中某個變量的系數(shù)變化導(dǎo)致解的退化解時,可以采取以下步驟進(jìn)行處理。首先,檢查該變量的系數(shù)是否為零。如果為零,則該變量在最優(yōu)解中將被忽略。其次,如果系數(shù)非零,則需要檢查是否存在多重約束或特殊條件導(dǎo)致退化解。如果存在,則可能需要調(diào)整約束條件或目標(biāo)函數(shù),以避免退化解。(3)在實際計算中,退化解的處理方法還包括對約束條件進(jìn)行松弛或緊縮。如果某個約束條件在所有決策變量中的系數(shù)都為零,那么可以嘗試松弛或緊縮該約束,以觀察解的變化。此外,還可以通過引入新的約束條件或修改現(xiàn)有約束條件來避免退化解。這些方法可以幫助確保線性規(guī)劃問題在求解過程中不會出現(xiàn)退化解,從而得到有效的決策方案。六、退化解的判別準(zhǔn)則1.判別準(zhǔn)則的類型(1)判別準(zhǔn)則的類型之一是最小比值規(guī)則。這個規(guī)則用于選擇主元,即在當(dāng)前階段目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非零元素。最小比值規(guī)則通過比較目標(biāo)函數(shù)系數(shù)與對應(yīng)約束條件的比率來確定主元。選擇最小比值的變量作為主元,有助于逐步消除目標(biāo)函數(shù)中的非零系數(shù),從而向最優(yōu)解靠近。(2)另一種判別準(zhǔn)則類型是最大系數(shù)規(guī)則。在最大系數(shù)規(guī)則中,選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)絕對值最大的變量作為主元。這種方法適用于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化較大時,能夠快速縮小搜索范圍,加快求解速度。最大系數(shù)規(guī)則在選擇主元時考慮了系數(shù)的絕對值,而不是其符號。(3)第三種判別準(zhǔn)則類型是最大正系數(shù)規(guī)則。在這個規(guī)則中,選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中最大的正數(shù)作為主元。這種方法適用于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中正數(shù)和負(fù)數(shù)共存的情況,能夠確保在求解過程中始終朝著目標(biāo)函數(shù)值增加的方向移動。最大正系數(shù)規(guī)則有助于在求解過程中避免陷入局部最優(yōu)解。2.判別準(zhǔn)則的應(yīng)用(1)判別準(zhǔn)則在表上作業(yè)法中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在主元的選擇過程中。通過應(yīng)用判別準(zhǔn)則,可以有效地確定在當(dāng)前階段應(yīng)將哪個變量選為主元。例如,最小比值規(guī)則在確定主元時,能夠確保每次變換后目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的非零元素逐漸減少,從而逐步接近最優(yōu)解。這種應(yīng)用使得求解過程更加系統(tǒng)化,避免了盲目選擇主元可能帶來的效率低下。(2)判別準(zhǔn)則的應(yīng)用還體現(xiàn)在對問題可行性的判斷上。在求解線性規(guī)劃問題時,判別準(zhǔn)則可以幫助識別問題是否存在退化解。例如,當(dāng)所有目標(biāo)函數(shù)系數(shù)都為零時,表明問題可能存在退化解。通過應(yīng)用判別準(zhǔn)則,可以及時發(fā)現(xiàn)問題并采取相應(yīng)措施,如調(diào)整約束條件或目標(biāo)函數(shù),以確保求解過程的正確性和有效性。(3)判別準(zhǔn)則在表上作業(yè)法中的應(yīng)用還體現(xiàn)在求解過程的優(yōu)化上。通過選擇合適的主元和變換順序,可以減少計算量,提高求解效率。例如,最大正系數(shù)規(guī)則在選擇主元時,能夠確保求解過程中始終朝著目標(biāo)函數(shù)值增加的方向移動,從而避免不必要的迭代。這種應(yīng)用有助于在保證求解正確性的同時,提高求解速度和計算效率。3.判別準(zhǔn)則的局限性(1)判別準(zhǔn)則的局限性之一在于其適用性受到問題特性的限制。某些判別準(zhǔn)則,如最小比值規(guī)則,在處理具有多個等式約束和復(fù)雜系數(shù)矩陣的問題時可能不夠有效。在這種情況下,最小比值規(guī)則可能導(dǎo)致求解過程變得復(fù)雜,甚至可能無法找到最優(yōu)解。(2)另一個局限性是判別準(zhǔn)則在選擇主元時可能存在偏差。例如,最大正系數(shù)規(guī)則在處理目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中正數(shù)和負(fù)數(shù)共存的問題時,可能會優(yōu)先選擇正系數(shù)較大的變量作為主元,而忽略負(fù)系數(shù)變量對解的影響。這種偏差可能導(dǎo)致求解過程偏離最優(yōu)解。(3)判別準(zhǔn)則的局限性還體現(xiàn)在其對初始基本可行解的依賴上。在表上作業(yè)法中,判別準(zhǔn)則的應(yīng)用通常需要基于一個初始基本可行解。如果初始解的選擇不當(dāng),可能會導(dǎo)致判別準(zhǔn)則失效,從而影響求解過程的正確性和效率。此外,判別準(zhǔn)則在實際應(yīng)用中可能需要結(jié)合其他方法或策略,以克服這些局限性。七、退化解的改進(jìn)方法1.改進(jìn)方法的目的(1)改進(jìn)方法的目的之一是提高表上作業(yè)法的求解效率。在傳統(tǒng)的表上作業(yè)法中,求解過程可能涉及到大量的行變換和列變換,這些操作可能會消耗大量的計算資源。通過改進(jìn)方法,可以優(yōu)化變換步驟,減少不必要的計算,從而在保持解的正確性的同時,加快求解速度。(2)改進(jìn)方法的另一個目的是增強(qiáng)表上作業(yè)法的魯棒性。在實際應(yīng)用中,線性規(guī)劃問題的數(shù)據(jù)可能存在不確定性,如系數(shù)的微小變化或數(shù)據(jù)輸入錯誤。改進(jìn)方法通過引入額外的檢查和調(diào)整機(jī)制,可以提高模型對數(shù)據(jù)變化的適應(yīng)性,減少因數(shù)據(jù)誤差導(dǎo)致的不正確解。(3)最后,改進(jìn)方法的目的是提升用戶對表上作業(yè)法的理解和操作便捷性。通過改進(jìn)方法,可以使求解過程更加直觀和易于理解,降低用戶的學(xué)習(xí)成本。此外,改進(jìn)方法還可以提供更多的工具和選項,使用戶能夠根據(jù)具體問題的特點靈活調(diào)整求解策略,從而更好地滿足不同用戶的實際需求。2.改進(jìn)方法的原則(1)改進(jìn)方法的原則之一是保持求解過程的穩(wěn)定性。在改進(jìn)方法的設(shè)計中,需要確保在引入新的變換或策略時,不會破壞現(xiàn)有解的可行性。這意味著任何改進(jìn)措施都應(yīng)基于線性規(guī)劃問題的基本數(shù)學(xué)原理,避免引入可能導(dǎo)致解集變化的操作。(2)另一個原則是提高求解效率。改進(jìn)方法應(yīng)旨在減少不必要的計算步驟,優(yōu)化變換順序,以及利用計算機(jī)算法的優(yōu)勢。這包括選擇合適的主元規(guī)則、優(yōu)化行變換和列變換的順序,以及利用迭代算法的優(yōu)勢來減少求解時間。(3)第三項原則是增強(qiáng)模型的靈活性。改進(jìn)方法應(yīng)允許用戶根據(jù)問題的具體特點調(diào)整求解參數(shù),如松弛變量的引入、人工變量的處理以及目標(biāo)函數(shù)的調(diào)整。這種靈活性使得改進(jìn)方法能夠適應(yīng)不同類型的問題,同時保持其通用性和適用性。此外,改進(jìn)方法還應(yīng)提供足夠的反饋機(jī)制,幫助用戶理解求解過程和結(jié)果。3.改進(jìn)方法的實施(1)改進(jìn)方法的實施首先需要對線性規(guī)劃問題的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)處理。這包括檢查約束條件的有效性,確保所有數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的,并且符合問題的實際背景。在預(yù)處理階段,可能需要刪除冗余的約束條件或合并相似的約束,以簡化問題。(2)在實施改進(jìn)方法時,關(guān)鍵步驟之一是選擇合適的主元規(guī)則。這通常涉及到比較目標(biāo)函數(shù)系數(shù)與對應(yīng)約束條件的比率,以確定哪個變量應(yīng)該成為主元。選擇合適的主元規(guī)則可以顯著提高求解效率,減少不必要的迭代次數(shù)。(3)另一個實施改進(jìn)方法的步驟是優(yōu)化行變換和列變換的順序。這可以通過預(yù)計算或動態(tài)規(guī)劃來實現(xiàn),以確保在每次變換后,目標(biāo)函數(shù)中的非零系數(shù)盡可能減少,同時保持解的可行性。此外,實施改進(jìn)方法還可能包括引入額外的算法,如分支定界法或割平面法,以處理更復(fù)雜的問題或解決特定類型的線性規(guī)劃問題。八、退化解的實例分析1.實例選擇(1)實例選擇在應(yīng)用表上作業(yè)法時至關(guān)重要,它直接影響到模型的有效性和求解結(jié)果的可信度。在選擇實例時,應(yīng)考慮問題的實際背景和特點。例如,選擇一個與生產(chǎn)計劃相關(guān)的實例,可以幫助理解如何在實際生產(chǎn)過程中應(yīng)用表上作業(yè)法來優(yōu)化資源配置和生產(chǎn)效率。(2)實例的選擇還應(yīng)考慮到問題的規(guī)模和復(fù)雜性。較小的實例可以用于演示基本概念和求解步驟,而較大的實例則可以展示表上作業(yè)法在處理更復(fù)雜情況時的能力和局限性。在選擇實例時,應(yīng)確保實例足夠復(fù)雜,以便展示改進(jìn)方法和策略的有效性。(3)此外,實例的選擇還應(yīng)考慮數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可獲得性。實例中的數(shù)據(jù)應(yīng)真實可靠,以便于驗證求解結(jié)果。同時,實例的數(shù)據(jù)應(yīng)足夠豐富,包括不同的決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù),這樣可以在實際應(yīng)用中提供更多參考和指導(dǎo)。在選擇實例時,還應(yīng)考慮到問題的普遍性,以便研究結(jié)果能夠推廣到類似的其他問題。2.實例的建模(1)實例的建模是應(yīng)用表上作業(yè)法的關(guān)鍵步驟之一。在這一步驟中,需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。這包括確定決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。例如,在一個生產(chǎn)問題中,決策變量可能是每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量,目標(biāo)函數(shù)可能是利潤最大化,而約束條件可能是資源限制、生產(chǎn)能力等。(2)在建模過程中,需要仔細(xì)分析問題的具體細(xì)節(jié),以確保所有相關(guān)因素都被納入模型。這可能涉及到將實際問題中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性近似,或者將復(fù)雜的多變量問題簡化為單變量問題。此外,建模時還應(yīng)考慮變量的取值范圍,確保所有變量都是非負(fù)的,符合實際情況。(3)實例建模的另一個重要方面是確保模型的準(zhǔn)確性和可行性。這通常需要通過敏感性分析來驗證模型對參數(shù)變化的響應(yīng)。此外,建模過程中還應(yīng)考慮到模型的擴(kuò)展性,以便在需要時能夠添加新的變量或約束條件,從而適應(yīng)問題的變化或擴(kuò)展。通過這樣的建模過程,可以確保表上作業(yè)法能夠有效地應(yīng)用于實際問題。3.實例的求解過程(1)實例的求解過程通常從將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式開始。這一步驟包括將所有的不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束,并在必要時引入松弛變量、過剩變量或人工變量。例如,在一個生產(chǎn)問題中,如果約束條件是“小于等于”形式,可以引入松弛變量將不等式轉(zhuǎn)換為等式。(2)在標(biāo)準(zhǔn)形式確定后,求解過程進(jìn)入主元選擇階段。這一階段的目標(biāo)是確定哪個變量應(yīng)該成為主元,以便進(jìn)行行變換和列變換。主元的選擇通常遵循最小比值規(guī)則,即選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)最小的非零元素作為主元。這一步驟是表上作業(yè)法的關(guān)鍵,因為它直接影響到求解的效率和正確性。(3)主元確定后,接下來是進(jìn)行行變換和列變換。行變換的
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