2023-2024學年四川省達州市高二下學期7月期末監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省達州市2023-2024學年高二下學期7月期末監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需要改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.2 B. C.1 D.0【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以或，故A錯誤；所以，故B錯誤；所以，故C正確；所以不是Z的子集，故D錯誤.故選：C.3.已知單位向量，的夾角為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】.故選：B4.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，虛軸長為，離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得，所以，所以雙曲線的左頂點，右焦點，故AB錯誤；虛軸長，故C錯誤；離心率，故D正確.故選：D.5.在中，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體則該旋轉(zhuǎn)體體積為（）A. B.π C. D.【答案】A【解析】由已知得△繞旋轉(zhuǎn)可以得到兩個圓錐，如圖，過點作于點，因為，所以，所以圓錐的底面積，因此旋轉(zhuǎn)體的體積為.故選：A.6.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以可得，所以，所以，因為，所以.故選：D.7.已知，函數(shù)只有一個零點，則是的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，得，設，，，得，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，又x>1是，，當x<1時，，當時，，當時，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，若與有一個交點，則或.所以是充分不必要條件.故選：A8.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”是指相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圖的工具.如圖，現(xiàn)有一橢圓經(jīng)某同學以“矩”量之得，，其中為橢圓左焦點，經(jīng)過坐標原點，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，故，得，又，故，故離心率為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列敘述正確的是（）A.隨機變量，反映了隨機變量的分布相對于均值的離散程度B.經(jīng)驗回歸直線必過點C.樣本相關系數(shù)的絕對值越接近于1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱D.決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越差【答案】AB【解析】對于A:標準差反映了隨機變量X的分布相對于均值μ的離散程度，A選項正確；對于B:經(jīng)驗回歸直線必過點,B選項正確；對于C:樣本相關系數(shù)r的絕對值越接近于1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，C選項錯誤；對于D:決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，D選項錯誤.故選：AB.10.已知，則（）A.函數(shù)的周期為 B.曲線關于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.【答案】BCD【解析】，A.函數(shù)的最小正周期，所以不是函數(shù)的周期，故A錯誤；B.，所以曲線關于直線對稱，故B正確；C.當，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D.因為函數(shù)的最小正周期為2，且，，故D正確.故選：BCD11.如圖，等邊的邊長為4,為邊的中點,將沿折成三棱錐，，B，C，D都在球的球面上．記，，與平面所成的角分別為，，，平面，，與平面所成的角分別為，，，則（）A.與所成的角為定值 B.球的表面積的最大值為C. D.存在點使得【答案】ACD【解析】方案一：A選項：由題意可得，，，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即與所成的角是，為定值.故A正確.B選項：設，球O的半徑為R，外接圓半徑為r，則根據(jù)正弦定理，可得，即，所以，因為，所以，所以無最大值，即球O的表面積無最大值.故B錯誤.C選項：如圖，過點作，垂足為M，連接CM，易得，平面BCD，則，，，，，.假設，即，設，，則，，，解得或，與矛盾，所以假設不成立.同理可證當M再BD延長線上時，無解.所以C正確.D選項：如圖過點D作DO平面，垂足為O，易得O在的角平分線CE上，連接DE，過點O作ONBC，垂足為N，連接DN.則，，，，，由對稱性可知.【方法一】假設成立，則，即點D在底面的射影為的內(nèi)心，設，，則，，所以，，所以，又，所以，解得.所以D正確.【方法二】，由對稱性可知，在直角中，，當時，，，.所以D正確.方案二：如圖建立空間直角坐標系，D為坐標原點，DC為x軸，DB為y軸，垂直于DB為z軸，軸，連接CM，根據(jù)等邊的邊長為4，為邊的中點，將沿折成三棱錐，易得，，，不妨設，顯然，，.A選項：，，顯然，即與所成的角是，為定值.故A正確.B選項：根據(jù)題意不妨設球心，球半徑為R，則，又，，即，又化簡可得，，所以，因為，，所以無最大值，即球O的表面積無最大值.故B錯誤.C選項：顯然易得，，，假設成立，則，當時解得(舍去)或，與矛盾，當時，解得(舍去)，綜上所述，無解，假設不成立，所以C正確.D選項：設平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，假設存在使得成立，即，根據(jù)，，，可得，，，，所以，，，所以，又解得，所以假設成立，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，，則_____．【答案】【解析】因為，又數(shù)列bn是等比數(shù)列，所以，所以，由數(shù)列bn是等比數(shù)列，可得，又，所以，所以.故答案為：.13.的展開式中項的二項式系數(shù)是_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】展開式的通項公式為，當時，有，即展開式中項的二項式系數(shù)是.故答案為：.14.已知函數(shù)（且），若不等式恒成立，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】據(jù)題意，令，求導得，且當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減；又因為，所以為奇函數(shù)；若，即當時，在單調(diào)遞減；令函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，于是當時，顯然成立，因此令當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；因此當時，，則，而，所以.當時，在單調(diào)遞增；令函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，于是當時，顯然成立，因此令當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；因此當時，，則，而，所以無解.綜上所述，的取值范圍是，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖,在四棱錐中,底面為正方形,為等邊三角形,．點，分別為AD，BC的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）由底面為正方形，所以且，因為點，分別為AD，BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，所以，．又為等邊三角形，所以，又，平面，所以平面；（2）因為，底面為正方形，為等邊三角形，所以，又，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又，平面平面，所以平面，又平面，所以，又可得，所以，由（1）可得平面，又，所以平面，平面，所以，所以是平面與平面的夾角，所以.所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.隨著人工智能的飛速發(fā)展，AI應用場景越來越多．最近AI自習室在家長圈、學生圈中持續(xù)走熱．某校隨機抽取400名學生進行調(diào)查，其中期末綜合素質(zhì)測評等級為良好的共180人，有120人利用AI自習室學習并且期末綜合測評等級為優(yōu)秀，有200人未利用AI自習室學習（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀與利用AI自習室學習有關聯(lián)？良好優(yōu)秀合計利用AI自習室120未利用AI自習室200合計180400（2）現(xiàn)有從利用AI自習室學習的學生中以期末綜合素質(zhì)測評等級為依據(jù)，用分層隨機抽樣的方法抽出的10名學生．從這10名學生中隨機選取4人進行訪談，記這4人中期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列（用表格表示）與數(shù)學期望．附：．0.1000.0500.0252.7063.8415.024解：（1）由題可得列聯(lián)表為：良好優(yōu)秀合計利用AI自習室80120200未利用AI自習室100100200合計180220400，所以能認為期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀與利用AI自習室學習有關聯(lián).（2）由題意可得利用AI自習室學習的學生中良好，優(yōu)秀的人數(shù)分別為80人，120人，所以用分層隨機抽樣方法抽出的10名學生中良好，優(yōu)秀的學生人數(shù)分別為4人，6人，從這10名學生中隨機選取4人進行訪談，記這4人中期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀的人數(shù)為，則的值為0，1，2，3，4．，，，，，所以的分布列為：17.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）曲線在處的切線方程為，證明：．解：（1），令，得或，f單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)極大值為，極小值為；（2）由（1）可知，，且，所以曲線y=fx在處的切線方程為，即，要證明，即證明設，，，當時，，F(xiàn)x單調(diào)遞增，當時，，F(xiàn)x單調(diào)遞減，所以當時，F(xiàn)x取得最大值，，所以，即，所以，命題得證.18.把一個無窮數(shù)列an從第2項起，每一項減去它的前一項，得到一個新數(shù)列，此數(shù)列叫做原數(shù)列an的1階差數(shù)列．對1階差數(shù)列作同樣的處理得到的數(shù)列叫做原數(shù)列an的2階差數(shù)列，如此類推，可得到原數(shù)列an的階差數(shù)列．如果一個數(shù)列an的階差數(shù)列是由一個非零常數(shù)組成的常數(shù)數(shù)列，則稱這個數(shù)列an為階等差數(shù)列，非零常數(shù)叫做數(shù)列an的例如，原數(shù)列：，，，，，，，1階差數(shù)列：15，65，175，369，671，1105，2階差數(shù)列：50，110，194，302，434，3階差數(shù)列：60，84，108，132，4階差數(shù)列：24，24，24，所以原數(shù)列為4階等差數(shù)列，24為該數(shù)列的4階公差.已知數(shù)列an是2階等差數(shù)列，2階公差為1，且，．（1）已知數(shù)列bn是數(shù)列an的1階差數(shù)列，求數(shù)列（2）求數(shù)列an（3）數(shù)列的前項和為，，，證明：．解：（1）因為數(shù)列an是2階等差數(shù)列，2階公差為1又數(shù)列bn是數(shù)列an的所以，所數(shù)列bn是等差數(shù)列，又，，所以，所以．（2）由題意可得，，，，，累加得，又，所以；（3）由（2）可得，可得，，所以，由，所以.19.已知點為拋物線的焦點，過的直線交于點，．當?shù)男甭蕿?時，．（1）求的方程；（2）已知圓．（i）若直線與，都相切，求的方程；（ii）點是上的動點，點是軸上的動點，若四邊形為菱形，求所有滿足條件的點的縱坐標之和．解：（1）由題意可知，，則過點的直線為，與拋物線方程聯(lián)立得，則，，得，所以拋物線的方程為；（2）（ⅰ）由直線與拋物線相切可知，直線得到斜率存在，設直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，即，①圓的圓心為，圓心到直線得到距離等于半徑即，得，②，由①②得，得或，所以直線的方程為或；（ⅱ）設直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，設的中點為，則，設，，因為四邊形為菱形，所以，得，點在圓上，所以，即，所以或（舍）所以，即點的縱坐標為.即滿足條件的縱坐標之和為.四川省達州市2023-2024學年高二下學期7月期末監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需要改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.2 B. C.1 D.0【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以或，故A錯誤；所以，故B錯誤；所以，故C正確；所以不是Z的子集，故D錯誤.故選：C.3.已知單位向量，的夾角為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】.故選：B4.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，虛軸長為，離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得，所以，所以雙曲線的左頂點，右焦點，故AB錯誤；虛軸長，故C錯誤；離心率，故D正確.故選：D.5.在中，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體則該旋轉(zhuǎn)體體積為（）A. B.π C. D.【答案】A【解析】由已知得△繞旋轉(zhuǎn)可以得到兩個圓錐，如圖，過點作于點，因為，所以，所以圓錐的底面積，因此旋轉(zhuǎn)體的體積為.故選：A.6.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以可得，所以，所以，因為，所以.故選：D.7.已知，函數(shù)只有一個零點，則是的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，得，設，，，得，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，又x>1是，，當x<1時，，當時，，當時，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，若與有一個交點，則或.所以是充分不必要條件.故選：A8.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”是指相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圖的工具.如圖，現(xiàn)有一橢圓經(jīng)某同學以“矩”量之得，，其中為橢圓左焦點，經(jīng)過坐標原點，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性可知，故，得，又，故，故離心率為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列敘述正確的是（）A.隨機變量，反映了隨機變量的分布相對于均值的離散程度B.經(jīng)驗回歸直線必過點C.樣本相關系數(shù)的絕對值越接近于1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱D.決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越差【答案】AB【解析】對于A:標準差反映了隨機變量X的分布相對于均值μ的離散程度，A選項正確；對于B:經(jīng)驗回歸直線必過點,B選項正確；對于C:樣本相關系數(shù)r的絕對值越接近于1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，C選項錯誤；對于D:決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，D選項錯誤.故選：AB.10.已知，則（）A.函數(shù)的周期為 B.曲線關于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.【答案】BCD【解析】，A.函數(shù)的最小正周期，所以不是函數(shù)的周期，故A錯誤；B.，所以曲線關于直線對稱，故B正確；C.當，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D.因為函數(shù)的最小正周期為2，且，，故D正確.故選：BCD11.如圖，等邊的邊長為4,為邊的中點,將沿折成三棱錐，，B，C，D都在球的球面上．記，，與平面所成的角分別為，，，平面，，與平面所成的角分別為，，，則（）A.與所成的角為定值 B.球的表面積的最大值為C. D.存在點使得【答案】ACD【解析】方案一：A選項：由題意可得，，，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即與所成的角是，為定值.故A正確.B選項：設，球O的半徑為R，外接圓半徑為r，則根據(jù)正弦定理，可得，即，所以，因為，所以，所以無最大值，即球O的表面積無最大值.故B錯誤.C選項：如圖，過點作，垂足為M，連接CM，易得，平面BCD，則，，，，，.假設，即，設，，則，，，解得或，與矛盾，所以假設不成立.同理可證當M再BD延長線上時，無解.所以C正確.D選項：如圖過點D作DO平面，垂足為O，易得O在的角平分線CE上，連接DE，過點O作ONBC，垂足為N，連接DN.則，，，，，由對稱性可知.【方法一】假設成立，則，即點D在底面的射影為的內(nèi)心，設，，則，，所以，，所以，又，所以，解得.所以D正確.【方法二】，由對稱性可知，在直角中，，當時，，，.所以D正確.方案二：如圖建立空間直角坐標系，D為坐標原點，DC為x軸，DB為y軸，垂直于DB為z軸，軸，連接CM，根據(jù)等邊的邊長為4，為邊的中點，將沿折成三棱錐，易得，，，不妨設，顯然，，.A選項：，，顯然，即與所成的角是，為定值.故A正確.B選項：根據(jù)題意不妨設球心，球半徑為R，則，又，，即，又化簡可得，，所以，因為，，所以無最大值，即球O的表面積無最大值.故B錯誤.C選項：顯然易得，，，假設成立，則，當時解得(舍去)或，與矛盾，當時，解得(舍去)，綜上所述，無解，假設不成立，所以C正確.D選項：設平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，假設存在使得成立，即，根據(jù)，，，可得，，，，所以，，，所以，又解得，所以假設成立，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，，則_____．【答案】【解析】因為，又數(shù)列bn是等比數(shù)列，所以，所以，由數(shù)列bn是等比數(shù)列，可得，又，所以，所以.故答案為：.13.的展開式中項的二項式系數(shù)是_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】展開式的通項公式為，當時，有，即展開式中項的二項式系數(shù)是.故答案為：.14.已知函數(shù)（且），若不等式恒成立，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】據(jù)題意，令，求導得，且當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減；又因為，所以為奇函數(shù)；若，即當時，在單調(diào)遞減；令函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，于是當時，顯然成立，因此令當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；因此當時，，則，而，所以.當時，在單調(diào)遞增；令函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，于是當時，顯然成立，因此令當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；因此當時，，則，而，所以無解.綜上所述，的取值范圍是，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖,在四棱錐中,底面為正方形,為等邊三角形,．點，分別為AD，BC的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）由底面為正方形，所以且，因為點，分別為AD，BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，所以，．又為等邊三角形，所以，又，平面，所以平面；（2）因為，底面為正方形，為等邊三角形，所以，又，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又，平面平面，所以平面，又平面，所以，又可得，所以，由（1）可得平面，又，所以平面，平面，所以，所以是平面與平面的夾角，所以.所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.隨著人工智能的飛速發(fā)展，AI應用場景越來越多．最近AI自習室在家長圈、學生圈中持續(xù)走熱．某校隨機抽取400名學生進行調(diào)查，其中期末綜合素質(zhì)測評等級為良好的共180人，有120人利用AI自習室學習并且期末綜合測評等級為優(yōu)秀，有200人未利用AI自習室學習（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀與利用AI自習室學習有關聯(lián)？良好優(yōu)秀合計利用AI自習室120未利用AI自習室200合計180400（2）現(xiàn)有從利用AI自習室學習的學生中以期末綜合素質(zhì)測評等級為依據(jù)，用分層隨機抽樣的方法抽出的10名學生．從這10名學生中隨機選取4人進行訪談，記這4人中期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列（用表格表示）與數(shù)學期望．附：．0.1000.0500.0252.7063.8415.024解：（1）由題可得列聯(lián)表為：良好優(yōu)秀合計利用AI自習室80120200未利用AI自習室100100200合計180220400，所以能認為期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀與利用AI自習室學習有關聯(lián).（2）由題意可得利用AI自習室學習的學生中良好，優(yōu)秀的人數(shù)分別為80人，120人，所以用分層隨機抽樣方法抽出的10名學生中良好，優(yōu)秀的學生人數(shù)分別為4人，6人，從這10名學生中隨機選取4人進行訪談，記這4人中期末綜合素質(zhì)測評等級為優(yōu)秀的人數(shù)為，則的值為0，1，2，3，4．，，，，，所以的分布列為：17.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)