2024-2025學(xué)年福建省福州市高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.3.已知角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，則.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.0 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】由題設(shè)，則.故選：D.5.已知，，若，則（）A.mn的最大值為1 B.mn的最大值為2C.mn的最小值為1 D.mn的最小值為2【答案】A【解析】由，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以mn的最大值為1，沒有最小值.故選：A.6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以.故選：B.7.已知函數(shù)的定義域為D，，，，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A：，，，錯；B：，，，錯；C：，，，對；D：，，，錯.故選：C.8.已知函數(shù)的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為，且在區(qū)間上無最大值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由條件得，又，得，所以.由，解得.若在區(qū)間上存在最大值，則，解得，則，所以若在上無最大值，的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，是奇函數(shù) B.當(dāng)時，定義域為RC.當(dāng)時，值域為 D.當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】A：由，其定義域為且，函數(shù)為奇函數(shù)，對；B：，顯然定義域為R，對；C：，易知其值域為，對；D：，根據(jù)相關(guān)冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，錯.故選：ABC.10.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的圖象存在相同的對稱軸 B.與的值域相同C.與存在相同的零點 D.與的最小正周期相同【答案】BC【解析】對于對稱軸為，對于對稱軸為，若存在相同的對稱軸，則，而，所以不可能成立，A錯；、值域均為，最小正周期分別為，B對，D錯；，顯然為與共同零點，C對.故選：BC.11.已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】令，因為，，且在內(nèi)單調(diào)遞增，由零點存在定理得在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，所以，由，得，A正確：令，因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，故當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，方程在區(qū)間內(nèi)無解，B錯誤；由，得，考慮到函數(shù)單調(diào)遞增，比較與的形式，可得，所以，D正確；由，得，將其代入到中，得，即，C錯誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）的圖象過定點P，則P的坐標(biāo)是________.【答案】【解析】由，即函數(shù)圖象恒過點.13.已知弧AB的長為，其所對的圓心角，則________cm.【答案】6【解析】已知弧長，圓心角，根據(jù)弧長公式，可得，即.14.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是，則________；2min以后該物體的溫度降為________.（精確到）【答案】44【解析】由題設(shè)，可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.不等式的解集為.（1）求；（2）若函數(shù)的值域為，求.解：（1）由得，解得，所以的解集為.（2）由于，則，則.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）若，求m的取值范圍.解：（1）由條件得，則，解得，所以的定義域為.（2）函數(shù)奇函數(shù)，理由如下：因為定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）法一：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，得，則，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.法二：因為，由，得，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）根據(jù)五點作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)在的圖象；（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，再將得到的圖象上的各點橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，求的解析式，并寫出曲線的一個對稱中心.解：（1）列表得：再描點，得圖象如下，（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，再將其各點橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，故解析式為.由，得，故函數(shù)圖象的一個對稱中心為.18.已知為銳角，在下面兩個條件中任選一個作為已知條件：①；②.（1）求；（2）已知，，.（i）求；（ii）求的最小值，并求出此時的值.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）選①，因為，所以，因為，所以，得，故，則.選②，因為，所以，因為，所以，所以，則.（2）（i）法一：因為，由（1）知，則，解得.法二：由（1）知，因為，所以.（ii）法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的值最小，最小值為.法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的值最小，最小值為.19.已知函數(shù)，.（1）若，寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（2）若是偶函數(shù)，求a的值；（3）若，，求的最小值.解：（1）由題意，當(dāng)時函數(shù)，且函數(shù)的定義域為，所以，從而其單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因為是偶函數(shù)，所以，由于，則，從而，兩邊平方得，從而，此式對任意恒成立，得，故a的值為0.（3）首先，時不等式恒成立，接下來考慮的情況：①當(dāng)時，，因為，所以，；②當(dāng)時，，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立；法一：③當(dāng)時，問題等價于當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，恒成立.令，命題等價于，而最大值只可能在，，三處取得，只需，即，可得，若，則；若，則；④當(dāng)時，，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取到最大值，所以，所以；綜上，當(dāng)，時，的最小值為.法二：③當(dāng)時，由對任意恒成立，取可得成立，則，若，則，若，則，所以當(dāng)，有.綜上，當(dāng)，時，的最小值為.福建省福州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.3.已知角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，則.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.0 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】由題設(shè)，則.故選：D.5.已知，，若，則（）A.mn的最大值為1 B.mn的最大值為2C.mn的最小值為1 D.mn的最小值為2【答案】A【解析】由，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以mn的最大值為1，沒有最小值.故選：A.6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以.故選：B.7.已知函數(shù)的定義域為D，，，，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A：，，，錯；B：，，，錯；C：，，，對；D：，，，錯.故選：C.8.已知函數(shù)的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為，且在區(qū)間上無最大值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由條件得，又，得，所以.由，解得.若在區(qū)間上存在最大值，則，解得，則，所以若在上無最大值，的取值范圍為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，是奇函數(shù) B.當(dāng)時，定義域為RC.當(dāng)時，值域為 D.當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】A：由，其定義域為且，函數(shù)為奇函數(shù)，對；B：，顯然定義域為R，對；C：，易知其值域為，對；D：，根據(jù)相關(guān)冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，錯.故選：ABC.10.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的圖象存在相同的對稱軸 B.與的值域相同C.與存在相同的零點 D.與的最小正周期相同【答案】BC【解析】對于對稱軸為，對于對稱軸為，若存在相同的對稱軸，則，而，所以不可能成立，A錯；、值域均為，最小正周期分別為，B對，D錯；，顯然為與共同零點，C對.故選：BC.11.已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】令，因為，，且在內(nèi)單調(diào)遞增，由零點存在定理得在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，所以，由，得，A正確：令，因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，故當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，方程在區(qū)間內(nèi)無解，B錯誤；由，得，考慮到函數(shù)單調(diào)遞增，比較與的形式，可得，所以，D正確；由，得，將其代入到中，得，即，C錯誤.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）的圖象過定點P，則P的坐標(biāo)是________.【答案】【解析】由，即函數(shù)圖象恒過點.13.已知弧AB的長為，其所對的圓心角，則________cm.【答案】6【解析】已知弧長，圓心角，根據(jù)弧長公式，可得，即.14.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是，則________；2min以后該物體的溫度降為________.（精確到）【答案】44【解析】由題設(shè)，可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.不等式的解集為.（1）求；（2）若函數(shù)的值域為，求.解：（1）由得，解得，所以的解集為.（2）由于，則，則.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）若，求m的取值范圍.解：（1）由條件得，則，解得，所以的定義域為.（2）函數(shù)奇函數(shù)，理由如下：因為定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）法一：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，得，則，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.法二：因為，由，得，故，因為，則，可得，解得，故m的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）根據(jù)五點作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)在的圖象；（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，再將得到的圖象上的各點橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，求的解析式，并寫出曲線的一個對稱中心.解：（1）列表得：再描點，得圖象如下，（2）將圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，再將其各點橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，故解析式為.由，得，故函數(shù)圖象的一個對稱中心為.18.已知為銳角，在下面兩個條件中任選一個作為已知條件：①；②.（1）求；（2）已知，，.（i）求；（ii）求的最小值，并求出此時的值.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）選①，因為，所以，因為，所以，得，故，則.選②，因為，所以，因為，所以，所以，則.（2）（i）法一：因為，由（1）知，則，解得.法二：由（1）知，因為，所以.（ii）法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的值最小，最小值為.法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的值最小，最小值為.19.已知函數(shù)，.（1）若，寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（2）若是偶函數(shù)，求a的值；（3）若，，求的最小值.解：（1）由題意，當(dāng)時函數(shù)，且函數(shù)的定義域為，所以，從而其單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因為是偶函數(shù)，