矩形常見題型

矩形、正方形典型例題1．如圖所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上BF∥DF，若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE：EB=5：2，則陰影部分的面積為.

分析：由已知可判斷四邊形EBFD是平行四邊形．由平行線之間的距離處處相等，可知BE邊上的高與AD的長(zhǎng)相等．因此求BE的長(zhǎng)是關(guān)鍵．

解：設(shè)每一份為x，則AE=5x,BE=2x.四邊形ABCD是矩形在四邊形BEDF中2．如圖△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角線于點(diǎn)F.（1）求證：EO＝FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論．分析：先證∠OCE＝∠OEC就有EO＝CO，同理有FO＝CO，即有EO＝FO．當(dāng)0運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF對(duì)角錢互相平分．∠EcF＝90°.則四邊形AECF為矩形．證明：（l）∵M(jìn)N∥BC，∴∠1=∠3又∵CE為∠ACB的角平分線，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE＝OC，同理可證OF＝OC，∴OE=OF（2）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，因?yàn)锳O＝OC，OE＝OF.解：由矩形的特征，AC＝EF，由AE∥CF，CE∥AF知BECD是平行四邊形，故AE＝CF，從而AC＝FE．如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE與BD相交F，求證：CF⊥DE分析本題考查正方形性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，要證CF、DE互相垂直，只需證明∠DGC＝Ｒt∠，可聯(lián)想∠3與∠4互余.根據(jù)正方形性質(zhì)，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°證明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，BE＝BE∴△ABF≌△CBF∴∠1＝∠2∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE∴△ABE≌△DCE∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE4．如圖，正方形ABCD對(duì)角線相交于O，E是OA上任一點(diǎn)，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求證：OE＝OG.分析本題是考查正方形的性質(zhì)、同角的余角相等關(guān)系及全等三角形的判定與性質(zhì).OG和OE可分別看作是△OGC與△OEB的最短邊，若能證兩三角形全等，則命題得證.由正方形性質(zhì)有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3為∠2的余角，于是∠1＝∠2證明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC∴AC⊥BD∴∠COG＝∠BOE＝90o又∵CF⊥BE∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90o∴∠1＝∠3在△COG和△BOE中∠1＝∠3BO=CO∠COG＝∠BOE∴△COG≌△BOE(ASA）∴OE＝OG菱形典型例題1、如圖4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求證：四邊形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，圖中有平行線，就可證角相等、線段相等，因此，可先證四邊形AEFG是平行四邊形，再證一組鄰邊相等．證明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（這是略證，并不是完整的證明過程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四邊形AEFG是平行四邊形．（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）又∵AE=EF，∴平行四邊形AEFG是菱形．2、如圖在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)連結(jié)AE，AF.求證：AE＝AF證明：3、如圖4-26，在平行四邊形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求證：四邊形ABEF是菱形．證法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角對(duì)等邊）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四邊形ABEF是菱形．（四條邊都相等的四邊形是菱形）證法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三線合一）同理，BO=OF，∴四邊形ABEF是菱形．（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）4、如圖4-13，已知菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠B=∠EAF=60o，∠BAE=18o，求∠CEF的度數(shù)．分析：由∠B=60°知，連接AC得等邊△ABC與△ACD，從而△ABE≌△ADF，有AE=AF，則△AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求∠CEF．解：連接AC．∵四邊形ABCD為菱形，∴∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC與△CDA為等邊三角形．∴AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF為等邊三角形．∴∠AEF=60°∵∠AE