2024北京首師大附中高一10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京首都師大附中高一10月月考數(shù)學(xué)2024年10月12日第Ⅰ卷（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.已知集合，則A. B.C. D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，或3.若全集，集合，，圖中陰影部分所表示的集合為A. B. C. D.4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是（）A.若a>b，c≠0，則ac>bc B.若a>b，則ac2>bc2C.若ac2>bc2，則a>b D.若a>b，則5.已知不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A. B.或x>1C. D.或x>126.若“”是“”充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.若t是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是（）A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定8.在上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a最大為（）A. B. C. D.329.已知非空集合，滿足以下兩個(gè)條件：①，；②的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，的元素個(gè)數(shù)不是中的元素．則有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為．A.10 B.12 C.4 D.1610.劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長(zhǎng)大于）按逆時(shí)針方向跑步，他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰?，恰好回到起點(diǎn)，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10第Ⅱ卷（共70分）二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11.方程組的解集用列舉法表示為______________.12.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最大值是______．13.已知全集，，，則________．14.設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則=____，=_____；15.已知全集，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．16.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對(duì)商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費(fèi)用（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入_______萬元．17.已知，，，．若命題p，命題q至少有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．18.給定數(shù)集，對(duì)于任意，有且，則稱集合為閉集合．則以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的命題是______．①集合為閉集合②集合為閉集合③若集合為閉集合，則為閉集合④若集合為閉集合，且，，則存在，使得三、解答題（本大題共2小題，共28分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.解不等式組（1）；（2）.20.已知?是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）若?均為正根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）求使的值為整數(shù)的k的整數(shù)值；（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案第Ⅰ卷（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.【答案】A【分析】通過可以得到全集中的元素，再通過補(bǔ)集和交集運(yùn)算求出最后答案.【詳解】解：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的交集、補(bǔ)集、并集的定義進(jìn)行集合間的運(yùn)算．屬于簡(jiǎn)單題.2.【答案】D【分析】由特稱命題的否定為全稱命題即可求解【詳解】命題“，”的否定是，或.故選:D3.【答案】B【分析】圖中陰影部分表示的意思為：，根據(jù)集合運(yùn)算關(guān)系即可得解.【詳解】根據(jù)圖中陰影部分表示的意思為：，，所以故選：B【點(diǎn)睛】此題考查韋恩圖表示的集合關(guān)系辨析，并求出圖中表示的集合，屬于簡(jiǎn)單題目，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別圖中表達(dá)的意思.4.【答案】C【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)，即得結(jié)果.【詳解】若a>b，c<0，則ac>bc,所以A錯(cuò)誤；若a>b，c=0則ac2=bc2,所以B錯(cuò)誤；若ac2>bc2，則c2>o,a>b，所以C正確；若滿足a>b，但，所以D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.5.【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解，等價(jià)于一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理，進(jìn)行等量代換，可得答案.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，且?是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，即，所以不等式可化為，因?yàn)?，所以，解得或．故選：D.6.【答案】C【分析】首先解出絕對(duì)值不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到集合的包含關(guān)系，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】由，即，解得，因?yàn)椤啊笔恰啊背浞植槐匾獥l件，所以真包含于，所以（等號(hào)不能同時(shí)取得），解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C7.【答案】A【分析】根據(jù)是一元二次方程的根，把代入原方程得到進(jìn)行整理，兩邊同乘以，再移項(xiàng)，兩邊同加上，就得到了.【詳解】是一元二次方程的根，則有，等式兩邊同乘有，，等式兩邊同加有，即，故選：A.8.【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算的定義可得等價(jià)于，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求左式的最小值，從而可得關(guān)于的不等式，求出其解后可得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】原不等式等價(jià)于，即對(duì)任意x恒成立.，所以，解得，故選：D9.【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到集合中元素個(gè)數(shù)可以為：1,2,4,5，根據(jù)這四種情況分別討論，即可得出結(jié)果；【詳解】由題意，易知集合中不可能有3個(gè)元素；因此集合中元素個(gè)數(shù)可以為：1,2,4,5；①當(dāng)集合中只有1個(gè)元素時(shí)，集合中有5個(gè)元素，則且，此時(shí)，；②當(dāng)集合中和2個(gè)元素時(shí)，集合中有4個(gè)元素，則且，此時(shí)集合中必有一個(gè)元素為4，集合中必有一個(gè)元素為2，所以，或，或，或，，共4種可能；③當(dāng)集合中有4個(gè)元素時(shí)，集合中有2個(gè)元素，此情況與情況②相同，只需，互換，共4種可能；④當(dāng)集合中有5個(gè)元素時(shí)，集合中只有1個(gè)元素，此情況與情況①相同，只需，互換，共1種可能．綜上，有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為10．故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查由集合并集與交集的結(jié)果求集合中的元素的問題，熟記交集與并集的概念即可，屬于?？碱}型.10.【答案】B【分析】利用環(huán)形道的周長(zhǎng)與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長(zhǎng)的范圍，再結(jié)合跑回原點(diǎn)的長(zhǎng)度建立方程，即可求解.【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長(zhǎng)為，劉老師總共跑的圈數(shù)為，（），則由題意，所以，所以，因?yàn)椋?，又，所以，即劉老師總共跑的圈?shù)為8.故選：B第Ⅱ卷（共70分）二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11.【答案】【分析】首先根據(jù)方程組求出其解，然后運(yùn)用列舉法表示出對(duì)應(yīng)的解集即可（以有序數(shù)對(duì)的形式表示元素）.【詳解】因?yàn)?，所以，所以列舉法表示解集為：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組解集的列舉法表示，難度較易.二元一次方程組的解用列舉法表示時(shí)，可將元素表示成有序數(shù)的形式：.12.【答案】100【分析】利用基本不等式的變形，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即的最大值為.故答案為：13.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，，由元素的確定性列方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則，解得：，故答案為：.14.【答案】①.②.【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系列方程組，由此求得的值.【詳解】由于是方程的兩實(shí)根，所以①；由于是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，所以②.由①②解得.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.【答案】【分析】由題可得，然后根據(jù)條件即得.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所?故答案為：.16.【答案】【分析】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬元，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最小值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.17.【答案】【分析】方法一：根據(jù)題意得真或真，再依次分析真和真時(shí)的的取值范圍，最后求并集即可得答案；方法二：若命題p，q均為假命題，求出的范圍，再求補(bǔ)集即可.【詳解】方法一：當(dāng)p是真命題時(shí)，；當(dāng)q是真命題時(shí)，方程的判別式，解得．因此，當(dāng)命題p，命題q至少有一個(gè)為真命題時(shí)，或，即．方法二：若命題p，q均為假命題，則m需滿足解得．則當(dāng)命題p，命題q至少有一個(gè)為真命題時(shí)，．故答案為：.18.【答案】①③④【分析】由集合新定義，舉反例可得①錯(cuò)誤，由集合新定義可得②正確；設(shè)可得③錯(cuò)誤；取則不存在可得④錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由集合可得集合表示為3的整數(shù)倍，所以均為3的整數(shù)倍，滿足且，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，則，但，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，取則不存在，故④錯(cuò)誤；；故答案為：①③④.三、解答題（本大題共2小題，共28分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）利用分式不等式的解法即可得解；（2）分類討論的取值情況，利用含參二次不等式的解法即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，所以，解得，則原不等式的解集為.【小問2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，原不等式，解得；當(dāng)時(shí)，，原不等式，解得或；當(dāng)時(shí)，原不等式；1）當(dāng)，即時(shí)，解得；2）當(dāng)，即時(shí)，原不等式為，此時(shí)無解；3）當(dāng)，即時(shí)，解得；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或x>1，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集