2025年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGE1德陽市2025年初中學(xué)業(yè)水平考試與高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題．全卷共6頁．考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效，考試結(jié)束后，將試卷及答題卡交回．2．本試卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共36分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.下列數(shù)是正數(shù)的是（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】【詳解】本題考查了正數(shù)的概念，熟知正數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)是否符合條件．【分析】A．1大于0，是正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故本選不項(xiàng)符合題意；C．小于0，屬于負(fù)數(shù)，故本選不項(xiàng)符合題意；D．小于0，屬于負(fù)數(shù)，故本選不項(xiàng)符合題意．故選：A．2.下列各式計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查合并同類項(xiàng)、去括號(hào)、整式乘法及除法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)合并同類項(xiàng)，去括號(hào)，單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A：與的字母部分不同（與），不是同類項(xiàng)，無法合并，故本選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；B：，故本選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C：，故本選項(xiàng)的計(jì)算正確；D：，故本選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤．故選：C．3.如圖：一條水渠兩次轉(zhuǎn)彎后和原來方向相同，如果第一次拐角，則第二次拐角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì)；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可解答．【詳解】解：如圖，∵一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同，∴，∴，故選：D．4.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（）A.2 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．當(dāng)判別式時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．代入方程系數(shù)計(jì)算判別式并解方程即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴．故選：C．5.下列圖形中可以作為正方體的展開圖的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正方體的展開圖，熟記展開圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開圖的“一線不過四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．【詳解】解：A．可以作為一個(gè)正方體的展開圖，故本選項(xiàng)符合題意；B．有“田”字格結(jié)構(gòu)，不可以作為一個(gè)正方體的展開圖，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不可以作為一個(gè)正方體的展開圖，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不可以作為一個(gè)正方體的展開圖，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．6.如圖，要使平行四邊形ABCD是矩形，需要增加的一個(gè)條件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定定理（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形等）是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的判定定理，逐一分析每個(gè)選項(xiàng)，判斷哪個(gè)條件能使平行四邊形成為矩形．【詳解】解：選項(xiàng)A：∵平行四邊形本身就有的性質(zhì)，∴此條件不能使平行四邊形變?yōu)榫匦?，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：∵，平行四邊形中鄰邊相等時(shí)是菱形，不是矩形的判定條件，∴此條件不能使平行四邊形變?yōu)榫匦?，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：∵平行四邊形本身就有的性質(zhì)，∴此條件不能使平行四邊形變矩形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：∵矩形的判定定理之一是“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”，平行四邊形中，∴平行四邊形是矩形，該選項(xiàng)正確．故選：D．7.德陽市正積極推進(jìn)城市軌道交通建設(shè)，假設(shè)已經(jīng)規(guī)劃的5條線路長度分別為28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后續(xù)又新增一條線路，使得新增后這6條線路長度的中位數(shù)變?yōu)?9公里，眾數(shù)保持不變，那么新增線路長度可能是（）A.25公里 B.28公里 C.29公里 D.30公里【答案】A【解析】【分析】本題考查中位數(shù)，眾數(shù)．逐項(xiàng)分析，新增線路后，求出中位數(shù)與眾數(shù)，根據(jù)題意判定即可．【詳解】解：A、若新增線路長度是25公里，則數(shù)據(jù)排序?yàn)?5、26、28、30、30、32．第3、4個(gè)數(shù)為28和30，平均值為29，即中位數(shù)為29．而眾數(shù)仍為30（出現(xiàn)2次），符合題意．B、若新增線路長度是28公里，數(shù)據(jù)排序?yàn)?6、28、28、30、30、32．第3、4個(gè)數(shù)為28和30，平均值為29，即中位數(shù)為29，但眾數(shù)變?yōu)?8和30（各2次），與原眾數(shù)30不一致，不符合題意．C、若新增線路長度是29公里，數(shù)據(jù)排序?yàn)?6、28、29、30、30、32．第3、4個(gè)數(shù)為29和30，平均值為29.5，即中位數(shù)為29.5，不符合題意．D、若新增線路長度是30公里，數(shù)據(jù)排序?yàn)?6、28、30、30、30、32．第3、4個(gè)數(shù)均為30，平均值為30，即中位數(shù)為30，不符合題意．故選：A8.如圖，在中，，將沿方向向右平移至處，使恰好過邊的中點(diǎn)D，連接，若，則（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)和平移的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，結(jié)合，得，由平移得到，根據(jù)平移對(duì)應(yīng)線段相等，可知，進(jìn)而得．【詳解】在中，，是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵沿方向向右平移至，∴，故選：B．9.在2000多年前的《九章算術(shù)》中記載了“共買雞問題”：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)，物價(jià)各幾何？”題意是：有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多11文錢；如果每人出6文錢，就差16文錢．問買雞的人數(shù)，雞的價(jià)錢各是多少？設(shè)買雞的人數(shù)為x人，則x為（）A.5 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)買雞的人數(shù)為，根據(jù)兩種不同出錢方式下雞的價(jià)錢不變這一關(guān)系，分別表示出兩種情況下雞的價(jià)錢，建立方程求解即可．本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系（雞的價(jià)錢不變）建立方程求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，每人出9文錢時(shí)，總錢數(shù)為文，多出11文，故雞的價(jià)錢為文；每人出6文錢時(shí)，總錢數(shù)為文，不足16文，故雞的價(jià)錢為文．列方程：解得：故買雞的人數(shù)為9人，故選：D．10.如圖：點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形邊、、、的中點(diǎn)，如果，四邊形的面積為24，且，則（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】本題考查中點(diǎn)四邊形，熟練掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵利用三角形中位線定理及特殊四邊形的判定與性質(zhì)求解．【詳解】如圖：連接，交于點(diǎn)O，因?yàn)?、、、分別是四邊形邊的中點(diǎn)，∴，；，；，；，．∵，∴，∴四邊形是菱形．∴，，∴，∵四邊形面積為，，∴，解得．∴在中．故選：B．11.六方鋼也稱六角棒，是鋼材的一種，其截面為正六邊形．六方鋼可以通過切割、鉆孔、車削等方式進(jìn)行加工，廣泛應(yīng)用于各種建筑結(jié)構(gòu)和工程結(jié)構(gòu)，如房梁、橋梁柱、輸電塔等．在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，興趣小組對(duì)六方鋼截面圖（如圖所示）的性質(zhì)進(jìn)行研究，測得邊長，那么圖中四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，特殊角三角形函數(shù)，菱形的判定及性質(zhì)等；由正六邊形的性質(zhì)得，，由余弦函數(shù)得，四邊形是菱形，即可求解；掌握正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，特殊角三角形函數(shù)，菱形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：六邊形是正六邊形，，，，，同理可求：，在中，，同理可求：，四邊形是菱形，四邊形的面積是：；故選：A．12.已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）過點(diǎn)，且，該拋物線與直線（k，c是常數(shù)，）相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．下列說法：①；②；③點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則；④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，與一次函數(shù)的交點(diǎn)，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)及開口方向確定系數(shù)符號(hào)，結(jié)合對(duì)稱軸公式和交點(diǎn)坐標(biāo)分析各結(jié)論的正確性即可．【詳解】解：∵拋物線過點(diǎn)和（），∴設(shè)拋物線為，∴，∴，，∵且，∴，，∴，結(jié)論①正確；∵，∴，∵，∴，∴，結(jié)論②錯(cuò)誤；∵拋物線與直線的交點(diǎn)滿足，∴解得或，若點(diǎn)為，對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為對(duì)稱軸），∴，∵，∴；但若點(diǎn)為另一交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)可能遠(yuǎn)離對(duì)稱軸，導(dǎo)致超出范圍，結(jié)論③不一定成立，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程的根為和，即，∵，∴不等式的解集為，結(jié)論④正確．綜上，正確結(jié)論為①④，共2個(gè)，故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題，共114分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分，將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的橫線上．）13.函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是_____．【答案】x≠3的一切實(shí)數(shù)【解析】【分析】根據(jù)分式的意義的條件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范圍．【詳解】解：根據(jù)題意，則x﹣3≠0解得：x≠3∴自變量x的取值范圍是x≠3的一切實(shí)數(shù)；故答案為：x≠3的一切實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和分式的意義．函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．14.公元前世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若杠桿上的兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．后來人們把它歸納為“杠桿原理”：阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂．已知阻力和阻力臂分別為和，當(dāng)動(dòng)力為時(shí)，動(dòng)力臂是______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了一元一次方程應(yīng)用，設(shè)動(dòng)力臂是，根據(jù)“阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂”列出方程，然后解方程即可，讀懂題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)動(dòng)力臂是，由題意得：，解得：，故答案為：．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，如果的面積為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)可以是______．（只需寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一，縱坐標(biāo)絕對(duì)值為即可）【解析】【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置，三角形面積公式，由，，得，又的面積為，可得，所以，從而求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵的面積為，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)可以是，故答案為：．（答案不唯一，縱坐標(biāo)絕對(duì)值為即可）16.甲乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員參加射擊選拔比賽，若他們射擊訓(xùn)練成績的平均數(shù)相同，且甲運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練成績的方差，乙運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練成績的方差，你認(rèn)為應(yīng)該選擇______參加比賽．（填甲或者乙）【答案】乙【解析】【分析】此題考查了平均數(shù)和方差，根據(jù)平均數(shù)相同時(shí)方差越小的成績?cè)椒€(wěn)定即可解答，正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵他們射擊訓(xùn)練成績的平均數(shù)相同，，，∴，∴應(yīng)該選擇乙參加比賽，故答案為：乙．17.等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計(jì)自行車的車輪等．如圖，分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果，那么這個(gè)等寬曲線的周長是________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了弧長的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，利用弧長計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∴，∴這個(gè)等寬曲線的周長為．故答案為：18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在直線上，且，連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也落在直線上．如此下去，…，則的縱坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，分別過作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)，求出點(diǎn)，由，，則，，則有，由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，所以，故有，即的縱坐標(biāo)為，同理的縱坐標(biāo)為，由，可判斷在直線上，所以的縱坐標(biāo)為，從而求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，分別過作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)，由直線得，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∴，∵，，∴，，由勾股定理得，∴，，∴，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，∴，即的縱坐標(biāo)為，同理的縱坐標(biāo)為，∵，∴在直線上，∴的縱坐標(biāo)為，故答案為：．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）19.（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（）先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式性質(zhì)，化簡絕對(duì)值法則進(jìn)行運(yùn)算，然后合并即可；（）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式減法運(yùn)算，然后計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法即可．【詳解】（）解：原式；（）解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．20.2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨靈蛇獻(xiàn)瑞”為主題的第十六屆德陽燈會(huì)在玄珠湖公園盛大舉行，設(shè)置“三星夢境”“德陽光華”等五大主題板塊．燈會(huì)結(jié)束后，主辦方隨機(jī)抽取多名游客進(jìn)行滿意度調(diào)查（每人只能選擇一項(xiàng)），用A、B、C、D、E分別代表一大主題板塊，整理得到以下不完整統(tǒng)計(jì)表：主題板塊頻數(shù)（滿意人數(shù)）頻率（所占比例）A1800.36Ba0.20C75DbcE（1）直接寫出a、b、c的值；（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查結(jié)果，游客最滿意的主題板塊是什么？若本屆燈會(huì)實(shí)際接待游客達(dá)200000人，請(qǐng)估計(jì)最滿意此板塊的人數(shù)；（3）若燈會(huì)工作人員中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，現(xiàn)隨機(jī)抽取2名青年志愿者進(jìn)行視頻采訪，請(qǐng)利用畫樹狀圖或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1），，（2）游客最滿意的主題板塊是A板塊；當(dāng)本屆燈會(huì)實(shí)際接待游客達(dá)200000人時(shí)，估計(jì)最滿意此板塊的人數(shù)是72000人（3）【解析】【分析】本題考查了列表法和樹狀圖法求概率，統(tǒng)計(jì)表的綜合運(yùn)用，以及用樣本估計(jì)總體．（1）利用A板塊的頻數(shù)和頻率求得樣本容量，再求出a、b、c的值；（2）利用樣本估計(jì)總體求解即可；（3）利用樹狀圖表示出所有可能，進(jìn)而利用概率公式求出即可．【小問1詳解】解：人，∴，，；【小問2詳解】解：根據(jù)以上抽樣調(diào)查結(jié)果，游客最滿意的主題板塊是A板塊．（人）答：當(dāng)本屆燈會(huì)實(shí)際接待游客達(dá)200000人時(shí)，估計(jì)最滿意此板塊的人數(shù)是72000人．【小問3詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有種等可能結(jié)果，其中“1名男生和1名女生”的結(jié)果有種，P（一男一女）．答：恰好是1名男生和1名女生概率是．21.如圖，已知菱形，點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)，連接，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）求直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）由得，又四邊形是菱形，則，得到，從而求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，即可求解．【小問1詳解】解：把代入，得，∴反比例函數(shù)解析式為；【小問2詳解】解：∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入得，∴∴直線的解析式為，∵點(diǎn)是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，∴聯(lián)立解析式，解得或，∵，∴．22.在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們將對(duì)學(xué)校的一塊正方形花園進(jìn)行測量規(guī)劃使用，如圖，點(diǎn)處是它的兩個(gè)門，且，要修建兩條直路，與相交于點(diǎn)（兩個(gè)門的大小忽略不計(jì)）．（1）請(qǐng)問這兩條路是否等長？它們有什么位置關(guān)系，說明理由；（2）同學(xué)們測得米，米，根據(jù)實(shí)際需要，某小組同學(xué)想在四邊形地上再修一條米長的直路，這條直路的一端在門處，另一端在已經(jīng)修建好的路段或花園的邊界上，并且另一端與點(diǎn)B處的距離不少于米，請(qǐng)問能否修建成這樣的直路，若能，能修建幾條，并說明理由．【答案】（1）這兩條路與等長，且它們相互垂直；（2）如果另一端點(diǎn)在花園邊界上時(shí)，能修建成這樣的一條直路，理由見解析．【解析】【分析】本題考查主要了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等面積法等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由四邊形是正方形，則，，證明，故有，，又，則，從而求解；（）由（）得，，由勾股定理得出，由，即，得到，則有，然后分另一端點(diǎn)在路段上和另一端點(diǎn)在花園邊界上時(shí)兩種情況分析即可．【小問1詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴這兩條路與等長，且它們相互垂直；【小問2詳解】解：能修建一條這樣的直路，理由如下：由（）得，，∵米，米，∴米，米，米，∴，∴，∴，又∵在中有，∴，∴，∴，如果另一端點(diǎn)在路段上，則在中，，∴此種情況不成立；如果另一端點(diǎn)在花園邊界上時(shí)，設(shè)，則在中，有，∴，∴，∵，∴能修建成這樣的一條直路．23.中江掛面以“細(xì)如發(fā)絲、清如白玉、耐煮不糊、入口綿軟”聞名遐邇，其獨(dú)特的空心技藝傳承千年，從揉面、開條、上筷到拉扯成型，需經(jīng)十余道古法工序．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組走進(jìn)某老字號(hào)掛面廠進(jìn)行調(diào)研，已知購買2袋A型與2袋B型掛面共需費(fèi)用100元，購買3袋A型與2袋B型掛面共需費(fèi)用120元．（1）A型、B型掛面的單價(jià)分別是多少元？（2）為進(jìn)一步推廣此非遺美食，興趣小組決定購買A、B兩種型號(hào)掛面共40袋．在單價(jià)不變，總費(fèi)用不超過950元，且B型掛面不少于10袋的條件下，共有幾種購買方案？其中最低花費(fèi)多少元？【答案】（1）A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元（2）共有6種購買方案，最低費(fèi)用為900元【解析】【分析】本題考查了運(yùn)用二元一次方程組解應(yīng)用題，以及綜合運(yùn)用一次函數(shù)和一元一次不等式設(shè)計(jì)方案問題．根據(jù)題意列出方程組，不等式組以及一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．先根據(jù)題意列不等式組求出a的范圍為，再根據(jù)題意列出w與a的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得時(shí)，w有最小值，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．則，得．答：A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元．【小問2詳解】解：設(shè)購買B型掛面a袋，則購買A型掛面的數(shù)量為袋，總費(fèi)用為w元．則，解得，又a為正整數(shù)，，11，12，13，14，15．由題意得．，w隨a的增大而增大，時(shí)，w有最小值，最小值為（元）．答：共有6種購買方案，最低費(fèi)用為900元．24.在中直徑與弦交于點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作的切線與的延長線相交于點(diǎn)，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）連接，，再連接并延長交于點(diǎn)，證明：；若，求的直徑．【答案】（1）；（2）見解析；．【解析】【分析】（）先由切線的性質(zhì)可得，則，又，所以，最