2024年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

機(jī)密★啟用前2024年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)滿分120分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號(hào)”和“座位號(hào)”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號(hào)和座位號(hào)，將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算－5＋3的結(jié)果是（）A2 B.－2 C.8 D.－82.下列幾何圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.年6月6日，嫦娥六號(hào)在距離地球約千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會(huì)對(duì)接．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.如圖，一把直尺、兩個(gè)含的三角尺拼接在一起，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.6.長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化．若從上述四種區(qū)域文化中隨機(jī)選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，則選中“巴蜀文化”的概率是（）A. B. C. D.7.完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長是（）A.2 B.5 C.10 D.208.若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（）A. B. C. D.9.方程的解為（）A. B. C. D.10.已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.數(shù)據(jù)2，3，5，5，4的眾數(shù)是____．12.關(guān)于x的不等式組中，兩個(gè)不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式組的解集是______．13.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則_______．14.計(jì)算：_______．15.如圖，菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上的動(dòng)點(diǎn)．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為______．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16.計(jì)算：．17.如圖，在中，．（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作．求證：與相切．18.中國新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個(gè)停車位．經(jīng)測量，，，，，是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）（1）求長；（2）該充電站有20個(gè)停車位，求的長．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19.端午假期，王先生計(jì)劃與家人一同前往景區(qū)游玩，為了選擇一個(gè)最合適景區(qū)，王先生對(duì)A、B、C三個(gè)景區(qū)進(jìn)行了調(diào)查與評(píng)估．他依據(jù)特色美食、自然風(fēng)光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個(gè)方面，為每個(gè)景區(qū)評(píng)分（10分制）．三個(gè)景區(qū)的得分如下表所示：景區(qū)特色美食自然風(fēng)光鄉(xiāng)村民宿科普基地A6879B7787C8866（1）若四項(xiàng)所占百分比如圖所示，通過計(jì)算回答：王先生會(huì)選擇哪個(gè)景區(qū)去游玩？（2）如果王先生認(rèn)為四項(xiàng)同等重要，通過計(jì)算回答：王先生將會(huì)選擇哪個(gè)景區(qū)去游玩？（3）如果你是王先生，請(qǐng)按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)得分的百分比，選擇最合適的景區(qū)，并說明理由．20.廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）21綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過濾漏斗．【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實(shí)踐探索】（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22.知識(shí)技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：．【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)D在上，．過點(diǎn)D作，垂足為E，，．在四邊形內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．23.【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對(duì)角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．

機(jī)密★啟用前2024年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)滿分120分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號(hào)”和“座位號(hào)”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號(hào)和座位號(hào)，將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算－5＋3的結(jié)果是（）A.2 B.－2 C.8 D.－8答案：B解析：根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解.∵－5＋3=-(5-3)=-2，故答案是：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加法法則，掌握“異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并把較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值”是解題的關(guān)鍵.2.下列幾何圖形中，既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.答案：C解析：本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；C．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：C．3.年6月6日，嫦娥六號(hào)在距離地球約千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會(huì)對(duì)接．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.答案：B解析：本題考查了絕對(duì)值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．根據(jù)絕對(duì)值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1．解：大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，∴用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：B．4.如圖，一把直尺、兩個(gè)含三角尺拼接在一起，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：C解析：本題考查了平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，，根據(jù)，求解作答即可．解：由題意知，，∴，故選：C．5.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.答案：D解析：本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，冪的乘方計(jì)算，合并同類項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，符合題意；故選：D．6.長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化．若從上述四種區(qū)域文化中隨機(jī)選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，則選中“巴蜀文化”的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．直接根據(jù)概率公式求解即可．解：根據(jù)題意，選中“巴蜀文化”的概率是，故選：A．7.完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，則正方形的邊長是（）A.2 B.5 C.10 D.20答案：B解析：本題主要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，先求出一個(gè)正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積計(jì)算公式求出對(duì)應(yīng)的邊長即可．解：∵完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100，∴一個(gè)正方形的面積為，∴正方形的邊長為，故選：B．8.若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（）A. B. C. D.答案：A解析：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．解∶二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．9.方程的解為（）A. B. C. D.答案：C解析：把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：x=9，經(jīng)檢驗(yàn)：x=9是原分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)增根．10.已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.答案：B解析：本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當(dāng)函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．解∶∵不等式的解集是，∴當(dāng)時(shí)，，觀察各個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.數(shù)據(jù)2，3，5，5，4的眾數(shù)是____．答案：5解析：由于眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè)，由此即可確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．解：∵5是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的能力，解題關(guān)鍵是要明確定義，讀懂題意．12.關(guān)于x的不等式組中，兩個(gè)不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式組的解集是______．答案：##解析：本題主要考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．解：由數(shù)軸可知，兩個(gè)不等式的解集分別為，，∴不等式組的解集為，故答案為：．13.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則_______．答案：1解析：由有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得進(jìn)而可解答．解：∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14.計(jì)算：_______．答案：1解析：本題主要考查了同分母分式減法計(jì)算，根據(jù)同分母分式減法計(jì)算法則求解即可．解：，故答案為：1．15.如圖，菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上的動(dòng)點(diǎn)．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為______．答案：10解析：本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．解：連接，∵菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的面積為4，∴，，設(shè)菱形中邊上的高為h，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16.計(jì)算：．答案：2解析：本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和算術(shù)平方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減法即可．解：．17.如圖，在中，．（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作．求證：與相切．答案：（1）見解析（2）證明見解析解析：本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識(shí)．熟練上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由是半徑，，可證與相切．（1）解：如圖1，即為所作；（2）證明：如圖2，作于，∵是的平分線，，，∴，∵是半徑，，∴與相切．18.中國新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個(gè)停車位．經(jīng)測量，，，，，是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）（1）求的長；（2）該充電站有20個(gè)停車位，求的長．答案：（1）（2）解析：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：（1）先由矩形的性質(zhì)得到，再解得到，接著解直角三角形得到，進(jìn)而求出，據(jù)此可得答案；（2）解得到，解得到，再根據(jù)有20個(gè)停車位計(jì)算出的長即可得到答案．（1）解：∵四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴（2）解：在中，，在中，，∵該充電站有20個(gè)停車位，∴，∵四邊形是矩形，∴．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19.端午假期，王先生計(jì)劃與家人一同前往景區(qū)游玩，為了選擇一個(gè)最合適的景區(qū)，王先生對(duì)A、B、C三個(gè)景區(qū)進(jìn)行了調(diào)查與評(píng)估．他依據(jù)特色美食、自然風(fēng)光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個(gè)方面，為每個(gè)景區(qū)評(píng)分（10分制）．三個(gè)景區(qū)的得分如下表所示：景區(qū)特色美食自然風(fēng)光鄉(xiāng)村民宿科普基地A6879B7787C8866（1）若四項(xiàng)所占百分比如圖所示，通過計(jì)算回答：王先生會(huì)選擇哪個(gè)景區(qū)去游玩？（2）如果王先生認(rèn)為四項(xiàng)同等重要，通過計(jì)算回答：王先生將會(huì)選擇哪個(gè)景區(qū)去游玩？（3）如果你是王先生，請(qǐng)按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)得分的百分比，選擇最合適的景區(qū)，并說明理由．答案：（1）王先生會(huì)選擇B景區(qū)去游玩（2）王先生會(huì)選擇A景區(qū)去游玩（3）最合適的景區(qū)是B景區(qū)，理由見解析（不唯一）解析：本題主要考查了求平均數(shù)和求加權(quán)平均數(shù)：（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算出三個(gè)景區(qū)的得分即可得到答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算出三個(gè)景區(qū)的得分即可得到答案；（3）設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的權(quán)重，仿照（1）求解即可．（1）解：A景區(qū)得分為分，B景區(qū)得分為分，C景區(qū)得分為分，∵，∴王先生會(huì)選擇B景區(qū)去游玩；（2）解：A景區(qū)得分分，B景區(qū)得分分，C景區(qū)得分分，∵，∴王先生會(huì)選擇A景區(qū)去游玩；（3）解：最合適的景區(qū)是B景區(qū)，理由如下：設(shè)特色美食、自然風(fēng)光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個(gè)方面的占比分別為，A景區(qū)得分為分，B景區(qū)得分為分，C景區(qū)得分為分，∵，∴王先生會(huì)選擇B景區(qū)去游玩．20.廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）答案：當(dāng)定價(jià)為4.5萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為312.5萬元解析：本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，根據(jù)利潤每噸的利潤銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解：設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，由題意得，，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為，∴，答：當(dāng)定價(jià)為萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為萬元．21.綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過濾漏斗．【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實(shí)踐探索】（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）答案：（1）能，見解析（2）解析：本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：（1）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；（2）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．（1）解：能，理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為，根據(jù)題意，得，解得，∴將圓形濾紙對(duì)折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；（2）解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為，高為，根據(jù)題意，得，解得，∴，∴圓錐的體積為．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22.【知識(shí)技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：．【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)D在上，．過點(diǎn)D作，垂足為E，，．在四邊形內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析解析：（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、外角定理、中位線的性質(zhì)證明后即可證明；（3）通過解直角三角形得到，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，易證，得到，即可求得，進(jìn)而，從而點(diǎn)M是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，連接，，，根據(jù)三線合一得，證明，即可求的，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，得到，因此點(diǎn)N是的中點(diǎn)，進(jìn)而，再證，得到，根據(jù)，即可推出，因此當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時(shí)，滿足．證明：（1）是的中位線，且．又繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．（2）由題意可知：，，．作，則且，又，．根據(jù)外角定理，，．又，是的中位線，，，，，，．（3）存在點(diǎn)使得．∵，∴，∴在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴是的垂直平分線，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，連接，，∴，∴根據(jù)三線合一得，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∵，∴即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時(shí)，滿足．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)以及靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．23.【問題背景】