專題13 等邊三角形（解析版）

數(shù)學(xué)七年級升八年級暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題十三等邊三角形【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一等邊三角形性質(zhì)】...........................................1【考點(diǎn)二等邊三角形判定】...........................................8【考點(diǎn)三等邊三角形判定性質(zhì)綜合應(yīng)用】..............................17【聚焦考點(diǎn)1】等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．【典例剖析1】【典例1-1】如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，若∠BEC＝90°，則∠ACE的度數(shù)（）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∠ACB=60°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠BEC=90°，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故答案為：D.【點(diǎn)評】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，∠ACB=60°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EBC=∠ECB=45°，利用∠ACE=∠ACB-∠ECB即可得出答案.【典例1-2】如圖，在等邊三角形中，是邊上的高，延長至點(diǎn)，使，則的長為．【解答】解：是等邊三角形，，是的平分線，為的中點(diǎn)，，，，．故答案為：3【典例1-3】如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形．證明：BD＝CE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到兩組邊對應(yīng)相等，一組角相等，從而利用SAS判定兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到BD＝CE．【解答】證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形（已知），∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等邊三角形的性質(zhì)）．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性質(zhì)），即∠BAD＝∠CAE．在△BAD與△CAE中，∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明線段相等常常通過三角形全等進(jìn)行解決，全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，點(diǎn)在等邊的邊的延長線上，點(diǎn)在線段上，連接，，若，且，那么的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：為等邊三角形，，，，，，，．故選：．【變式1-2】如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，且，若，則的長為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，在中，，，故選：．【變式1-3】如圖，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示線段BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，可得△ABE是等邊三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解題．【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，∵∠ABD＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∠AEB＝60°，∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACD＝60°，∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，即∠DCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∴BE＝BD+DE＝BD+CD，∴AC＝BE＝BD+CD．【能力提升1】【提升1-1】如圖，是等邊三角形，兩個銳角都是的三角尺的一條直角邊在上，則的度數(shù)為（） B． C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，

故選：D．【提升1-2】如圖，等邊中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則的最小值是A．3 B．4 C．5 D．【解答】解：過點(diǎn)作于，如圖，為等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的值最小，的最小值是．故選：．【提升1-3】如圖．已知等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，且CD＝CE，M是BE的中點(diǎn)．（1）求∠E的度數(shù)；（2）求證：DM⊥BC．【分析】（1）由等邊△ABC的性質(zhì)可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根據(jù)等邊對等角可得：∠E＝∠CDE，最后根據(jù)外角的性質(zhì)可求∠E的度數(shù)；（2）先連接BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠DBC＝∠ABC＝30°，再根據(jù)CD＝CE，得出∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論即可．【解答】（1）解：∵三角形ABC是等邊△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°；（2）證明：如圖，連接BD，∵正△ABC中，D是AC中點(diǎn)，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，∵∠E＝∠DBC，∴BD＝DE，∵M(jìn)是BE中點(diǎn)，∴DM⊥BE．【聚焦考點(diǎn)2】等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．【典例剖析2】【典例2-1】下列對三角形的判斷，錯誤的是A．若，則是直角三角形 B．若，，則是等邊三角形 C．若，，則是等腰三角形 D．若，，則【解答】解：．若，，，，所以是直角三角形，正確，故選項不符合題意；．若，，所以，，所以是等邊三角形，正確，故選項不符合題意；．若，，所以，，所以是等腰三角形，正確，故選項不符合題意；．若，，所以，那么，故選項錯誤，符合題意．故選：．【典例2-2】如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）．A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等邊三角形【分析】根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等邊三角形．解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形，故選A.【典例2-3】小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形”并進(jìn)行了證明．（1）請根據(jù)以上命題和圖形寫出已知和求證：已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)，求證：△ABC是等腰三角形．（2）請證明以上命題．【分析】（1）根據(jù)命題和圖形寫出已知和求證即可；（2）【解答】（1）解：已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)．求證：△ABC是等腰三角形；故答案為：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)，△ABC是等腰三角形；（2）證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形．針對訓(xùn)練2【變式2-1】下列推理中，不能判斷是等邊三角形的是A． B．， C．， D．，且【解答】解：、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．、由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．、由“，”可以得到“”，則由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷是等邊三角形，故本選項不符合題意．、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本選項符合題意．故選：．【變式2-2】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，延長BC到D，延長BA到E，使AE＝BD，連接CE、DE，使EC＝DE，求證：△ABC是等邊三角形．【分析】首先延長BD至F，使DF＝BC，連接EF，求出△ECB≌△EDF，得出△BEF為等邊三角形，從而得出BE＝BF，結(jié)合AE＝BD推出AB＝BC，進(jìn)一步得出結(jié)論即可．【解答】證明：延長BD至F，使DF＝BC，連接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF為等邊三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定等知識，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【分析】先利用“HL”證明Rt△ADE≌Rt△BDF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B，再利用等角對等邊的性質(zhì)可得CA=CB，再結(jié)合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可證明△ABC是等邊三角形【解析】證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED=∠BFD=90°．在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD=BDDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△BDF(∴∠A=∠B，∴CA=CB，∵AB=AC，∴ΔABC是等邊三角形．∴AB=BC=AC【能力提升2】【提升2-1】如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于，兩線相交于點(diǎn)．（1）若，，求的大小；（2）若是的中點(diǎn)，，求證：是等邊三角形．【解答】（1）解：，，，平分，，，，．（2）證明：，平分，，，，，是等邊三角形．【提升2-2】．如圖，已知和均為等邊三角形，且點(diǎn)、、在同一條直線上，連接、，交和分別于、點(diǎn)，連接．（1）請說出的理由；（2）試說出的理由；（3）試猜想：是什么特殊的三角形，并加以說明．【解答】解：（1）和均為等邊三角形，；（2），點(diǎn)、、在同一條直線上又；（3）是等邊三角形，理由如下：（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又是等邊三角形（有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形）；【提升2-2】如圖，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求證：△ACE是等邊三角形．【答案】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．∵∠BAD＝60°，∴∠CAE＝60°．又∵AC＝AE，∴△ACE是等邊三角形【點(diǎn)評】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，進(jìn)而可得∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形即可判斷△ACE是等邊三角形.【聚焦考點(diǎn)3】等邊三角形的判定與性質(zhì)等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．【典例剖析3】【典例3-1】如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA邊向點(diǎn)A以5cm/s的速度移動．P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，它們移動的時間為1s．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來．（2）請問幾秒后，△PBQ第一次為等邊三角形？（3）若P，Q兩點(diǎn)分別從C，B兩點(diǎn)同時出發(fā)，并且按順時針方向沿△ABC三邊運(yùn)動，請問經(jīng)過幾秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求得BC的長，用t可表示出BP和BQ的長；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知BQ＝BP，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）設(shè)經(jīng)過t秒后第一次相遇，由條件可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得點(diǎn)P走過的路程，可確定出P點(diǎn)的位置．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2cm/s，運(yùn)動時間為ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為5cm/s，運(yùn)動時間為ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ為等邊三角形，則有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s時，△PBQ第一次為等邊三角形；（3）設(shè)ts時，Q與P第一次相遇，根據(jù)題意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s時，兩點(diǎn)第一次相遇．當(dāng)t＝6s時，P走過的路程為2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此時P在AB邊上，∴經(jīng)過6秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q在AB上第一次相遇．【典例3-2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BE＝AF．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，再由AD（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，證出∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC=1∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE與△ADF中，∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．【典例3-3】小明遇到這樣一個問題：△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在射線BC上，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊△ABC外角平分線CE于點(diǎn)E，試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（1）（初步探究）小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時，如圖①，過點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于點(diǎn)F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠得到線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（2）（類比探究）當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上（不與點(diǎn)B，C重合）任意一點(diǎn)時，其他條件不變，如圖②，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）（拓展應(yīng)用）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時，滿足CD＝BC，其他條件不變，連接AE，請在圖③中補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AED的大?。痉治觥浚?）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；（3）由BC＝CD，得到AC＝CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形．【解答】解：（1）AD＝DE．理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°．又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°．∴△BDF是等邊三角形，∠AFD＝180°﹣∠BFD＝120°．∴DF＝BD．∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．∴DF＝CD．∵EC是△ABC外角的平分線，∴∠ACE=12（180°﹣∠∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°＝∠AFD．∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．又∵∠BDF＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADF＝∠EDC＝30°．在△AFD和△ECD中，∠AFD=∠ECDFD=CD∴△AFD≌△DCE（ASA）．∴AD＝DE．（2）AD＝DE．證明如下：如圖2，過點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于點(diǎn)F．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°．又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°．∴△BDF是等邊三角形，∠AFD＝120°．∴BF＝BD．∴AB﹣BF＝BC﹣BD，即AF＝CD．∵CE是△ABC外角的平分線，∴∠ACE=12（180°﹣∠∴∠DCE＝120°＝∠AFD．∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD．∵∠ADE＝60°，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△AFD和△DCE中，∠AFD=∠DCEAF=DC∴△AFD≌△DCE（ASA）．∴AD＝DE．（3）如圖3，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC．∵BC＝CD，∴AC＝CD．∵CE平分∠ACD，∴CE垂直平分AD．∴AE＝DE．∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝60°．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，、、三點(diǎn)在同一直線上，分別以、為邊，在直線的同側(cè)作等邊和等邊，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接得．（1）求證：．（2）試判斷的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）證明：等邊和等邊，，，，，在和中，，；（2）為等邊三角形，理由為：證明：，，又，，即，在和中，，，，，則為等邊三角形．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向，在線段BC上運(yùn)動．在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在線段BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．（1）當(dāng)∠BAM＝°時，AB＝2BM；（2）請?zhí)砑右粋€條件：▲，使得△ABC為等邊三角形；當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求證：CN+CM＝AC．【答案】（1）30（2）解：AB＝AC；證明：如圖1中，∵△ABC與△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM與△CAN中，AB=AC∠BAM=∠CAN∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN，∴AC＝BC＝CN+MC．【解析】【解答】解：（1）當(dāng)∠BAM＝30°時，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案為：30；

【點(diǎn)評】（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）利用等邊三角形的判定即可解答；利用等邊三角形的性質(zhì)和可證△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．【變式3-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，BD平分∠ABC．（1）求∠A、∠ABC的度數(shù)；（2）連接CE，且CE=12AB，求證：△【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝BD，根據(jù)等邊對等角可得∠DBA＝∠A，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得BE＝CE，根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得出△BCE是等邊三角形．【解答】（1）解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，AE＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD+∠CBD+∠A＝90°∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°；∴∠ABC＝60°．（2）證明：∵CE是斜邊AB的中線，∴BE＝CE，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升3】【提升3-1】在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在BC邊所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且始終保持∠ADE＝∠AED．（1）如圖1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長線上時，猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）在三角形ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)，根據(jù)∠BAC﹣∠BAD求出∠DAE度數(shù)，進(jìn)而求出∠ADE度數(shù)，由∠AED﹣∠C求出∠EDC第三節(jié)課；（2）由∠ACB為三角形DCE外角，利用外角性質(zhì)求出∠CDE度數(shù)，進(jìn)而求出∠ADB度數(shù)，再由∠ABC為三角形ABD外角，利用外角性質(zhì)求出∠BAD度數(shù)即可；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y(tǒng)，∠CDE＝α，∠BAD＝β，則有∠ADC＝x﹣α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出關(guān)系式，消去x與y得到α與β關(guān)系式，即可得證．【解答】解：（1）在△ABD中，∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝180°﹣110°＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣80°＝40°，∵∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠EDC＝70°﹣30°＝40°；（2）∵∠AC