專題14 最短路徑問題（解析版）

數(shù)學(xué)七年級升八年級暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題十四最短路徑問題（解析版）【專題導(dǎo)航】目錄【考點一將軍飲馬問題一】...........................................1【考點二將軍飲馬問題二】...........................................7【考點三造橋選址問題】..........................................13【考點三差值最大型問題】..........................................17【聚焦考點1】將軍飲馬模型總結(jié)一：依據(jù)兩點之間線段最短求最值類型問題作法圖形原理異側(cè)型“兩定一動”型連接ABPA＋PB的最小值為AB，兩點之間，線段最短同側(cè)型“兩定一動”型作點A關(guān)于直線l的對稱點A`，連接A`B，A`B與直線l的交點即為點PAP+BP=A`B，兩點之間線段最短角內(nèi)部“一定兩動”型分別作點P關(guān)于兩直線的對稱點P`，P``，連接P`P``，與兩直線交點即為點M、NPM+MN+PN=P`P``，兩點之間，線段最短角內(nèi)部“兩定兩動”型分別作點P、Q關(guān)于直線l1，l2的對稱點P`，Q`，連接P`Q`，與直線的交點即為點M、NPQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，兩點之間線段最短【典例剖析1】【典例1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E，AC于點F，在EF上確定一點P，使PB＋PD最小，則這個最小值為（）A．10B．11C．12 D．13【答案】．C【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到AD的長度，再由最短路徑的問題可知PB＋PD的最小即為AD的長．【詳解】∵∴∵EF垂直平分AB∴點A，B關(guān)于直線EF對稱∴∴，故選：C.【點撥】本題主要考查了最短路徑問題，熟練掌握相關(guān)解題技巧及三角形的高計算方法是解決本題的關(guān)鍵.【典例1-2】如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）A．84° B．88° C．90° D．96°【答案】B【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對稱點,,即可得出，進而得出即可得出答案．【詳解】解：如圖示，作關(guān)于和的對稱點，，連接，交于，交于，則即為的周長最小值．延長，作于點，，，，，，且，，，故選：B．【點撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．【典例1-3】如圖，，M，N分別是邊上的定點，P，Q分別是邊上的動點，記，當(dāng)?shù)闹底钚r，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（） B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則此時的值最?。?/p>

易知，．∵，，∴．故選：B.【點撥】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．針對訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，直線L是一條河，P，Q是兩個村莊．欲在L上的某處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（） B． C．．D【答案】A【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離．【詳解】作點P關(guān)于直線L的對稱點P′，連接QP′交直線L于M．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短．故選：A．【點撥】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別【變式1-2】如圖，在中BC=5，垂直平分BC，點P為直線EF上一動點，則周長的最小值是________．【答案】7【分析】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線EF的對稱點為點C，故當(dāng)點P與點D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，連接AC交EF于D，∴當(dāng)P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，∴△ABP周長的最小值是4+3=7．故答案為：7．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．【變式1-3】如圖，在銳角中，，邊上有一定點分別是和邊上的動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是_________．【答案】80°【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；【詳解】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°-50°=80°，故答案為：80°．【點撥】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【聚焦考點2】將軍飲馬模型總結(jié)：依據(jù)垂線段最短求最值如圖，點P、點Q分別為直線BC、直線AB上的兩個動點，求AP＋PQ的最小值作點A關(guān)于直線BC的對稱點A`，過點A`作A`Q⊥AB與點Q，A`Q與直線BC交點即為點PAP+PQ=A`Q，點到直線的距離，垂線段最短【典例剖析2】【典例2-1】如圖，在中，，是的平分線．若，分別是和上的動點，且的面積為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，先確定當(dāng)取最小值時動點、的位置，再利用三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】過點作于點，交于點，過點作，如圖所示∵平分，、分別是和上的動點∴，與關(guān)于對稱∴此時，∵，∴∴的最小值是故選：C【點撥】本題是軸對稱最短路線問題，主要考查了角平分線的性質(zhì)、對稱的性質(zhì)以及三角形的面積公式，確定是解題的關(guān)鍵．【典例2-2】如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線且AD＝4，F(xiàn)是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為_____．【答案】【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對稱性質(zhì)求出BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．【詳解】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C關(guān)于AD對稱，∴BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，∴BM＝＝＝，即CF+EF的最小值是，故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．針對訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，在△ABC中，AB=AC=8，S△ABC=16，點P為角平分線AD上任意一點，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為_____．【答案】4【分析】利用角平分線定理確定當(dāng)BF⊥AC時，PB+PE的值最小，再利用三角形面積公式，即可求得.【詳解】如圖，∵AB=AC=8，AD平分∴∴當(dāng)BF⊥AC時，PB+PE的值最小=BF∴BF=4∴PB+PE的最小值為4.【點撥】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，也可以用角平分線定理考慮，找到PE+PB最小值的情況并畫出圖形，是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15o，OB=5，OC平分∠AOB，點P在射線OC上，Q是OA上一動點，則PA+PQ的最小值是__________【答案】【分析】在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出當(dāng)A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH．【詳解】解：在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．

∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，

∴當(dāng)A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH，

在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，

∴AH＝AB＝，

∴PA＋PQ的最小值為，

故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱?最短問題、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【能力提升2】【提升2-1】如圖，在中，，，，是的角平分線，點，點分別是，邊上的動點，點在上，且，則的最小值為___________．【答案】．．【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接，則，，當(dāng)，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，利用含角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到的最小值．【詳解】解：如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接，則，，，當(dāng)，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，此時，△中，，，的最小值為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．【提升2-2】如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（6，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為_____．【答案】（3，）【解析】【分析】作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM＋PN最小，由作圖得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM＋PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N′M⊥ON，∵點N（6，0），∴ON＝6，∵點M是ON的中點，∴OM＝3，∴PM＝，∴P（3，）．故答案為：（3，）【點撥】本題考查了軸對稱?最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定P的位置．【聚焦考點3】造橋選址問題構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)該如何選擇，才能使A與B之間的距離最短構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值A(chǔ)`A`特別地：“兩動兩定”型將軍飲馬，平行四邊形的構(gòu)造都是為了消除動點間的間距d，所以平行四邊形的兩鄰邊中，一邊是間距d、另一邊是定動線段AM或BN中的一條?！镜淅饰?】【典例3-1】如圖，矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB中點，E，F(xiàn)為OA上兩動點，且EF＝2，則四邊形CDEF周長最小值為。解析提示：【解答】解：作點D關(guān)于OA的對稱點M，作MN∥OA，使MN＝2，連接CN，交OA于點E，過M點作MF∥EN，交OA于F，則此時四邊形CDEF周長最?。弧連C＝3，BD＝2，∴CD＝＝，∵DF＝MF＝EN，∴DF+CE＝CN，∵CN＝＝＝，∴四邊形CDEF周長最小值為CD+EF+CN＝++2．故答案為++2．【典例3-1】如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F是對角線BD上的兩個動點，且EF＝，連接CE、CF，則△CEF周長的最小值為。解析提示：【解答】解：如圖所示，連接AE，AC，以AE，EF為鄰邊作平行四邊形AEFG，則AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，∴∠GAC＝90°，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE＝AE＝GF，∴CE+CF＝GF+CF，∴當(dāng)G，F(xiàn)，C在同一直線上時，CF+FG的最小值等于CG的長，此時，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∴CF+FG的最小值等于2，又∵EF＝，∴△CEF周長的最小值為，故答案為：針對訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點，點P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值為?！窘獯稹拷猓骸逜B＝5，PQ＝2，∴四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，∵點F是BC的中點，∴點B關(guān)于EF的對稱點為點C，連接CM，交EF于點Q，則CM即為AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四邊形APQB的周長最小值為5+7＝12．故答案為：12．【變式3-2】如圖，已知，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，點E，F(xiàn)是邊CD上的動點（點F在點E右側(cè)），且EF＝2，則四邊形ABFE周長的最小值為?！窘獯稹拷猓涸贏B上截取AA′＝EF，作點A′關(guān)于直線DC的對稱點A″，連接BA″交CD于F，此時四邊形AEFB的周長最?。倪呅蜛EFB的周長的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+A′F+BF＝AB+EF+A″F+BF＝AB+EF+A″B＝8+2+＝20，故答案為20．【能力提升3】【提升3-1】如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16．點E是AB的中點，P、Q是BD上的動點，且始終保持PQ＝2．則四邊形AEPQ周長的最小值為。（結(jié)果保留根號）【解答】解：如圖所示：將菱形ABCD放置在平面直角坐標系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，∵菱形ABCD的邊長是10，對角線BD＝16，點E是AB的中點，∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動2個單位到A'點，則A'（6，6），作A'關(guān)于x軸的對稱點F，則F（6，﹣6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ＝2，此時，四邊形AEPQ的周長最小，∵AE＝＝5，PQ＝2，AQ+EP＝A'P+EP＝FP+EP＝EF，∴四邊形四邊形AEPQ的周長＝5+2+＝7+．故答案為：7+．【提升3-2】已知點A（1，0）函數(shù)y＝x+1的圖象上有兩個動點P、Q，且PQ＝3，求四邊形OPQA的周長最小值?！窘獯稹拷猓喝鐖D，作AE∥PQ，使得AE＝PQ＝3，作點E關(guān)于直線PQ的對稱點F，連接OF交直線y＝x+1于P，此時四邊形OAQP的周長最?。絆A+AQ+PQ+OP＝OA+PQ+PE+OP＝OA+PF+OP+PQ＝OA+PQ+OF．由題意E（﹣2，﹣3），F(xiàn)（﹣4，﹣1），∴OF＝＝，∴四邊形OAQP的周長的最小值為1+3+．故答案為：1+3+．【聚焦考點4】差值最大型1.如圖，定點A與B在定直線l的同側(cè)（A，B兩點到l的距離不相等），在直線上l求作一點P，使的值最大.如圖：連接BA并延長，交直線l于點P，點P即為所求。此時最大，最大值為AB的長.原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.2.如圖，定點A，B在定直線l的異側(cè)（A,B兩點到l的距離不相等），在直線l上求作一點P，使的值最大.作法：如圖，作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B并延長交直線l于點P，點P即為所求，此時最大，最大值為BA'的長.原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊.【典例剖析4】【典例4-1】、已知：A（1，2），B（4，-2），在直線上找一點P，使最大，并求其最大值?？偨Y(jié)：【簡解