48　第六章　第2課時(shí)　等差數(shù)列

第六章數(shù)列第2課時(shí)等差數(shù)列[考試要求]

1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的情境問(wèn)題中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．鏈接教材·夯基固本1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于_______________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，____叫做a與b的等差中項(xiàng)．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝________.同一個(gè)常數(shù)Aa＋b2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝_______________.3．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)通項(xiàng)公式：當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函數(shù)f(x)＝dx＋a1－d當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，一次項(xiàng)系數(shù)為公差d.若公差d＞0，則{an}為遞增數(shù)列；若公差d＜0，則{an}為遞減數(shù)列．a(chǎn)1＋(n－1)d[常用結(jié)論]等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，am＋an＝2ap，也可推廣到多項(xiàng)．(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，且公差為m2d.

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(

)×√√×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P15練習(xí)T4改編)等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，則公差d等于(

)√2．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P23練習(xí)T3改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于(

)A．35

B．42C．49

D．63B

[法一：由題意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7,14，S15－21成等差數(shù)列，所以S15－21＋7＝28，所以S15＝42.故選B．√3．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P23例9改編)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為_(kāi)_______.4．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P23練習(xí)T5改編)已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為_(kāi)_______.29

[設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n－1，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為an＝S奇－S偶＝319－290＝29.]典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算[典例1](1)(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝(

)

A．25

B．22

C．20

D．15(2)(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝__________.√

解決等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可通過(guò)方程組達(dá)到“知三求二”．(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．√[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S5＝S10，a5＝1，則a1＝(

)

考點(diǎn)二

等差數(shù)列的判定與證明

判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項(xiàng)公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù))．(4)前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．提醒：一般地，在解答題證明數(shù)列是否為等差數(shù)列時(shí)，以采用定義法和中項(xiàng)法為主，在小題中判斷數(shù)列類(lèi)型時(shí)可使用數(shù)列的函數(shù)形式法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]√

考點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)[典例3](1)(2024·全國(guó)甲卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝1，則a3＋a7＝(

)(2)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則a4－3a6的值為(

)A．－6 B．6C．－12 D．12√(2)由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a4－3a6＝a4－a6－2a6＝－2d－2a6＝－2(a6＋d)＝－2a7＝－6.故選A．]

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)[典例4](1)(2025·濟(jì)寧模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝2，S6＝9，則S10＝(

)A．14 B．16C．18 D．20(2)有兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.√

利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì)，如利用2am＝am－n＋am＋n可實(shí)現(xiàn)項(xiàng)的合并與拆分．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10，…及2,8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的各項(xiàng)之和為(

)A．1666

B．1654C．1472

D．1460(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，則m等于(

)A．39

B．20C．19

D．10√√(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝20，S20＝10，則S30＝(

)A．0 B．－10C．－30 D．－40√

考點(diǎn)四等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值

[典例5]在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15.求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值.[四字解題]讀想算思S10＝S15；求Sn的最大值及相應(yīng)n的值求最值的方法函數(shù)法前n項(xiàng)和Sn數(shù)形結(jié)合圖象法鄰項(xiàng)變號(hào)法通項(xiàng)an

轉(zhuǎn)化化歸性質(zhì)法性質(zhì)am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.法一(函數(shù)法)：因?yàn)閍1＝20，S10＝S15，

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)的最值的方法求解．特別提醒，n∈N*.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．(1)(2025·濟(jì)南模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S12>0，S13<0，則以下選項(xiàng)中，最大的是(

)A．S12

B．S7

C．S6

D．S1(2)(2023