77　第九章　第3課時(shí)　隨機(jī)事件與概率

第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第3課時(shí)隨機(jī)事件與概率[考試要求]

1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率．鏈接教材·夯基固本1．樣本空間與樣本點(diǎn)(1)樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的____________稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．(2)樣本空間：_______________的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．基本結(jié)果全體樣本點(diǎn)2．隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件(1)隨機(jī)事件：________________________稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．(2)隨機(jī)事件的特殊情形：必然事件Ω(包含所有樣本點(diǎn))、不可能事件?(不包含任何樣本點(diǎn))、基本事件(只包含一個(gè)樣本點(diǎn))．樣本空間Ω的子集3．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生__________________相等關(guān)系B?A且A?B_________并事件(和事件)A與B至少有一個(gè)發(fā)生___________________交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生_________________互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生_____________互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生__________，_________B?A或A?BA＝BA∪B或A＋BA∩B或ABA∩B＝?A∪B＝ΩA∩B＝?4．古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有_________.(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性______.5．古典概型的概率公式有限個(gè)相等6．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________.性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____________.P(A)＋P(B)1－P(B)性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：(一般概率加法公式)設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝______________________.P(A)＋P(B)－P(A∩B)7．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸_________事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．(3)頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．穩(wěn)定于一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)必然事件一定發(fā)生.(

)(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．(

)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(

)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件．(

)√√√×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P235練習(xí)T1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的對(duì)立事件是(

)A．至少有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶B

[“至多有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都中靶”．]√2．(人教A版必修第二冊(cè)P238例9改編)袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(

)√3．(人教A版必修第二冊(cè)P247習(xí)題10.1T13改編)某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為(

)A．0.9 B．0.3C．0.6 D．0.4√4．(人教A版必修第二冊(cè)P245練習(xí)T1改編)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)如果B?A，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝__________；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_________，P(AB)＝__________.(1)0.4

0.2

(2)0.6

0

[(1)因?yàn)锽?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(?)＝0.]典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一隨機(jī)事件與樣本空間[典例1]

(1)同時(shí)投擲兩枚完全相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記事件A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．3

B．4

C．5

D．6√(2)從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是(

)A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B．恰有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；都是白球D．至多有一個(gè)紅球；都是紅球√(1)D

(2)B

[(1)事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個(gè)樣本點(diǎn)．故選D.(2)對(duì)于A，“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至少有一個(gè)白球”可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于B，“恰有一個(gè)紅球”，則另一個(gè)必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對(duì)立事件；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D，“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對(duì)立事件．故選B.]

1.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)列舉法；(2)樹狀圖法；(3)排列組合法.2．互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系對(duì)立事件是互斥事件，而互斥事件未必是對(duì)立事件．對(duì)立事件是互斥事件的充分不必要條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則(

)A．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3D．A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5√

考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率[典例2]

(2025·日照模擬)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(min/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)估計(jì)一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2min的概率．

計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的頻率或概率的步驟提醒：互斥事件的概率加法公式的適用條件是事件必須是互斥事件．重視對(duì)立事件的概率和等于1，用間接法求概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降水量X(單位：mm)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,

160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成近20年六月份降水量頻率分布表；(2)假定今年六月份的降水量與近20年六月份降水量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)的概率．

考點(diǎn)三古典概型[典例3]有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品．(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取1個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率．(2)從這些一等品中，隨機(jī)抽取2個(gè)零件．①用零件的編號(hào)列出樣本空間；②求這2個(gè)零件直徑相等的概率．

利用公式法求解古典概型問題的步驟提醒：若樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不多，要列出樣本空間，若樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)多，用排列組合方法求．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2023·全國(guó)乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(

)√(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用)，則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為____________.(2)法一：因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3,5,7時(shí)都贏，所以只有1種組合：3－2,5－4,7－6,1－8.若甲的總得分為2，有以下三類情況：第一類，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為3－2,5－4,1－6,7－8；第二類，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有3－2,7－4,1－6,5－8或3－2,7－4,1－8,5－6或3－2,7－6,1－4,5－8，共3種組合；第三類，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，有5－2,7－4,1－6,3－8或5－2,7－4,1－8,3－6或5－4,7－2,1－6,3－8或5－4,7－2,1