浙教版2025年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末總復(fù)習(xí)（知識(shí)梳理）專題05分式(考點(diǎn)清單5考點(diǎn)12題型)(教師版)

/清單05分式（5個(gè)考點(diǎn)梳理+12種題型解讀+提升訓(xùn)練）清單01分式的基礎(chǔ)分式的概念：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A叫做分子，B1）分式的三個(gè)條件：①形如AB的這種形式；②A、B2）分式判斷的易錯(cuò)點(diǎn)：①分式可看成是兩個(gè)整式的商，如xy②判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式的方法：a.看分母中是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.對(duì)于分式來說條件分式有意義分母不等于零，即B≠0分式無意義分母等于零，即B=0分式值為0分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0（缺一不可）清單02分式的性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.字母表示：AB=A?CB?C分式符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.即：AB【補(bǔ)充】改變其中一個(gè)或三個(gè)，分式變?yōu)樵质降南喾磾?shù).清單03分式運(yùn)算1.分式的約分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.2.分式的通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.最簡(jiǎn)公分母：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．在確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母時(shí)，不要遺漏只在一個(gè)分式的分母中出現(xiàn)的字母及其指數(shù).確定最簡(jiǎn)公分母的方法：1）分母為單項(xiàng)式:①取單項(xiàng)式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；②取單項(xiàng)式中每個(gè)字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母中該字母的次數(shù).2）分母為多項(xiàng)式:①對(duì)每個(gè)分母進(jìn)行因式分解；②找出每個(gè)出現(xiàn)的因式的最高次冪,它們的積為最簡(jiǎn)公分母；③若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).3.分式的加減法1）同分母分式相加減：分母不變，把分子相加減；符號(hào)表示為：2）異分母分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減；符號(hào)表示為：4.分式的乘除法

1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即.2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即.3）分式的乘方運(yùn)算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，即（n為正整數(shù)，b≠0）5.分式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號(hào)時(shí)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行.【補(bǔ)充說明】①分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．②分式的混合運(yùn)算要注意各分式中的分子、分母的符號(hào)，結(jié)果中分子或分母的系數(shù)（首項(xiàng)系數(shù)）為負(fù)數(shù)時(shí)，要將“－”號(hào)提到分式的前面.清單04分式方程的解法解分式方程的一般步驟：1）找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根．3）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【注意事項(xiàng)】1）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.2）分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.清單05分式方程的實(shí)際運(yùn)用用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問題的答案.【考點(diǎn)題型一】分式的判斷（）1．（23-24七年級(jí)下·浙江·階段練習(xí)）下列代數(shù)式中，屬于分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的定義，能熟記分式定義是解題的關(guān)鍵，式子（是整式）中，分母中含有字母，則叫分式．根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．分母中含有字母，是分式，故本選項(xiàng)符合題意；B．分母中不含字母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不含分母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．不含分母，不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A2．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）下列各式：中，是分式的共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了分式的定義：形如，A、B是整式，且B中含有字母，這樣的式子叫做分式．注意是常數(shù)，不是字母．【詳解】解：在中，分式有，共2個(gè)．故選B．3．（23-24八年級(jí)上·廣西貴港·期中）下列各式，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】此題主要考查了分式的定義“分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn)”，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：分式有：，，共3個(gè)．故選：A．【考點(diǎn)題型二】分式有無意義，值為0的條件（）4．（2023·浙江寧波·一模）對(duì)于分式，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，分式的值為 B．當(dāng)時(shí)，分式無意義C．當(dāng)時(shí)，分式的值為正數(shù) D．當(dāng)時(shí)，分式的值為【答案】C【分析】直接利用分式的值為零，分式無意義，分式的求值進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，，，分式的值為，故此項(xiàng)選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，，分式無意義，故此選項(xiàng)不符合題意；C當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，分式無意義，故此選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式值為零的條件，分式無意義的條件，分式的求值．解題的關(guān)鍵是能熟練掌握分式相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答．5．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）x的取值－42a0分式的值無意義01bA． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式有無意義的條件，分式值為0的條件，以及解分式方程，理解基本定義，以及解分式方程后注意檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)已知條件分別確定和的值，然后確定出分式，最后根據(jù)時(shí)，原分式值為1，通過解分式方程確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵時(shí)，原分式無意義，∴，解得：，B選項(xiàng)正確，不符合題意；∴此分式為，∵當(dāng)時(shí)，原分式值為0，∴，解得：，A選項(xiàng)正確，不符合題意；由上分析，原分式為，當(dāng)時(shí)，原分式值為，D選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．6．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足（

）A． B．C．或 D．且【答案】D【分析】本題主要考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．由題意得，即可得到答案．【詳解】解：依題意得：，故且．故選D．7．（21-22七年級(jí)下·浙江杭州·期末）要使的值為0，則x的值是．【答案】3【分析】根據(jù)分式值為0的條件列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵的值為0，∴且，解得：，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查分式值為0的條件，結(jié)合已知條件列得且是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型三】分式的求值（）8．（21-22七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）若則的值為（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】D【分析】給出的已知等式和要求解的式子中的特點(diǎn)，應(yīng)該用整體思想，把已知等式化成能代入要求解的式子中，使其簡(jiǎn)化，進(jìn)而求出值．【詳解】解：變形為，∴y-x=2xy，=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，整體代入（用2xy代替y-x，代入式子）分式求值是解題的關(guān)鍵．9．（20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末）已知，則．【答案】【分析】此題考查了分式的求值，解題的關(guān)鍵是先求倒數(shù)．先將已知的式子化為倒數(shù)形式，化簡(jiǎn)后兩邊平方，再把所要求的式子的倒數(shù)化簡(jiǎn)求值，可得到最終結(jié)果．【詳解】，，，，故答案為：．10．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）已知，求分式的值．【答案】【分析】本題主要考查了分式的求值，先求出，再把代入所求式子中約分化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴．11．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來簡(jiǎn)化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn)，以達(dá)到計(jì)算目的．例：已知：，求代數(shù)式的值．解：∵，∴4即∴，∴根據(jù)材料回答問題：(1)已知，求的值．(2)已知，求x的值．(3)若，，，，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查的是利用倒數(shù)法求解分式的值，靈活的運(yùn)用倒數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．（1）由，可得，從而可得答案；（2）由，可得，再進(jìn)一步可得答案；（3）由條件結(jié)合題干信息可得，，再代入，可得，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，，，∴，∴，∴，，∴，，代入，∴，∴，∴，∴，，∵，∴；【考點(diǎn)題型四】分式的基本性質(zhì)（）12．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大為原來的2倍 B．?dāng)U大為原來的4倍C．不變 D．不能確定【答案】A【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，變?yōu)椋苑质降闹禂U(kuò)大為原來的2倍，故選：A．13．（23-24七年級(jí)下·浙江湖州·期末）小德不小心將墨汁滴到了作業(yè)紙上，導(dǎo)致分式中有部分代數(shù)式被墨汁污染，小清告訴小德，當(dāng)x和y都擴(kuò)大為原來的2倍時(shí)，分式的值也擴(kuò)大為原來的2倍，則■的內(nèi)容可能是（）A．2 B．x C． D．4【答案】B【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、若■的內(nèi)容是2，則，值不變，故本選項(xiàng)不符合題意；B、若■的內(nèi)容是x，則，值擴(kuò)大為原來的2倍，故本選項(xiàng)符合題意；C、若■的內(nèi)容是，則，值擴(kuò)大為原來的4倍，故本選項(xiàng)不符合題意；D、若■的內(nèi)容是4，則，值不變，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．14．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）不改變分式的值，把它的分子與分母中的系數(shù)化為整數(shù)，下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，分子分母同時(shí)乘以10，即可求解．【詳解】解：，故選：A．15．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）下列各式從左到右的變形一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解并運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不等于0的整式，分式值不變，即可得出答案．【詳解】解：A.，故本選項(xiàng)不符合題意；B.，故本選項(xiàng)不符合題意；C.當(dāng)，時(shí)，，故本選項(xiàng)不符合題意；D.，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．16．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·階段練習(xí)）下列分式的變形中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可解答．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；B、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)的變形正確．故選：D17．（22-23八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）不改變分式的值，把下列分式的分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)．(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答【詳解】（1）解：；（2）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（21-22八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含負(fù)號(hào)．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或整式，分式的值不變，利用分式的基本性質(zhì)逐一分析即可得到答案.【詳解】解：①；②；③；④【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)解決分式的三個(gè)符號(hào)問題是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型五】約分、通分、最簡(jiǎn)公分母、最簡(jiǎn)分式（）19．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)和因式分解即可；（1）約去公因式，即可；（2）先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分即可．【詳解】（1）．（2）．20．（2020七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）把下列分式化為最簡(jiǎn)分式．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）分子分母同除以即可得；（2）先分別利用平方差公式和十字相乘法對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再分子分母同除以即可得；（3）分子分母同除以即可得．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)、因式分解，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（22-23九年級(jí)上·廣東梅州·開學(xué)考試）通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】（1）先找出最簡(jiǎn)公分母，然后通分即可；（2）先找出最簡(jiǎn)公分母，然后通分即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，的最簡(jiǎn)公分母為：，∴三個(gè)分式通分為：，，．（2）解：∵，，，∴分式，，的最簡(jiǎn)公分母為：，三個(gè)分式通分為：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了通分，解題的關(guān)鍵是熟記最簡(jiǎn)公分母的定義，找出各個(gè)分母數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母以及指數(shù)的最高次冪，即可寫出各分式的最簡(jiǎn)公分母．22．（2022八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）（1）通分：和；（2）約分：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分即可；（2）原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1），；（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了通分及約分，通分的關(guān)鍵是找出各分母的最簡(jiǎn)公分母，約分的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式．【考點(diǎn)題型六】分式的乘除混合運(yùn)算（）23．（2023·安徽·一模）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，即可求解．【詳解】解：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法運(yùn)算，熟練掌握分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．24．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）分式運(yùn)算的結(jié)果是，則□處的運(yùn)算符號(hào)是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．25．（20-21七年級(jí)下·山東青島·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】直接根據(jù)分式的乘方以及乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘方以及乘除法混合運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．26．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算．（1）先乘方，再計(jì)算乘除．（2）先把分子分母因式分解，然后約分即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．27．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】（1）直接根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）（4）直接根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（5）、（6）、（7）根據(jù)分式的乘法及除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（8）、（9）、（10）、（11）、（12）根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：（7）解：（8）解：；（9）解：；（10）解：；（11）解：（12）解：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除法計(jì)算，分式的乘除法混合計(jì)算，熟知分式的乘法及除法法則是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】分式的加減混合運(yùn)算（）28．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了異分母分式減法計(jì)算，先把兩分式通分，再約分化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：，故選：A．29．（22-23七年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖所示的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求得的值與原題的正確結(jié)果一樣．則圖中被污染掉的的值是．

【答案】4【分析】先根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，再根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定x值即可．【詳解】解：，由題意，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加法、解分式方程，熟練掌握分式的加法運(yùn)算法則，正確得到化簡(jiǎn)結(jié)果是解答的關(guān)鍵．30．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算并化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了分式加減法，解題關(guān)鍵是掌握分式加減法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算；（1）變成同分母直接相加，然后約分即可；（2）先通分，再相加，然后約分即可．【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，，．31．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；（2）把第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào)，化成同分母分式；（3）通分，最簡(jiǎn)公分母為；（4）把看成是一項(xiàng)，為，再通分；（5）前兩項(xiàng)先通分，再依次計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】判斷分式方程（）32．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式方程的定義，根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可，正確理解分式方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、不是方程，不符合題意；、，不含有分式，不是分式方程，不符合題意；、，不含有分式，不是分式方程，不符合題意；、，含有分式，是分式方程，符合題意；故選：．33．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；②分母中不含有未知數(shù)，故是整式方程；③分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．34．（22-23八年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）在①，②，③，④中，其中關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：①，是分式，不是分式方程，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②是關(guān)于的分式方程，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④，是關(guān)于的分式方程，故④正確，符合題意；關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型九】解分式方程（）35．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）解分式方程時(shí)，將方程兩邊都乘同一個(gè)整式，得到一個(gè)一元一次方程，這個(gè)整式是（）A．x B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：分式方程的最簡(jiǎn)公分母是，方程兩邊都乘同一個(gè)整式去分母是，故選：C．36．（2023·河南南陽·一模）方程的解為（

）A． B． C． D．無解【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程，求解后，進(jìn)行檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【詳解】解：方程兩邊同乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的增根，∴原方程無解；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程．熟練掌握解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．37．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期末）已知關(guān)于x的方程的解是，則a的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】將代入方程，即可求a的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的解是，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解與分式方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．（23-24七年級(jí)下·浙江舟山·期末）下面是甲、乙兩位同學(xué)解分式方程的過程：甲同學(xué)：解：去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．乙同學(xué)：解：去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程無解．(1)請(qǐng)判斷甲、乙的解法是否正確？如果正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打√；如果不正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打×．(2)請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的過程解答此方程．【答案】(1)甲、乙的解法都是錯(cuò)誤的，理由見解析；(2)分式方程的解為．【分析】（）根據(jù)分式方程的解法逐步進(jìn)行判斷即可；（）根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行解答即可；本題考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵甲同學(xué)漏乘分母，乙同學(xué)應(yīng)為，∴甲、乙的解法都是錯(cuò)誤的；即甲同學(xué)：解：去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．乙同學(xué)：解：去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程無解．（2）解：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．39．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵；（1）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可；（2）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可；【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘以，得：，去括號(hào)，可得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，可得：，系數(shù)化為1，可得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程的解為；（2）方程兩邊同乘以，得：，去括號(hào)，可得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，可得：，系數(shù)化為1，可得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程無解．【考點(diǎn)題型十】根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)（）40．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）已知關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時(shí)，求這個(gè)分式方程的解；(2)若此分式方程無解，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了解分式方程以及分式方程無解的問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）把代入方程，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解，得到前的系數(shù)為或者最簡(jiǎn)公分母為，即可求解．【詳解】（1）解：把代入分式方程得：，整理得：，去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是分式方程的解；（2）分式方程變形得：，去分母，得：，即，若，即時(shí)，此方程無解，即分式方程無解；若，即時(shí)，分式方程無解，，即，把代入整式方程得：，綜上所述，或．41．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）若分式方程有增根，且方程無解．(1)方程的增根是；(2)求出分式方程中“？”所代表的數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根據(jù)分式方程增根的定義即可得出答案；（）將分式方程去分母得到整式方程，再把代入計(jì)算即可；本題考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定義，掌握分式方程的解法是正確解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由分式方程增根的定義可知，這個(gè)分式方程的增根是，故答案為：；（2）將關(guān)于的分式方程的兩邊都乘以，得：，把代入得，．42．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）（1）若方程有增根，求m的值．（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了分式方程的增根，同底數(shù)冪乘除法，熟練掌握解分式方程的步驟及冪的運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵；（1）首先化分式方程為整式方程，然后讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根，再把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．（2）首先化簡(jiǎn)方程得，然后將轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪乘除法，再把指數(shù)代入即可．【詳解】（1），原方程有增根，最簡(jiǎn)公分母，解得，將代入中得，解得：；（2），，．43．（22-23八年級(jí)下·山西臨汾·階段練習(xí)）已知分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“▲”看不清楚．(1)若“▲”表示的數(shù)為6，求分式方程的解；(2)小華說“我看到答案是原分式方程無解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把▲代入方程，進(jìn)而利用解分式方程的方法解答即可；（2）設(shè)▲為m，利用分式方程無解得到增根，解答即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊同乘，得：，解得：，檢驗(yàn)：，所以是原分式方程的解；（2）設(shè)▲，，方程兩邊同乘，得：，把代入，得：，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．【考點(diǎn)題型十一】列分式方程解決實(shí)際問題（）44．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計(jì)劃種植樹木1200棵．在種植完400棵后，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植的棵樹比原計(jì)劃增加了，結(jié)果比原計(jì)劃提前4天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵，則所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查從實(shí)際問題中抽取分式方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵，根據(jù)等量關(guān)系即可得到，故選B．45．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）暑假期間，小明一家計(jì)劃自駕去離寧波遠(yuǎn)的某風(fēng)景區(qū)游玩．途中……設(shè)原計(jì)劃以每小時(shí)的速度開往該景區(qū)，可得方程，根據(jù)此情景，題中“……”表示的缺失條件應(yīng)為（

）A．實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)B．實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)C．實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快，結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)D．實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢，結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)【答案】A【分析】本題主要考查了列分式方程，先根據(jù)原計(jì)劃的速度為，可知是實(shí)際速度，再結(jié)合時(shí)間的差為1，可知答案．【詳解】由原計(jì)劃每小時(shí)的速度開往景區(qū)，可知是實(shí)際速度，再根據(jù)時(shí)間差為1，可知實(shí)際比原計(jì)劃提前了1小時(shí)．所以缺失的條件是“實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快，結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)”．故選：A．46．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）在解決“甲乙兩站相距千米，貨車與客車同時(shí)從甲站出發(fā)開往乙站，已知客車的速度是貨車速度的倍，結(jié)果客車比貨車早小時(shí)到達(dá)乙站，求客車與貨車的速度分別是多少？”這一問題時(shí)，小林通過設(shè)某一未知量為，得到分式方程，則小林設(shè)的未知量是（

）A．貨車的速度 B．客車的速度 C．客車運(yùn)動(dòng)時(shí)間 D．貨車運(yùn)動(dòng)時(shí)間【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用；根據(jù)所列方程中未知數(shù)的表示即可判斷出未知數(shù)所表示的含義．【詳解】解：根據(jù)客車的速度是貨車速度的倍，客車比貨車早小時(shí)到達(dá)乙站，分式方程為∴小林設(shè)的未知量是貨車的速度．故選：A．47．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）隨著國家提倡節(jié)能減排，新能源車將成為時(shí)代“寵兒”．端午節(jié)，君君一家駕乘新購買的新能源車，去相距的古鎮(zhèn)旅行，原計(jì)劃以的速度勻速前行，因急事實(shí)際以計(jì)劃速度的1.2倍勻速行駛，結(jié)果比原計(jì)劃提前了到達(dá)，則可列方程．【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．原計(jì)劃速度為，則實(shí)際速度為，根據(jù)時(shí)間路程速度結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前到達(dá)，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．48．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）某項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比規(guī)定時(shí)間多用天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比規(guī)定時(shí)間多用天，如果甲，乙兩隊(duì)合作，可比規(guī)定時(shí)間提前天完成任務(wù)，若設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，由題意列出的方程是．【答案】【分析】設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，根據(jù)題意列方程即可解答．【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天，根據(jù)題意可得，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與實(shí)際問題，明確題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十二】分式方程與實(shí)際問題（）49．（22-23七年級(jí)下·浙江紹興·期末）現(xiàn)有甲，乙，丙三種糖混合而成的什錦糖千克，其中各種糖的千克數(shù)和單價(jià)如下表．甲種糖乙種糖丙種糖千克數(shù)單價(jià)（元/千克）商店以糖的平均價(jià)（平均價(jià)＝混合糖的總價(jià)格÷混合糖的總千克數(shù)）作為什錦糖的單價(jià)，要使什錦糖的單價(jià)每千克提高元，則需再加入丙種糖千克．【答案】【分析】設(shè)加入丙種糖千克，則什錦糖的總量為：千克，用總價(jià)除以總量就是什錦糖的單價(jià)，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】設(shè)加入丙種糖千克，則什錦糖的總量為：千克，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，∴需再加入丙種糖千克，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列式是解題的關(guān)鍵．50．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）甲、乙兩個(gè)服裝廠加工一批校服，甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)量的倍，兩廠各加工套校服，甲廠比乙廠少用2天，則乙廠每天加工_____套校服．【答案】【分析】利用分式方程中的工程問題，工作量除以工作效率等于工作時(shí)間，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)乙廠每天加工x套校服，則甲廠每天加工套校服，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴乙廠每天加工套校服．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的分式方程的實(shí)際應(yīng)用工程問題，熟練掌握工程問題的數(shù)量關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．51．（21-22七年級(jí)下·浙江紹興·期末）某感冒藥用來計(jì)算兒童服藥量y的公式為y＝，其中a為成人服藥量，x為兒童的年齡（x≤13），如果一個(gè)兒童的服藥量恰好是成人服藥量的，那么他的年齡是歲．【答案】6【分析】根據(jù)“一個(gè)兒童的服藥量恰好是成人服藥量的”為等量關(guān)系，列出方程