浙教版2025年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末總復(fù)習(xí)(知識(shí)梳理)專題05分式(考點(diǎn)清單5考點(diǎn)12題型)(教師版)_第1頁
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/清單05分式(5個(gè)考點(diǎn)梳理+12種題型解讀+提升訓(xùn)練)清單01分式的基礎(chǔ)分式的概念:一般地,如果A、B表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式,其中A叫做分子,B1)分式的三個(gè)條件:①形如AB的這種形式;②A、B2)分式判斷的易錯(cuò)點(diǎn):①分式可看成是兩個(gè)整式的商,如xy②判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式的方法:a.看分母中是否含有字母,有字母就是分式,不含字母就不是分式.對(duì)于分式來說條件分式有意義分母不等于零,即B≠0分式無意義分母等于零,即B=0分式值為0分子等于零且分母不等于零,即A=0且B≠0(缺一不可)清單02分式的性質(zhì)分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式,分式的值不變.字母表示:AB=A?CB?C分式符號(hào)法則:分式的分子、分母與分式本身的符號(hào),改變其中任何兩個(gè),分式的值不變.即:AB【補(bǔ)充】改變其中一個(gè)或三個(gè),分式變?yōu)樵质降南喾磾?shù).清單03分式運(yùn)算1.分式的約分根據(jù)分式的基本性質(zhì),約去分子和分母的公因式,不改變分式的值,這樣的分式變形叫做分式的約分.最簡(jiǎn)分式:分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式.2.分式的通分根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式,這一過程叫做分式的通分.最簡(jiǎn)公分母:通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母,這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母.在確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母時(shí),不要遺漏只在一個(gè)分式的分母中出現(xiàn)的字母及其指數(shù).確定最簡(jiǎn)公分母的方法:1)分母為單項(xiàng)式:①取單項(xiàng)式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù);②取單項(xiàng)式中每個(gè)字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母中該字母的次數(shù).2)分母為多項(xiàng)式:①對(duì)每個(gè)分母進(jìn)行因式分解;②找出每個(gè)出現(xiàn)的因式的最高次冪,它們的積為最簡(jiǎn)公分母;③若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).3.分式的加減法1)同分母分式相加減:分母不變,把分子相加減;符號(hào)表示為:2)異分母分式相加減:先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?,再加減;符號(hào)表示為:4.分式的乘除法

1)分式的乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母,即.2)分式的除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘,即.3)分式的乘方運(yùn)算法則:分式的乘方是把分子、分母分別乘方,即(n為正整數(shù),b≠0)5.分式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序:分式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)類似,即先乘方,再乘除,最后加減;有括號(hào)時(shí),先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算;同級(jí)運(yùn)算,按照從左到右的順序進(jìn)行.【補(bǔ)充說明】①分式的混合運(yùn)算,一般按常規(guī)運(yùn)算順序,但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn),運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.②分式的混合運(yùn)算要注意各分式中的分子、分母的符號(hào),結(jié)果中分子或分母的系數(shù)(首項(xiàng)系數(shù))為負(fù)數(shù)時(shí),要將“-”號(hào)提到分式的前面.清單04分式方程的解法解分式方程的一般步驟:1)找最簡(jiǎn)公分母,當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí),先分解因式;

2)去分母,方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母,化為整式方程;

【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí),最簡(jiǎn)公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根,因此分式方程一定要驗(yàn)根.3)解這個(gè)整式方程,求出整式方程的解;

4)檢驗(yàn):將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母,若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解,若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解,原分式方程無解.【注意事項(xiàng)】1)解分式方程一定要檢驗(yàn)根,這種檢驗(yàn)與整式方程不同,不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤,而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根,它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.2)分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念.分式方程無解,需分類討論:可能是解為增根,也可能是去分母后的整式方程無解.清單05分式方程的實(shí)際運(yùn)用用分式方程解決實(shí)際問題的步驟:審:理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè):用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列:找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系,以此為依據(jù)列出方程;解:求解方程;驗(yàn):考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2)檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答:實(shí)際問題的答案.【考點(diǎn)題型一】分式的判斷()1.(23-24七年級(jí)下·浙江·階段練習(xí))下列代數(shù)式中,屬于分式的是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查了分式的定義,能熟記分式定義是解題的關(guān)鍵,式子(是整式)中,分母中含有字母,則叫分式.根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】解:A.分母中含有字母,是分式,故本選項(xiàng)符合題意;B.分母中不含字母,不是分式,故本選項(xiàng)不符合題意;C.不含分母,不是分式,故本選項(xiàng)不符合題意;D.不含分母,不是分式,故本選項(xiàng)不符合題意.故選:A2.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))下列各式:中,是分式的共有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了分式的定義:形如,A、B是整式,且B中含有字母,這樣的式子叫做分式.注意是常數(shù),不是字母.【詳解】解:在中,分式有,共2個(gè).故選B.3.(23-24八年級(jí)上·廣西貴港·期中)下列各式,,,,,中,分式的個(gè)數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】此題主要考查了分式的定義“分式的分母必須含有字母,而分子可以含字母,也可以不含字母,亦即從形式上看是的形式,從本質(zhì)上看分母必須含有字母,同時(shí),分母不等于零,且只看初始狀態(tài),不要化簡(jiǎn)”,正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵.【詳解】解:分式有:,,共3個(gè).故選:A.【考點(diǎn)題型二】分式有無意義,值為0的條件()4.(2023·浙江寧波·一模)對(duì)于分式,下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.當(dāng)時(shí),分式的值為 B.當(dāng)時(shí),分式無意義C.當(dāng)時(shí),分式的值為正數(shù) D.當(dāng)時(shí),分式的值為【答案】C【分析】直接利用分式的值為零,分式無意義,分式的求值進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:A.當(dāng)時(shí),,,分式的值為,故此項(xiàng)選項(xiàng)不符合題意;B.當(dāng)時(shí),,分式無意義,故此選項(xiàng)不符合題意;C當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,分式無意義,故此選項(xiàng)符合題意;D.當(dāng)時(shí),,故此選項(xiàng)不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分式值為零的條件,分式無意義的條件,分式的求值.解題的關(guān)鍵是能熟練掌握分式相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.5.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)已知分式(m,n為常數(shù))滿足表格中的信息,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)x的取值-42a0分式的值無意義01bA. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查分式有無意義的條件,分式值為0的條件,以及解分式方程,理解基本定義,以及解分式方程后注意檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵.首先根據(jù)已知條件分別確定和的值,然后確定出分式,最后根據(jù)時(shí),原分式值為1,通過解分式方程確定,即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵時(shí),原分式無意義,∴,解得:,B選項(xiàng)正確,不符合題意;∴此分式為,∵當(dāng)時(shí),原分式值為0,∴,解得:,A選項(xiàng)正確,不符合題意;由上分析,原分式為,當(dāng)時(shí),原分式值為,D選項(xiàng)正確,不符合題意;當(dāng)時(shí),解得:,經(jīng)檢驗(yàn),是原分式方程的解,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;故選:C.6.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)要使分式有意義,x的取值應(yīng)滿足(

)A. B.C.或 D.且【答案】D【分析】本題主要考查分式有意義的條件,熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.由題意得,即可得到答案.【詳解】解:依題意得:,故且.故選D.7.(21-22七年級(jí)下·浙江杭州·期末)要使的值為0,則x的值是.【答案】3【分析】根據(jù)分式值為0的條件列式計(jì)算即可.【詳解】解:∵的值為0,∴且,解得:,故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查分式值為0的條件,結(jié)合已知條件列得且是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型三】分式的求值()8.(21-22七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí))若則的值為(

)A.-1 B.1 C. D.【答案】D【分析】給出的已知等式和要求解的式子中的特點(diǎn),應(yīng)該用整體思想,把已知等式化成能代入要求解的式子中,使其簡(jiǎn)化,進(jìn)而求出值.【詳解】解:變形為,∴y-x=2xy,=.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值,整體代入(用2xy代替y-x,代入式子)分式求值是解題的關(guān)鍵.9.(20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末)已知,則.【答案】【分析】此題考查了分式的求值,解題的關(guān)鍵是先求倒數(shù).先將已知的式子化為倒數(shù)形式,化簡(jiǎn)后兩邊平方,再把所要求的式子的倒數(shù)化簡(jiǎn)求值,可得到最終結(jié)果.【詳解】,,,,故答案為:.10.(23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末)已知,求分式的值.【答案】【分析】本題主要考查了分式的求值,先求出,再把代入所求式子中約分化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】解:∵,∴,∴.11.(23-24七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí))在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,我們常常會(huì)利用一些變形技巧來簡(jiǎn)化式子,解答問題.材料一:在解決某些分式問題時(shí),倒數(shù)法是常用的變形技巧之一,所謂倒數(shù)法,即把式子變成其倒數(shù)形式,從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn),以達(dá)到計(jì)算目的.例:已知:,求代數(shù)式的值.解:∵,∴4即∴,∴根據(jù)材料回答問題:(1)已知,求的值.(2)已知,求x的值.(3)若,,,,且,求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查的是利用倒數(shù)法求解分式的值,靈活的運(yùn)用倒數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.(1)由,可得,從而可得答案;(2)由,可得,再進(jìn)一步可得答案;(3)由條件結(jié)合題干信息可得,,再代入,可得,再進(jìn)一步求解即可.【詳解】(1)解:∵∴,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴,∴,∴;(3)解:∵,,,,∴,∴,∴,,∴,,代入,∴,∴,∴,∴,,∵,∴;【考點(diǎn)題型四】分式的基本性質(zhì)()12.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)如果分式中的x,y都擴(kuò)大為原來的2倍,那么分式的值(

)A.?dāng)U大為原來的2倍 B.?dāng)U大為原來的4倍C.不變 D.不能確定【答案】A【分析】本題考查分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】解:分式中的x,y都擴(kuò)大為原來的2倍,變?yōu)椋苑质降闹禂U(kuò)大為原來的2倍,故選:A.13.(23-24七年級(jí)下·浙江湖州·期末)小德不小心將墨汁滴到了作業(yè)紙上,導(dǎo)致分式中有部分代數(shù)式被墨汁污染,小清告訴小德,當(dāng)x和y都擴(kuò)大為原來的2倍時(shí),分式的值也擴(kuò)大為原來的2倍,則■的內(nèi)容可能是()A.2 B.x C. D.4【答案】B【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì),逐項(xiàng)判斷,即可求解.【詳解】解:A、若■的內(nèi)容是2,則,值不變,故本選項(xiàng)不符合題意;B、若■的內(nèi)容是x,則,值擴(kuò)大為原來的2倍,故本選項(xiàng)符合題意;C、若■的內(nèi)容是,則,值擴(kuò)大為原來的4倍,故本選項(xiàng)不符合題意;D、若■的內(nèi)容是4,則,值不變,故本選項(xiàng)不符合題意;故選:B.14.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)不改變分式的值,把它的分子與分母中的系數(shù)化為整數(shù),下列式子正確的是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查了分式的性質(zhì),分子分母同時(shí)乘以10,即可求解.【詳解】解:,故選:A.15.(23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí))下列各式從左到右的變形一定正確的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確理解并運(yùn)用分式的基本性質(zhì).根據(jù)分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)不等于0的整式,分式值不變,即可得出答案.【詳解】解:A.,故本選項(xiàng)不符合題意;B.,故本選項(xiàng)不符合題意;C.當(dāng),時(shí),,故本選項(xiàng)不符合題意;D.,故本選項(xiàng)符合題意;故選:D.16.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·階段練習(xí))下列分式的變形中,正確的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì),熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)分式的基本性質(zhì),進(jìn)行判斷即可解答.【詳解】解:A、,故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤;B、,故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤;C、,故本選項(xiàng)的變形錯(cuò)誤;D、,故本選項(xiàng)的變形正確.故選:D17.(22-23八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí))不改變分式的值,把下列分式的分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù).(1)(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答;(2)根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答【詳解】(1)解:;(2)解:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì),熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18.(21-22八年級(jí)上·全國·課后作業(yè))不改變分式的值,使下列分式的分子、分母都不含負(fù)號(hào).①;②;③;④.【答案】①;②;③;④【分析】分式的基本性質(zhì):分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或整式,分式的值不變,利用分式的基本性質(zhì)逐一分析即可得到答案.【詳解】解:①;②;③;④【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì),掌握分式的基本性質(zhì)解決分式的三個(gè)符號(hào)問題是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型五】約分、通分、最簡(jiǎn)公分母、最簡(jiǎn)分式()19.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))化簡(jiǎn):(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn),解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)和因式分解即可;(1)約去公因式,即可;(2)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解,再約分即可.【詳解】(1).(2).20.(2020七年級(jí)上·全國·專題練習(xí))把下列分式化為最簡(jiǎn)分式.(1);(2);(3).【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)分子分母同除以即可得;(2)先分別利用平方差公式和十字相乘法對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解,再分子分母同除以即可得;(3)分子分母同除以即可得.【詳解】(1);(2);(3).【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)、因式分解,熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.21.(22-23九年級(jí)上·廣東梅州·開學(xué)考試)通分:(1),,;(2),,.【答案】(1),,(2),,【分析】(1)先找出最簡(jiǎn)公分母,然后通分即可;(2)先找出最簡(jiǎn)公分母,然后通分即可.【詳解】(1)解:∵,,∴,,的最簡(jiǎn)公分母為:,∴三個(gè)分式通分為:,,.(2)解:∵,,,∴分式,,的最簡(jiǎn)公分母為:,三個(gè)分式通分為:,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通分,解題的關(guān)鍵是熟記最簡(jiǎn)公分母的定義,找出各個(gè)分母數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母以及指數(shù)的最高次冪,即可寫出各分式的最簡(jiǎn)公分母.22.(2022八年級(jí)上·全國·專題練習(xí))(1)通分:和;(2)約分:.【答案】(1),;(2)【分析】(1)找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母,通分即可;(2)原式變形后,約分即可得到結(jié)果.【詳解】解:(1),;(2).【點(diǎn)睛】此題考查了通分及約分,通分的關(guān)鍵是找出各分母的最簡(jiǎn)公分母,約分的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式.【考點(diǎn)題型六】分式的乘除混合運(yùn)算()23.(2023·安徽·一模)計(jì)算的結(jié)果是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】先計(jì)算乘方,再計(jì)算乘法,即可求解.【詳解】解:故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法運(yùn)算,熟練掌握分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.24.(2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))分式運(yùn)算的結(jié)果是,則□處的運(yùn)算符號(hào)是()A.+ B.﹣ C.× D.÷【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算,熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.25.(20-21七年級(jí)下·山東青島·期中)計(jì)算:.【答案】【分析】直接根據(jù)分式的乘方以及乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】解:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘方以及乘除法混合運(yùn)算,正確掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.26.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))計(jì)算:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算.(1)先乘方,再計(jì)算乘除.(2)先把分子分母因式分解,然后約分即可.【詳解】(1)解:;(2)解:.27.(2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))計(jì)算:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】(1)直接根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可;(2)(4)直接根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可;(3)根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可;(5)、(6)、(7)根據(jù)分式的乘法及除法法則進(jìn)行計(jì)算即可;(8)、(9)、(10)、(11)、(12)根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)解:(2)解:;(3)解:;(4)解:;(5)解:;(6)解:(7)解:(8)解:;(9)解:;(10)解:;(11)解:(12)解:.【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除法計(jì)算,分式的乘除法混合計(jì)算,熟知分式的乘法及除法法則是解答此題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型七】分式的加減混合運(yùn)算()28.(23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末)化簡(jiǎn)的結(jié)果為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了異分母分式減法計(jì)算,先把兩分式通分,再約分化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】解:,故選:A.29.(22-23七年級(jí)下·浙江紹興·期末)如圖所示的解題過程中,第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤,但最后所求得的值與原題的正確結(jié)果一樣.則圖中被污染掉的的值是.

【答案】4【分析】先根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式,再根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定x值即可.【詳解】解:,由題意,,∴,解得,經(jīng)檢驗(yàn),是所列方程的根,且符合題意,故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查分式的加法、解分式方程,熟練掌握分式的加法運(yùn)算法則,正確得到化簡(jiǎn)結(jié)果是解答的關(guān)鍵.30.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))計(jì)算并化簡(jiǎn):(1);(2).【答案】(1)3(2)【分析】本題考查了分式加減法,解題關(guān)鍵是掌握分式加減法則,準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算;(1)變成同分母直接相加,然后約分即可;(2)先通分,再相加,然后約分即可.【詳解】(1)解:,,,,.(2)解:,,,.31.(2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))計(jì)算:(1)(2)(3)(4)(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】(1)直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算:分母不變,分子相加減;(2)把第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào),化成同分母分式;(3)通分,最簡(jiǎn)公分母為;(4)把看成是一項(xiàng),為,再通分;(5)前兩項(xiàng)先通分,再依次計(jì)算即可.【詳解】(1)解:原式;(2)解:原式;(3)解:原式;(4)解:原式;(5)解:原式.【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式,因式分解,分式的加減混合運(yùn)算,熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型八】判斷分式方程()32.(2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))下列是分式方程的是()A. B.C. D.【答案】D【分析】本題考查了分式方程的定義,根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可,正確理解分式方程的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:、不是方程,不符合題意;、,不含有分式,不是分式方程,不符合題意;、,不含有分式,不是分式方程,不符合題意;、,含有分式,是分式方程,符合題意;故選:.33.(2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))下列方程:①;②;③;④.其中分式方程有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程,判斷即可.【詳解】解:①分母中含有未知數(shù),故是分式方程;②分母中不含有未知數(shù),故是整式方程;③分母中含有未知數(shù),故是分式方程;④分母中含有未知數(shù),故是分式方程.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程,熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.34.(22-23八年級(jí)下·遼寧沈陽·期中)在①,②,③,④中,其中關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】解:①,是分式,不是分式方程,故①錯(cuò)誤,不符合題意;②是關(guān)于的分式方程,故②錯(cuò)誤,不符合題意;③,是一元一次方程,不是分式方程,故③錯(cuò)誤,不符合題意;④,是關(guān)于的分式方程,故④正確,符合題意;關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為1個(gè),故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義,熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型九】解分式方程()35.(23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末)解分式方程時(shí),將方程兩邊都乘同一個(gè)整式,得到一個(gè)一元一次方程,這個(gè)整式是()A.x B. C. D.【答案】C【分析】本題考查解分式方程中的去分母,直接去分母即可得到答案,掌握等式的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.【詳解】解:分式方程的最簡(jiǎn)公分母是,方程兩邊都乘同一個(gè)整式去分母是,故選:C.36.(2023·河南南陽·一模)方程的解為(

)A. B. C. D.無解【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程,求解后,進(jìn)行檢驗(yàn)后,即可得出結(jié)論.【詳解】解:方程兩邊同乘,得:,解得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴是原方程的增根,∴原方程無解;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程.熟練掌握解分式方程的步驟,是解題的關(guān)鍵.37.(22-23八年級(jí)下·四川成都·期末)已知關(guān)于x的方程的解是,則a的值為()A.2 B.1 C. D.【答案】C【分析】將代入方程,即可求a的值.【詳解】解:∵關(guān)于x的方程的解是,∴,解得,經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解,熟練掌握分式方程的解與分式方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.38.(23-24七年級(jí)下·浙江舟山·期末)下面是甲、乙兩位同學(xué)解分式方程的過程:甲同學(xué):解:去分母,得:,解得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴分式方程的解為.乙同學(xué):解:去分母,得:,解得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴分式方程無解.(1)請(qǐng)判斷甲、乙的解法是否正確?如果正確,請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打√;如果不正確,請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打×.(2)請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的過程解答此方程.【答案】(1)甲、乙的解法都是錯(cuò)誤的,理由見解析;(2)分式方程的解為.【分析】()根據(jù)分式方程的解法逐步進(jìn)行判斷即可;()根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行解答即可;本題考查了解分式方程,掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)∵甲同學(xué)漏乘分母,乙同學(xué)應(yīng)為,∴甲、乙的解法都是錯(cuò)誤的;即甲同學(xué):解:去分母,得:,解得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴分式方程的解為.乙同學(xué):解:去分母,得:,解得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴分式方程無解.(2)解:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴分式方程的解為.39.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))解方程:(1);(2)【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查的是分式方程的解法,掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵;(1)先去分母,把方程化為整式方程,再解整式方程并檢驗(yàn)即可;(2)先去分母,把方程化為整式方程,再解整式方程并檢驗(yàn)即可;【詳解】(1)解:,方程兩邊同乘以,得:,去括號(hào),可得:,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),可得:,系數(shù)化為1,可得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴原分式方程的解為;(2)方程兩邊同乘以,得:,去括號(hào),可得:,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),可得:,系數(shù)化為1,可得:,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,∴原分式方程無解.【考點(diǎn)題型十】根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)()40.(23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末)已知關(guān)于x的分式方程.(1)當(dāng)時(shí),求這個(gè)分式方程的解;(2)若此分式方程無解,求的值.【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了解分式方程以及分式方程無解的問題,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.(1)把代入方程,去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解;(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程無解,得到前的系數(shù)為或者最簡(jiǎn)公分母為,即可求解.【詳解】(1)解:把代入分式方程得:,整理得:,去分母,得:,去括號(hào),得:,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得:,解得:,檢驗(yàn):把代入得:,是分式方程的解;(2)分式方程變形得:,去分母,得:,即,若,即時(shí),此方程無解,即分式方程無解;若,即時(shí),分式方程無解,,即,把代入整式方程得:,綜上所述,或.41.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)若分式方程有增根,且方程無解.(1)方程的增根是;(2)求出分式方程中“?”所代表的數(shù).【答案】(1);(2).【分析】()根據(jù)分式方程增根的定義即可得出答案;()將分式方程去分母得到整式方程,再把代入計(jì)算即可;本題考查了分式方程的增根,理解分式方程增根的定義,掌握分式方程的解法是正確解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)由分式方程增根的定義可知,這個(gè)分式方程的增根是,故答案為:;(2)將關(guān)于的分式方程的兩邊都乘以,得:,把代入得,.42.(23-24七年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí))(1)若方程有增根,求m的值.(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【分析】本題考查了分式方程的增根,同底數(shù)冪乘除法,熟練掌握解分式方程的步驟及冪的運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵;(1)首先化分式方程為整式方程,然后讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根,再把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.(2)首先化簡(jiǎn)方程得,然后將轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪乘除法,再把指數(shù)代入即可.【詳解】(1),原方程有增根,最簡(jiǎn)公分母,解得,將代入中得,解得:;(2),,.43.(22-23八年級(jí)下·山西臨汾·階段練習(xí))已知分式方程,由于印刷問題,有一個(gè)數(shù)“▲”看不清楚.(1)若“▲”表示的數(shù)為6,求分式方程的解;(2)小華說“我看到答案是原分式方程無解”,請(qǐng)你求出原分式方程中“▲”代表的數(shù).【答案】(1)(2)【分析】(1)把▲代入方程,進(jìn)而利用解分式方程的方法解答即可;(2)設(shè)▲為m,利用分式方程無解得到增根,解答即可.【詳解】(1)解:,方程兩邊同乘,得:,解得:,檢驗(yàn):,所以是原分式方程的解;(2)設(shè)▲,,方程兩邊同乘,得:,把代入,得:,解得:.【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.【考點(diǎn)題型十一】列分式方程解決實(shí)際問題()44.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境,計(jì)劃種植樹木1200棵.在種植完400棵后,由于志愿者的加入,實(shí)際每天種植的棵樹比原計(jì)劃增加了,結(jié)果比原計(jì)劃提前4天完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵,則所列方程正確的是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】本題主要考查從實(shí)際問題中抽取分式方程,理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程即可.【詳解】解:設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵,根據(jù)等量關(guān)系即可得到,故選B.45.(23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末)暑假期間,小明一家計(jì)劃自駕去離寧波遠(yuǎn)的某風(fēng)景區(qū)游玩.途中……設(shè)原計(jì)劃以每小時(shí)的速度開往該景區(qū),可得方程,根據(jù)此情景,題中“……”表示的缺失條件應(yīng)為(

)A.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)B.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)C.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快,結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)D.實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃慢,結(jié)果延遲1小時(shí)到達(dá)【答案】A【分析】本題主要考查了列分式方程,先根據(jù)原計(jì)劃的速度為,可知是實(shí)際速度,再結(jié)合時(shí)間的差為1,可知答案.【詳解】由原計(jì)劃每小時(shí)的速度開往景區(qū),可知是實(shí)際速度,再根據(jù)時(shí)間差為1,可知實(shí)際比原計(jì)劃提前了1小時(shí).所以缺失的條件是“實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃快,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá)”.故選:A.46.(23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末)在解決“甲乙兩站相距千米,貨車與客車同時(shí)從甲站出發(fā)開往乙站,已知客車的速度是貨車速度的倍,結(jié)果客車比貨車早小時(shí)到達(dá)乙站,求客車與貨車的速度分別是多少?”這一問題時(shí),小林通過設(shè)某一未知量為,得到分式方程,則小林設(shè)的未知量是(

)A.貨車的速度 B.客車的速度 C.客車運(yùn)動(dòng)時(shí)間 D.貨車運(yùn)動(dòng)時(shí)間【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用;根據(jù)所列方程中未知數(shù)的表示即可判斷出未知數(shù)所表示的含義.【詳解】解:根據(jù)客車的速度是貨車速度的倍,客車比貨車早小時(shí)到達(dá)乙站,分式方程為∴小林設(shè)的未知量是貨車的速度.故選:A.47.(2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí))隨著國家提倡節(jié)能減排,新能源車將成為時(shí)代“寵兒”.端午節(jié),君君一家駕乘新購買的新能源車,去相距的古鎮(zhèn)旅行,原計(jì)劃以的速度勻速前行,因急事實(shí)際以計(jì)劃速度的1.2倍勻速行駛,結(jié)果比原計(jì)劃提前了到達(dá),則可列方程.【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.原計(jì)劃速度為,則實(shí)際速度為,根據(jù)時(shí)間路程速度結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前到達(dá),即可得出關(guān)于的分式方程,此題得解.【詳解】解:根據(jù)題意得:.故答案為:.48.(22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末)某項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比規(guī)定時(shí)間多用天,乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程比規(guī)定時(shí)間多用天,如果甲,乙兩隊(duì)合作,可比規(guī)定時(shí)間提前天完成任務(wù),若設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天,由題意列出的方程是.【答案】【分析】設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天,甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天,乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天,根據(jù)題意列方程即可解答.【詳解】解:設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天,甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天,乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要天,根據(jù)題意可得,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與實(shí)際問題,明確題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)題型十二】分式方程與實(shí)際問題()49.(22-23七年級(jí)下·浙江紹興·期末)現(xiàn)有甲,乙,丙三種糖混合而成的什錦糖千克,其中各種糖的千克數(shù)和單價(jià)如下表.甲種糖乙種糖丙種糖千克數(shù)單價(jià)(元/千克)商店以糖的平均價(jià)(平均價(jià)=混合糖的總價(jià)格÷混合糖的總千克數(shù))作為什錦糖的單價(jià),要使什錦糖的單價(jià)每千克提高元,則需再加入丙種糖千克.【答案】【分析】設(shè)加入丙種糖千克,則什錦糖的總量為:千克,用總價(jià)除以總量就是什錦糖的單價(jià),根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】設(shè)加入丙種糖千克,則什錦糖的總量為:千克,根據(jù)題意得:,解得:,經(jīng)檢驗(yàn):是原分式方程的解,∴需再加入丙種糖千克,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用,理清題中的數(shù)量關(guān)系并正確列式是解題的關(guān)鍵.50.(22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中)甲、乙兩個(gè)服裝廠加工一批校服,甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)量的倍,兩廠各加工套校服,甲廠比乙廠少用2天,則乙廠每天加工_____套校服.【答案】【分析】利用分式方程中的工程問題,工作量除以工作效率等于工作時(shí)間,列出方程求解即可.【詳解】解:設(shè)乙廠每天加工x套校服,則甲廠每天加工套校服,依題意得:,解得:,經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的解,且符合題意,∴乙廠每天加工套校服.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的分式方程的實(shí)際應(yīng)用工程問題,熟練掌握工程問題的數(shù)量關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵.51.(21-22七年級(jí)下·浙江紹興·期末)某感冒藥用來計(jì)算兒童服藥量y的公式為y=,其中a為成人服藥量,x為兒童的年齡(x≤13),如果一個(gè)兒童的服藥量恰好是成人服藥量的,那么他的年齡是歲.【答案】6【分析】根據(jù)“一個(gè)兒童的服藥量恰好是成人服藥量的”為等量關(guān)系,列出方程

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