2025年荊門(mén)德藝高級(jí)中學(xué)高二下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-圓錐曲線答案

第=PAGE4*2-17頁(yè)共=SECTIONPAGES4*28頁(yè)◎第=PAGE4*28頁(yè)共=SECTIONPAGES4*28頁(yè)2025年荊門(mén)德藝高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期末復(fù)習(xí)——圓錐曲線（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為()A．2B．1C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.根據(jù)拋物線定義，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入拋物線方程求得xP＝±，∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為.故選A.2．曲線與曲線的()A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．短軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】D【解析】首先化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，，由方程形式可知，曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是6，焦距是，離心率，，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，短軸長(zhǎng)是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.3．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．橢圓【答案】D【詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.4．在一些山谷中有一種奇特的現(xiàn)象，在一處呼喊一聲，在另一處會(huì)間隔聽(tīng)到兩次呼喊，前一次是聲音直接傳到聽(tīng)者耳朵中，后一次是聲音經(jīng)過(guò)山壁反射后再傳到聽(tīng)者耳朵中.假設(shè)有一片橢圓形狀的空曠山谷，甲?乙兩人分別站在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，甲呼喊一聲，乙經(jīng)過(guò)聽(tīng)到第一聲，又過(guò)聽(tīng)到第二聲，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，甲在，乙在，直接傳播路徑有，即，由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合聲波的反射定律，聲音經(jīng)過(guò)A點(diǎn)反射，傳播路程為，即因?yàn)?，所以，故第一聲為，第二聲為，因?yàn)槁曇羲俣群愣?，故，故，故選：A5．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點(diǎn)為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．6．已，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則雙曲線兩條漸近線的夾角大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則有，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，從而得，所以雙曲線的漸近線的斜率和，所以雙曲線的兩漸近線的傾斜角分別為，所以雙曲線兩條漸近線的夾角大小為.故選：B.7．設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且與軸交于，兩點(diǎn)，則A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】C【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1設(shè)直線MN的方程為x=ty+1，A、B的坐標(biāo)分別為（，y1），（，y2）聯(lián)立直線和拋物線得到方程：y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，x1+x2=ty1+1+ty2+1=t（y1+y2）+2=4t2+2，=2t2+1，=2t，則圓心D（2t2+1，2t），由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨=x1+x2+p=4（t2+1），由P到圓心的距離d=，由題意可知：d=丨AB丨，解得：t=1，則圓心為（3，2），半徑為4，∴圓的方程方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=42，則當(dāng)y=0，求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)m＞n，則m=3﹣2，n=3+2，∴mn=（3﹣2）（3+2）=﹣3，故選C．8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)M使得的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓C的離心率的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，所以，又，所以，又，所以，化簡(jiǎn)，得，即，解得，所以e的最大值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若方程所表示的曲線為，則（

）A．曲線可能是圓B．若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則C．若，則為橢圓D．若為雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上，則【答案】ABD【詳解】當(dāng)，即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，故A正確，C錯(cuò)誤；若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則，解得，故B正確；若為雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上，方程即，則，解得，故D正確．故選ABD．10．過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．以線段為直徑的圓與y軸相切C． D．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為【答案】ACD【詳解】由題設(shè)，由焦點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為，所以，則，而，所以，，故，，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，A正確；以線段為直徑的圓，圓心為，即，半徑為，顯然該圓與拋物線準(zhǔn)線相切，與y軸相交，B錯(cuò)誤；由，故C正確；由，即，故，所以，則，可得或，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，如圖知：，，所以直線的斜率為，根據(jù)對(duì)稱性易知：也滿足，D正確.故選：ACD11．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成θ（）角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓．若圓柱的底面圓半徑為2，，則（）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4B．橢圓的離心率為C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D．橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為【答案】BCD【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角，得，解得，A錯(cuò)誤；顯然，則，離心率，B正確；當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，D正確.故選：BCD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【詳解】由題意可知，，，由拋物線的定義可知，，∴，代入拋物線方程，得，不妨取點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，∴，故答案為：13．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.【答案】2【詳解】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為.故答案為：．14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.【答案】/【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為：由于點(diǎn)在雙曲線上，設(shè)點(diǎn)，，．．（2）在中，由正弦定理：，，，，由（1）可得：，.故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．已知雙曲線的方程是.(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的大小.【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)，，離心率，漸近線方程為；(2).【解析】(1)解：由得，所以，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)，，離心率，漸近線方程為.(2)解：由雙曲線的定義可知，∴，則.16．已知某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米.現(xiàn)有一貨船欲過(guò)此橋孔，該貨船水下寬度不超過(guò)18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米.若不考慮水下深度，問(wèn)：該貨船在現(xiàn)有狀況下能否直接或設(shè)法通過(guò)該橋孔？為什么？【答案】貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過(guò)該橋孔，理由見(jiàn)解析.【詳解】解：如圖所示，以拱頂為原點(diǎn)，過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.因?yàn)楣绊斁嗨?米，橋墩高出水面4米，所以A(10，).設(shè)橋孔上部拋物線方程是(p>0)，則102=，所以p=25，所以拋物線方程為x2=y，即y=x2.若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當(dāng)x=8時(shí)，y=×82=，即船體在x=±8之間通過(guò)，B(8，)，此時(shí)B點(diǎn)距水面6+()=4.72(米).而船體高為5米，所以無(wú)法通行.又因?yàn)?4.72=0.28(米)，0.28÷0.04=7，150×7=1050(噸)，所以若該貨船通過(guò)增加貨物通過(guò)橋孔，則要增加1050噸，而貨船最多還能裝1000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過(guò)該橋孔.17．已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.18．已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).19．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).①當(dāng)直線，的斜率之和為時(shí)(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線