一卷練透07+二項(xiàng)分布與超幾何分布（解析版）

一卷練透07二項(xiàng)分布與超幾何分布一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要1．已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布即P等于【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的公式計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布所以2．課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機(jī)變量ξ表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是【答案】【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)易知ξ服從超幾何分布，根據(jù)目標(biāo)式對應(yīng)概率的含義即可得答案.【詳解】由題意，隨機(jī)變量ξ表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，且服從超幾何分布，3．從裝有6個白球，2個紅球的密閉容器中逐個不放回地摸取小球.若每取出1個紅球得2分，每取出1個白球得1分.按照規(guī)則從容器中任意抽取2個球，所得分?jǐn)?shù)的期望為()【答案】A【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫出得分X的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得X各個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到其分布列，求出期望.【詳解】解：設(shè)得分為X，根據(jù)題意X可以取4，3，2.試卷第2頁，共14頁則則X分布列為：XX44 22PP11283737所以得分期望為所以得分期望為故選：A.4．已知X~B(n,p)，且3E(X)=10D(X)，則p=()【答案】【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望、方差公式及已知列方程求p即可.【詳解】由題設(shè)，E(X)=np,D(X)=np(1-p)，則3np=10np(1-p)，所以5．在3重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A發(fā)生的次數(shù)X的期望和方差分別為() 【分析】根據(jù)題意得到X~B(3,p)，結(jié)合題設(shè)條件求得p=，結(jié)合期望和方差的公式，即可求解. 【詳解】設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p∈(0,1)，則X~B(3,p)，因?yàn)槭录嗀至少發(fā)生一次的概率為，可得1-(1-p)3=，解得p=，試卷第3頁，共14頁故選：故選：D.6．A、B兩組各有3人獨(dú)立的破譯某密碼，A組每個人成功破譯出該密碼的概率為p1，B組每個人成功破譯出該密碼的概率為p2，記A、B兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為X,Y，若0<p1<p2<，則下列關(guān)系正A．E(X)>E(Y),D(X)<D(Y)B．E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)C．E(X)<E(Y),D(X)<D(Y)D．E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)【答案】C【分析】由題意分析X，Y均服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式直接求得.【詳解】由題意可知：X服從二項(xiàng)分布B(3,p1)，所以E(X)=3p1,D(X)=3p1(1-p1).同理：Y服從二項(xiàng)分布B(3,p2)，所以E(X)=3p2,D(X)=3p2(1-p2).，所以3p1<3p2，所以E(X)12對于二次函數(shù)y=3p(1-12對于二次函數(shù)y=3p(1-p)，對稱軸p=所以當(dāng)0<p1<p2<時，有3p1(1-p1)<3p2(1-p2)，即D(X)<D(Y).7．設(shè)隨機(jī)變量X~B(10,p)，且滿足D(X)=2.4，P(X=4)>P(X=6)，則p=()【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及概率公式列式求解即可.【詳解】依題意可知，D(X)=10p(1-p)=2.4，即p2-p+0.24=0，解得p=0.6或p=0.4，12又P(X=4)>P(X=6)，所以C0p4(1-p)6>C0p6(1-p)4，所以(1-p)2>p2，解得0<p128．已知ξ~B(n,p)，且E(3ξ+2)=9.2，D(3ξ+2)=12.96，則下633D．P【答案】【答案】D試卷第4頁，共14頁【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式建立方程求解即可判斷AB；利用根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式即可計(jì)算判斷CD．所以E(ξ)=2.4，D(ξ)=1.44，由ξ~B(n,p)，所以E(ξ)=np=2.4，D(ξ)=np(1-p)=1.44，所以n=6，p=0.4，故A正確；33，故C正確；令→P(ξ=k)P(ξ=k)因此P(ξ=2)是最大值，D錯誤．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布D．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布【答案】【答案】BC【分析】根據(jù)超幾何分布的定義以及概率公式，可得答案.【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布；故選：BC．試卷第5頁，共14頁10．一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機(jī)變量X為取出白球的個數(shù)，隨機(jī)變量Y為取出黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是()【答案】【答案】BD【分析】由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個球，所以X+Y=4，可判斷B選項(xiàng)；X的取值為項(xiàng)；Z的取值為4,5，6,7,8，且P(Z=i)=P(X=i-4)，計(jì)算E(Z)可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：由條件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4個球，所以X+Y=4，故B正確；可知A錯；則所以E，故C錯；所以故D正確；故選：BD.11．為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式1）逐份檢測2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為k+1次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽性的概率都為p(0<p<1)，若k=10，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式參考數(shù)據(jù)：lg0.794≈-0.1）()試卷第6頁，共14頁【答案】【答案】CD【分析】計(jì)算混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)Y的期望E(Y)，又逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)X，知E(X)=10，利用E(Y)<E(X)求解可得p的范圍，即可得出選項(xiàng).【詳解】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)Y可能取值為1,11P(Y=1)=(1-p)10，P(Y=11)=1-(1-p)10故Y的分布列為：Y11PP(1(1-p)101-(1-p)10::E(Y)=1×(1-p)10+11×1-(1-p)10l」=11-10×(1-p)10設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)X，則E(X)=10要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需E(Y)<E(X)又lg0.794≈-0.1，:1-p>10lg0.794=0.794，:p<1-0.794=0.206:0<p<0.206三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．?dāng)?shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是【答案】【答案】13．已知甲每次投擲飛鏢中靶的概率為0.6，若甲連續(xù)投擲飛鏢n次，要使飛鏢最少中靶一次的概率超過90%，試卷第7頁，共14頁至少需要投擲飛鏢次.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）【答案】【答案】3【分析】設(shè)投擲飛鏢n次中靶X次，則X~B(n,3)且P(X≥1)>90%，利用二項(xiàng)分布概率公式及【詳解】若投擲飛鏢n次中靶X次，則且P>90%，所以至少需要投擲飛鏢3次.故答案為：3514．產(chǎn)品抽樣檢查中經(jīng)常遇到一類實(shí)際問題，假定在N件產(chǎn)品中有M件不合格品，在產(chǎn)品中隨機(jī)抽n件做檢查，發(fā)現(xiàn)k件不合格品的概率為其中s是M與n中的較小者，t在n不大于合格品數(shù)（即n≤N-M）時取0，否則t取n與合格品數(shù)之差，即t=n-(N-M).根據(jù)以上定義及分布列性質(zhì)，請計(jì)算當(dāng)N=16，M=8時，CC+CC+CC+CC+CC=；若N=2n，M=n，請計(jì) /C1利用組合數(shù)的性質(zhì)可求出CC+CC+CC+…+C試卷第8頁，共14頁32C1C32C故答案為：C6，C1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該試題考查組合數(shù)的應(yīng)用，解題的然后根據(jù)此公式求解，考查拓展思維和探索思維，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．大小、質(zhì)量相同的7個球，其中有5個黑球，2個白球.(1)若從袋中有放回的抽取3次，每次取1球，設(shè)3個球中黑球的個數(shù)為ξ,求ξ的分布列、期望及方差；(2)若從袋中無放回的抽取3次，每次取1球，設(shè)3個球中黑球的個數(shù)為X，求X的分布列與期望；【答案】(1)分布列見解析(2)分布列見解析【分析】（1）由已知可得.寫出二項(xiàng)分布的分布列，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式，即可得出答案；（2）由已知可得X服從超幾何分布，計(jì)算出X=1,2,3時的概率，即可列出分布列，然后根據(jù)期望公式，即可得出答案.57由已知可得，從袋中有放回的抽取3次，每次取1球，為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次取到黑球的概率p=57ξξ00112233試卷第9頁，共14頁P(yáng)P88（2）由已知可得，X可取1，2，3，則X服從超幾何分布，所以X的分布列為XX 233PP17174747272716．下表為某班學(xué)生理科綜合能力測試成績（百分制）的頻率分布表，已知在[80,90)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為21.`分?jǐn)?shù)段[80,85)[90,95)頻率0.10.150.20.20.150.1*(1)求測試成績在[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；(2)現(xiàn)欲從[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；(3)若在[65,70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生為4人，現(xiàn)欲從[65,70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出3人參加培優(yōu)小組，ξ為分配到此組的3名學(xué)生中男生的人數(shù)．求ξ的分布列及期望Eξ【答案】【答案】(1)6(2)2【分析】（1）利用在[80,90)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為21人求出高二年級某班學(xué)生總數(shù)，再利用頻率和為1求出*，兩數(shù)相乘可得答案；（2）設(shè)男生有x人，根據(jù)抽出2人這2人都是男生的概率為解得x可得答案；（3）求出在[65,70)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)及男生人數(shù)，可得ξ的取值及對應(yīng)的概率，可得分布列和期望.所以測試成績在[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為60×0.1=6人.（2）由（1）知在[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有6人，設(shè)男生有x人，35若抽出235則解得x=2，所以在[95,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生有2人.X的取值有0,1,2，X的分布列為ξξ2PP15152525151517．甲、乙去某公司應(yīng)聘面試．該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從7道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選．已知7道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，3道題不能完成；應(yīng)聘4者乙每題正確完成的概率都是7，且每題正確完成與否互不影響．4(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請從均值和方差的角度分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？【答案】【答案】(1)答案見解析；(2)(2)甲通過面試的概率較大．【分析】（1）根據(jù)題意得X服從超幾何分布，Y服從二項(xiàng)分布，分別求解概率及分布列即可.（2）由（1）分別求出期望和方差比較即可.【詳解】（1）設(shè)X為甲正確完成面試題的數(shù)量，Y為乙正確完成面試題的數(shù)量，由題意可得X的可能取值為：0,1,2,3，所以X的分布列為30X230X13535413535435P35由題意隨機(jī)變量由題意隨機(jī)變量Y的可能值為0,1,2,3，可得2所以Y的分布列為：30Y230Y27343343642734334364343P343所以甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲通過面試的概率較大．18．貴妃芒，又名紅金龍，是產(chǎn)于海南的一種芒果.該芒果按照等級可分為四類：A等級、B等級、C等級和D等級.某采購商打算訂購一批該芒果銷往省外，并從采購的這批芒果中隨機(jī)抽取100箱，利用芒果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表（將樣本頻率作為概率等級ABCD箱數(shù)403020(1)從這100箱芒果中有放回地隨機(jī)抽取4箱，記這4箱中A等級的箱數(shù)為ξ,求概率P(ξ=2)以及ξ的方差；(2)利用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種方案供采購商參考.方案一：不分等級出售，價格為30元/箱；方案二：分等級出售，芒果價格如下表，從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？等級ABCD價格/（元/箱）383226(3)用分層抽樣的方法從這100箱芒果中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，用X表示抽取的B等級的箱數(shù)，請寫出X的分布列.(2)(2)應(yīng)該采用方案一(3)分布列見解析【分析】（1）由題意ξ滿足二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公