2025年高中數(shù)學(xué)初高銜接-第01講：數(shù)與式（教師版）-初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）

第01講：數(shù)與式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、乘法公式【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：【公式3】完全立方公式：【公式4】（完全平方公式）【公式5】(立方和公式)【公式6】(立方差公式)考點(diǎn)二、指數(shù)式當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，⑴零指數(shù)，⑵負(fù)指數(shù).⑶分?jǐn)?shù)指數(shù)為正整數(shù)).冪運(yùn)算法則：.=4\*GB2⑷考點(diǎn)三、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2)(3) (4)如果有，那么叫做的次方根，其中為大于的整數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.四、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì)．【專(zhuān)題突破】一、單選題1．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知等式，則下列變形一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?dāng)或時(shí)，無(wú)意義，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，等式的兩邊同時(shí)減去，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，該等式仍然成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?dāng)或時(shí)，無(wú)意義，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，?dāng)或時(shí)，無(wú)意義，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B2．（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，，則代數(shù)式的值為（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】化簡(jiǎn)所求式子，結(jié)合已知條件求得正確答案.【詳解】.故選：B3．（2022秋·安徽黃山·高一屯溪一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）若（x、y是實(shí)數(shù)），則M的值是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù)C．零 D．以上皆有可能【答案】A【分析】整理得，再分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，若，該方程組無(wú)解，即不同時(shí)成立，所以.故選：A.4．（2022秋·廣西玉林·高一?？计谥校╆P(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為，則（

）A．2 B．8 C．10 D．2或10【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求解.【詳解】設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，故，解得或．當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；綜上，．故選：A．5．（2022秋·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】結(jié)合二次根號(hào)下的式子非負(fù)得到的范圍，進(jìn)而化簡(jiǎn)式子，求出，再代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，所以.故選：D.6．（2020秋·安徽蚌埠·高一蚌埠二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）楊輝三角是二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的一種幾何排列.它最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中.利用楊輝三角，我們很容易知道.設(shè)，則系數(shù)（

）A．54 B．-54 C．36 D．-36【答案】B【分析】利用楊輝三角及已知等式，計(jì)算求解即得.【詳解】，則.故選:B.7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，并且，則直線一定通過(guò)（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】B【分析】依題意可得，即可得到或，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)?，所以①，②，③，三式相加得．有或．?dāng)時(shí)，．則直線通過(guò)第一、二、三象限．當(dāng)時(shí)，不妨取，于是，，，直線通過(guò)第二、三、四象限．綜合上述兩種情況，直線一定通過(guò)第二、三象限．故選：B．8．（2022秋·河南鄭州·高一鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)異分母分式加減，分別計(jì)算出、的值，就不難判斷它們的大?。驹斀狻拷猓海?，；同理，．故選：C．9．（2022秋·四川成都·高一四川省成都市第八中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）若?都是非零實(shí)數(shù)，且?，那么?的所有可能的值為（

）A．?或? B．?或? C．?或? D．?【答案】D【分析】由題意可知?為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正，然后分別討論可得到答案【詳解】解：由已知可得：?為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正，①當(dāng)?為兩正一負(fù)時(shí)，?；②當(dāng)?為兩負(fù)一正時(shí)，?，?，所以所有可能的值為0，故選：D10．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？紡?qiáng)基計(jì)劃）依次將正整數(shù)1，2，3，…的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1，排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6，排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4，排在第898個(gè)位置的數(shù)字是（

）A．1 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】先分別找到占1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)數(shù)位的平方數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得出第898個(gè)位置的數(shù)字是的個(gè)位數(shù)字，求解即可．【詳解】到，結(jié)果都各占1個(gè)數(shù)位，共占1×3＝3個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占2個(gè)數(shù)位，共占2×6＝12個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占3個(gè)數(shù)位，共占3×22＝66個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占4個(gè)數(shù)位，共占4×68＝272個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都各占5個(gè)數(shù)位，共占5×109＝545個(gè)數(shù)位；此時(shí)3＋12＋66＋272＋545＝898，而，所以，排在第898個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個(gè)位數(shù)字，即為4．故選：B．11．（2021秋·浙江·高一階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱(chēng)之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

…

…

請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫(xiě)出展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．－2021 B．2021 C．4042 D．－4042【答案】D【分析】先觀察規(guī)律，再按照規(guī)律寫(xiě)出第一項(xiàng)、第二項(xiàng)，其中第二項(xiàng)含，寫(xiě)出系數(shù)即可.【詳解】根據(jù)規(guī)律可以發(fā)現(xiàn):第一項(xiàng)的系數(shù)為1，第二項(xiàng)最前面的常數(shù)為2021，則第二項(xiàng)為：.故選：D.12．（2022秋·江西撫州·高一南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）①已知，，則；②若，則化簡(jiǎn)③如果定義，當(dāng)，．時(shí)，則的值為；A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)的正負(fù)，結(jié)合絕對(duì)值的定義化簡(jiǎn)判斷①，由條件確定的范圍，分別在條件，時(shí)化簡(jiǎn)，判斷②，由條件，．分析的大小，結(jié)合定義求，由此判斷③，【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，所以，①?duì)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以②錯(cuò)，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，③?duì)，故選：B.13．（2022·江蘇·高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)自處向上運(yùn)動(dòng)個(gè)單位至，然后向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位至處，再向下運(yùn)動(dòng)個(gè)單位至處，再向右運(yùn)動(dòng)個(gè)單位至處，再向上運(yùn)動(dòng)個(gè)單位至處，，如此繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去．則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題目觀察規(guī)律，得到落在第四象限，再觀察第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)平面坐標(biāo)系結(jié)合各點(diǎn)橫坐標(biāo)得出：第一象限：、、、第二象限：、、、第三象限：、、第四象限：、、、，在第四象限觀察規(guī)律知第四象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)為，即，的坐標(biāo)為，故選:C．14．（2022秋·福建泉州·高一泉州五中校考開(kāi)學(xué)考試）觀察規(guī)律，，，，運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下問(wèn)題：如圖，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交的圖像于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解析式求得，，，，，進(jìn)而求得線段，，，將所求結(jié)果代入算式，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得．【詳解】解：在上，在直線上，，，；同理：，，；，，；，．．故選：D．二、填空題15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a、b是方程的兩個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】首先根據(jù)已知條件得，，，然后將原式化簡(jiǎn)整理成，最后代入數(shù)值即可求解.【詳解】已知、是方程的兩個(gè)根，則有，，根據(jù)韋達(dá)定理有，..故答案為：16．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則______．【答案】2【分析】利用題意列出的等式，即可求解【詳解】由可得，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得，所以，故答案為：217．（2022秋·江西撫州·高一南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示1和5兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______．（2）數(shù)軸上表示x和兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____．若x表示一個(gè)有理數(shù)，且，則__________．（3）利用數(shù)軸求出的最小值為_(kāi)_________，并寫(xiě)出此時(shí)x可取哪些整數(shù)值______．【答案】4367【分析】（1）由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的定義即可求解.（2）由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的定義即可求解.（3）由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的定義即可求解.【詳解】（1）數(shù)軸上表示1和5兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示2和的兩點(diǎn)之間的距離為.故答案為：4；3.（2）數(shù)軸上表示x和兩點(diǎn)之間的距離為；因?yàn)?，由?shù)軸上兩點(diǎn)距離的定義，則.故答案為：；6.（3）當(dāng)時(shí)，，且為最小值；此時(shí)整數(shù).故答案為：7；.18．（2022秋·上?！じ咭黄谥校┰O(shè)，則用含的最簡(jiǎn)分式形式表示代數(shù)式的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】已知式取倒數(shù)后求得，待求式變形為關(guān)于的式子，代入后化簡(jiǎn)可得．【詳解】由得，所以．所以．故答案為：．19．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？紡?qiáng)基計(jì)劃）若有四個(gè)不同的正整數(shù)a,b,c,d,滿足,則___________．【答案】8087或8089【分析】根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù),可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù),∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3．四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,-1,-2,3時(shí),不妨令∴,∴；四個(gè)括號(hào)內(nèi)的值分別是：1,-1,2,-3時(shí),不妨令,∴,∴.故答案為：8087或8089．20．（2021春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知，則代數(shù)式的值為_(kāi)_________.【答案】【分析】由變形可得出，代數(shù)式變形，整體代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，則，可得，所以，，即，所以，，所以，.故答案為：.21．（2022·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)自然數(shù)，且，則________．【答案】16【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，即，即，所以，即，所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解，所以，其中，解得，所以，又，因?yàn)?、為自然?shù)且，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：三、解答題22．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)(1)若，且的正數(shù)解為，求，的值；(2)若當(dāng)時(shí)，y的最小值為8，求實(shí)數(shù)a的所有值．【答案】(1)，；(2)–1和.【分析】（1）根據(jù)完全平方和公式、立方和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)基本不等式，結(jié)合換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.（1）若，又的正數(shù)解為，故，又，又，故，∴；（2），因?yàn)?，令，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，則，若，則在時(shí)，，解得，（舍）；若，則在時(shí)，，解得，（舍）；綜上，a的所有值為–1和．23．（2022·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的一個(gè)根，求：(1)的值；(2)代數(shù)式的值．【答案】(1)-5；(2)2019.【分析】（1）根據(jù)是方程的一個(gè)根，得到，對(duì)代數(shù)式變形后，整體代入求出答案；（2）由題意得到，，將代數(shù)式變形，整體代入求出答案.【詳解】（1）因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，即，故；（2）由得：，，結(jié)合，可得：.24．（2022秋·海南三亞·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知．(1)化簡(jiǎn)；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為，且它的面積為9，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可，（2）先求出，再代入化簡(jiǎn)后的式子中可求得答案.（1）（2）因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，且它的面積為9，所以，得，所以25．（2022秋·安徽黃山·高一屯溪一中校考開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn)【答案】【分析】根據(jù)已知，因式分解可得，然后拆開(kāi)，根據(jù)分母有理化即可得出，整理即可得出答案.【詳解】原式.26．（2022秋·安徽淮南·高一淮南第二中學(xué)校考強(qiáng)基計(jì)劃）劉在《文心雕龍》中說(shuō)：“造化賦形，支體必雙：神理為用，事不孤立.夫心生文辭，運(yùn)裁還慮高下相須，自然成對(duì).”在數(shù)學(xué)上也經(jīng)常利用對(duì)仗（對(duì)偶）思想解決有關(guān)問(wèn)題，比如的對(duì)偶式是，可以用來(lái)無(wú)理式的有理化.請(qǐng)利用上述材料解決以下問(wèn)題：(1)已知，比較a、b、c的大小關(guān)系；(2)求不超過(guò)的最大整數(shù).【答案】(1)(2)3903【分析】（1）根據(jù)題意將三個(gè)數(shù)化為分?jǐn)?shù)形式，比較分母大小，即得答案；（2）設(shè)，可得，從而計(jì)算的值，結(jié)合的范圍，可確定的范圍，即得答案.【詳解】（1）由題意可得，，，因?yàn)椋?/p>