高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）湖南省張家界市2023-2024學(xué)年

湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題1．樣本數(shù)據(jù)1,3,5,1,9,5,6,11,8的中位數(shù)是（）A．5 B．5.5 C．6 D．72．已知集合A=xlog31?x<1A．?1,1 B．?2,+∞ C．?1,2 D．3．已知圓柱的軸截面為正方形，表面積為6π，則其體積為（）A．2π B．3π2 C．3π D．4．已知函數(shù)fx=logax,x≥1A．2≤a≤3 B．2≤a≤4 C．1<a≤4 D．a(chǎn)≥25．在△ABC中，DC=3BD，P為線段AD的中點(diǎn)，若BP=λA．6 B．8 C．10 D．126．已知在△ABC中，AB=2，BC=3，且△ABC的面積為?315cosB，則A．2 B．23 C．15 D．7．已知a=1323+2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a8．若當(dāng)x∈0,2π時(shí)，函數(shù)y=sinx2與y=2sinA．98,138 B．98,9．已知復(fù)數(shù)z滿足ziA．z=3+3iB．zC．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn)．z210．已知函數(shù)fxA．fxB．fx在區(qū)間0,C．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)πD．若將fx的圖象向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到gx11．已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，D是棱AB的中點(diǎn)，AB=AA1=2，A1D=5，A1A．AA1B．AC．該三棱柱的外接球的體積為32πD．三棱錐D?EFH的體積恒為312．已知非零向量a=x,?x，b=3,x，若a13．袋子中裝有6個(gè)質(zhì)地?大小均相同的球，其中有3個(gè)紅球?2個(gè)綠球和1個(gè)藍(lán)球，若從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，則取出的2個(gè)球顏色不同的概率為.14．記mina,b,c為a，b，c中最小的數(shù).已知0<x<y<z<1，且y≤2x，則miny?x,z?y,1?z的最大值為15．甲?乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，每人要射擊十次，他們前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)如下表所示：甲擊中的環(huán)數(shù)9710810891010乙擊中的環(huán)數(shù)101089996109（1）求甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)x和方差s2（2）用甲?乙前九次射擊擊中環(huán)數(shù)的頻率分布估計(jì)各自第十次射擊擊中環(huán)數(shù)的概率分布，且甲?乙每次射擊相互獨(dú)立，求甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.16．已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足（1）證明：an（2）記bn=2an,n為奇數(shù)an17．如圖，在三棱錐P?ABC中，△PAC和△ABC均為等腰直角三角形，AC=BC,PA=PC,M為棱AB的中點(diǎn)，且PM=PA．（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M?PC?A的正弦值．18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求C的方程；（2）若M，N為C上與點(diǎn)A，B均不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線MA，NB的斜率分別為k和?2k.（i）若OM//NB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷直線MA和NB的位置關(guān)系；（ii）證明：直線MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn).19．已知函數(shù)fx（1）若a=2，求曲線y=fx在點(diǎn)0,0（2）若fx的極大值為f?1，求（3）若a≥1，證明：當(dāng)x>0時(shí)，fx

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：將1,3,5,1,9,5,6,11,8從小到大排列為：1,1,3,5,5,6,8,9,11，

則這9個(gè)數(shù)的中位數(shù)為5.故答案為：A.【分析】利用已知條件和中位數(shù)的定義，從而得出樣本數(shù)據(jù)1,3,5,1,9,5,6,11,8的中位數(shù).2．【答案】D【解析】【解答】解：由不等式log3得1?x>01?x<3，解得?2<x<1所以A=?2,1又因?yàn)锽=?1,2所以A∪B=?2,2故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件和對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，從而得出集合A，再結(jié)合并集的運(yùn)算法則，從而得出集合A∪B.3．【答案】A【解析】【解答】解：由已知條件，可設(shè)圓柱底面半徑為r，由圓柱的軸截面為正方形，可知圓柱的高?=2r，所以圓柱的表面積S=2S所以r=1，則圓柱的體積為V=S故答案為：A.【分析】根據(jù)已知條件和圓柱的表面積公式，從而得出圓柱底面的半徑長(zhǎng)，再結(jié)合圓柱的體積公式，從而得出圓柱的體積.4．【答案】B【解析】【解答】解：“fx在R上單調(diào)遞增”當(dāng)且僅當(dāng)a>1a2≥1?所以“fx在R上單調(diào)遞增”的充要條件是2≤a≤4故答案為：B.【分析】由題意結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性，從而列出關(guān)于a的不等式組，進(jìn)而解不等式組得出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再利用充要條件判斷方法，從而找出正確的選項(xiàng).5．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)镈C=3BD則BD=又因?yàn)镻為線段AD的中點(diǎn)，所以BP=所以BP=則λ=12，所以1λ故答案為：C.

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量共線定理，從而可得λ,μ的值，進(jìn)而可得1λ6．【答案】D【解析】【解答】解：由△ABC的面積為S=1則sinB又因?yàn)閟in2B+cos所以sinB=154由余弦定理可得AC則AC=4.故答案為：D.【分析】根據(jù)三角形面積公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角形中角B的取值范圍，從而可得角B的三角函數(shù)值，再利用余弦定理得出AC的長(zhǎng).7．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閏=3又因?yàn)?323所以a=1又因?yàn)閏=3所以b>c>a.故答案為：B.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出a，b，c的大小.8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示，畫(huà)出y=sinx2在x∈0,2π和y=2sin因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx2與則將y=2sinωx?π4則滿足13π4ω≤2π<17π4ω，故答案為：C．【分析】先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再找出有4，5個(gè)交點(diǎn)臨界狀態(tài)的解，從而得出實(shí)數(shù)ω的取值范圍.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由i7=?i，得設(shè)z=a+bi，則z=a?bi所以?zi+2z所以2a+b=3?a?2b=3，解得a=3則z=3?3i，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閦=又因?yàn)閺?fù)數(shù)z=3?3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為3,?3，在第四象限，故C正確；因?yàn)閦2故答案為：BCD.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念可得復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)求模公式、復(fù)數(shù)的幾何意義和純虛數(shù)的定義，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).10．【答案】A,D【解析】【解答】解：因?yàn)閒==sin則函數(shù)ymax=12?因?yàn)閤∈0,π6,2x∈0,π3將x=π6代入解析式得，y=0≠ymax+將fx的圖象向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到則gx=g(?x)，

則故答案為：AD.

【分析】將函數(shù)通過(guò)恒等變換化為f(x)=111．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如圖所示，由三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，則AD=1，因?yàn)锳1D=5∴AA1⊥AB又因?yàn)锳B∩AC=A，且AB，AC?平面ABC，∴AA1⊥因?yàn)镃D?平面ABC，所以AA由正三角形可知CD⊥AB，AB∩AA1=A，AB，A則CD⊥平面AA又因?yàn)锳1D?平面所以CD⊥A所以該三棱柱為正三棱柱，

則其外接球球心O為O1又因?yàn)镺1O2=2，則所以R=OC=O則該三棱柱的外接球體積為V=4又因?yàn)檎庵芍狢C1//平面AA1B1所以H到平面DEF的距離?=CD=32AB=所以三棱錐體積VH?DEF故答案為：ABD.

【分析】由勾股定理可證該三棱柱為正三棱柱，則判斷出選項(xiàng)A；根據(jù)勾股定理判斷出選項(xiàng)B；根據(jù)三棱柱外接球的定義可得外接球半徑與體積，則判斷出選項(xiàng)C；根據(jù)錐體的體積公式可判斷選項(xiàng)D，從而找出正確的選項(xiàng).12．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)閍=x,?x，則a?又因?yàn)閍?所以a?又因?yàn)閍≠0，

則x≠0，所以故答案為：1.【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，從而解方程得出x的值.13．【答案】11【解析】【解答】解：設(shè)3個(gè)紅球分別為：?1,?2,則從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，樣本空間為：?1?2事件“取出的2個(gè)球顏色不同”包含的基本事件有：?1則所求概率為：P=11故答案為：1115【分析】先根據(jù)題意寫(xiě)出基本事件，再結(jié)合古典概率公式得出取出的2個(gè)球顏色不同的概率.14．【答案】1【解析】【解答】解：設(shè)t=min{y-x，z-y，1-z}，則t≤y-x，

所以2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1，所以t≤14取z=34,y=12,x=14所以tmax故答案為：14【分析】假設(shè)最小值為t，從而得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加得出t≤14，再判斷得出t的最大值，從而得出min15．【答案】（1）解：因?yàn)閤=所以s2（2）解：由已知估計(jì)得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為7，8，9，10，

且概率分別為19，29，29乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為6，8，9，10，且概率分別為19，19，49又因?yàn)榧浊熬糯螕糁锌偔h(huán)數(shù)為9+7+10+8+10+8+9+10+10=81環(huán)，

乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為10+10+8+9+9+9+6+10+9=80環(huán)，所以，若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少1環(huán)，所以，概率P=1【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和平均數(shù)公式、方差的公式，從而得出甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)x和方差s2（2）根據(jù)頻率可分別估計(jì)甲、乙兩人第十次擊中環(huán)數(shù)，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.（1）由已知x=s2（2）由已知估計(jì)得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為7，8，9，10，且概率分別為19，29，29乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為6，8，9，10，且概率分別為19，19，49又甲前九次擊中總環(huán)數(shù)為9+7+10+8+10+8+9+10+10=81環(huán)，乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為10+10+8+9+9+9+6+10+9=80環(huán)，所以若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少1環(huán)，概率P=116．【答案】（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，2S1=2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1=an?1則an2?2a又因?yàn)閿?shù)列an所以an≥1，

故則an所以，數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1（2）解：由（1）得an所以bn則T===1【解析】【分析】（1）根據(jù)退一相減法結(jié)合等差數(shù)列定義，從而證出數(shù)列an（2）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，再結(jié)合分組求和法得出數(shù)列bn的前2n（1）當(dāng)n=1時(shí)，2S1=2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1=即an2又?jǐn)?shù)列an所以an≥1，故即an所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1（2）由（1）得an所以bn則T===117．【答案】（1）證明：設(shè)AC=2，

因?yàn)椤鱌AC和△ABC均為等腰直角三角形，且AC=BC,PA=PC，可得PA=PC=2如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，連接MD,PD，

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，

所以MD//BC，且MD=1又因?yàn)锳C⊥BC，所以MD⊥AC，因?yàn)椤鱌AC為等腰直角三角形，PA=PC，

所以PD=12AC=1所以∠PDM是二面角P?AC?B的平面角，因?yàn)镻M=PA=2，

所以PD2+DM所以平面PAC⊥平面ABC.（2）解：由（1）知PD,AC,DM兩兩垂直，

故以D為原點(diǎn)，以DA,DM,DP所在的直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AC=2，則C(?1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,0)，

所以CP=(1,0,1),設(shè)平面PCM的法向量為n=(x,y,z)，

則n取x=?1，可得y=1,z=1，所以n=(?1,1,1)由平面PAC的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，

可得cos設(shè)二面角M?PC?A的平面角的大小為θ，則cosθ=所以sinθ=1?cos2θ=6???????【解析】【分析】（1）設(shè)AC=2，取AC的中點(diǎn)D，先證出MD⊥BC，再由PD⊥AC得到∠PDM是二面角P?AC?B的平面角，再結(jié)合PD2+DM2（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而分別得出平面PCM和平面PAC的一個(gè)法向量n=(?1,1,1)和m=(0,1,0)，再結(jié)合數(shù)量積求向量的夾角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而得出二面角（1）證明：設(shè)AC=2，因?yàn)椤鱌AC和△ABC均為等腰直角三角形，且AC=BC,PA=PC，可得PA=PC=2如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，連接MD,PD，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MD//BC，且MD=1又因?yàn)锳C⊥BC，所以MD⊥AC，因?yàn)椤鱌AC為等腰直角三角形，PA=PC，所以PD=12AC=1所以∠PDM是二面角P?AC?B的平面角，又由PM=PA=2，所以PD2所以平面PAC⊥平面ABC.（2）解：由（1）知PD,AC,DM兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，以DA,DM,DP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AC=2，則C(?1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,0)，所以CP=(1,0,1),設(shè)平面PCM的法向量為n=(x,y,z)，則n取x=?1，可得y=1,z=1，所以n=(?1,1,1)又由平面PAC的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，可得cos設(shè)二面角M?PC?A的平面角的大小為θ，即cosθ=所以sinθ=1?cos2θ18．【答案】（1）解：由已知條件，設(shè)橢圓方程為x2因?yàn)闄E圓離心率為e=ca=所以橢圓方程為x2又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)3,所以34b2+14b所以橢圓方程為x2（2）（i）解：設(shè)Mx1,y因?yàn)锳?2,0，k又因?yàn)镺M//NB，

所以kOM則y1解得x1=?23，所以kMA=k=y所以kMA則直線MA和NB垂直.（ii）證明：由橢圓的對(duì)稱性可知當(dāng)MN//x時(shí)，kMA所以直線MN與x軸不平行，

設(shè)MN:x=ty+m，且Mx1,聯(lián)立直線MN與橢圓x2得t2+4y2+2tmy+則y1+y因?yàn)閗NB=?2kMA，則3ty則3tm化簡(jiǎn)可得m?6t則m=6或y1當(dāng)y1=?tm+2t2+4又因?yàn)橹本€MN不過(guò)A,B點(diǎn)，

所以m≠±2，

所以t2綜上所述，m=6，直線方程為x=ty+6.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率可得a=2b，再代入點(diǎn)3,（2）（i）設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，可得y1x1=?2k=?2y（1）由已知設(shè)橢圓方程為x2又橢圓離心率為e=ca=所以橢圓方程為x2又橢圓過(guò)點(diǎn)3,所以34b2+1所以橢圓方程為x2（2）（i）設(shè)Mx1,又A?2,0，k因?yàn)镺M//NB，所以kOM即y1解得x1=?2即kMA=k=y所以kMA即直線MA和NB垂直；（ii）由橢圓的對(duì)稱性可知當(dāng)MN//x時(shí)，kMA所以直線MN與x軸不平行，設(shè)MN:x=ty+m，且Mx1,聯(lián)立直線MN與橢圓x2得t2+4y則y1+y又kNB=?2k即3ty即3tm化簡(jiǎn)可得m?6t則m=6或y1又當(dāng)y1=?tm+2t又因?yàn)橹本€MN不過(guò)A,B點(diǎn)，所以m≠±2，所以t2綜上所述，m=6，直線方程為x=ty+6，所以恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)6,0.19．【答案】（1）解：因?yàn)閒當(dāng)a=2時(shí)，f'所以，曲線y=fx在點(diǎn)0,0處的切線斜率為0，

???????則切線方程是y=0（2）解：若a≤0，

則對(duì)x∈?∞,?1，有f'x=x+1則fx在?∞,?1上單調(diào)遞增，在?1,+∞上單調(diào)遞減，

故若0<a<2e，

則對(duì)x∈?∞,?1∪ln2a,+