數(shù)字信號處理實踐與應(yīng)用-MATLAB話數(shù)字信號處理（第2版） 課件 案例二十九 - IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

案例二十九——IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟原理初探不同結(jié)構(gòu)實際系統(tǒng)測試思考題總結(jié)報告要求案例設(shè)置目的通過實驗直觀理解各種結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的時間效率；理解IIR濾波器各種結(jié)構(gòu)的特點及實現(xiàn)方法；掌握用MATLAB實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器各種結(jié)構(gòu)的方法及各種結(jié)構(gòu)濾波器的使用。相關(guān)基礎(chǔ)理論數(shù)字濾波器作為一個重要的數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)或功能模塊，從設(shè)計到應(yīng)用一般都要經(jīng)過這樣的過程：（1）設(shè)計IIR或FIR濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)（多項式系數(shù)矩陣b和a表示或零極點矩陣z、p、k表示）或單位脈沖響應(yīng)h(n)；（2）選擇合適的濾波器結(jié)構(gòu)，用硬件或軟件實現(xiàn)所設(shè)計的濾波器；（3）讓數(shù)據(jù)通過濾波器，或?qū)V波處理施加于數(shù)據(jù)x。在MATLAB環(huán)境下，有些設(shè)計工具能直接生成滿足性能指標(biāo)的指定結(jié)構(gòu)的濾波器，如FDATool。從時域看，數(shù)字濾波器對信號的處理通?？梢杂靡韵聝煞N形式表示：（29.1）（29.2）相關(guān)基礎(chǔ)理論式（29.1）將n時刻的輸出表示成了系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)與輸入x(n)的卷積，卷積運算本身就是濾波器實現(xiàn)的一種方式，僅涉及加法、乘法和延遲等簡單運算。式（29.2）將n時刻的輸出表示為有限項的乘加運算。濾波器結(jié)構(gòu)對于濾波器的實現(xiàn)而言至關(guān)重要，它直接決定著資源占用的多少、實現(xiàn)誤差的大小、處理的實時性等。觀察式（29.1）和（29.2）可知，數(shù)字濾波器的實現(xiàn)需要乘法器、加法器和存儲器等資源，結(jié)構(gòu)不同資源的消耗也不一樣，比如對于IIR濾波器而言，直接Ⅱ型用的延時單元最少；對于FIR濾波器而言，線性相位結(jié)構(gòu)使用的乘法器可以減半。量化是一非線性過程，不同的濾波器結(jié)構(gòu)量化的對象不同，量化誤差的積累方式也不同，比如級聯(lián)型結(jié)構(gòu)就對舍入誤差較為敏感。串行結(jié)構(gòu)中處理是順次進(jìn)行的，處理工作不便同時展開，而并行結(jié)構(gòu)可以充分利用CPU的并行處理能力，實現(xiàn)實時性大為提高，因此在速度要求高的場合，往往不選擇遞歸結(jié)構(gòu)的IIR濾波器，而是要選擇非遞歸結(jié)構(gòu)的FIR濾波器。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．直接I型（Direct-formI）設(shè)式（29.2）描述的為LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，對差分方程兩端進(jìn)行雙邊Z變換并整理可得（29.3）其中由式（29.2）可知，系統(tǒng)在n時刻的輸出y(n)是由當(dāng)前時刻的輸入、所有前M時刻輸入以及所有前N時刻的輸出共同決定的，它們各自對輸出y(n)的貢獻(xiàn)分別由系數(shù)矩陣b和a共同決定。將差分方程描述的輸入與輸出的關(guān)系直接用信號流圖表示，即可以得到如圖29.1所示的形式，該濾波器結(jié)構(gòu)又稱為直接I型。相關(guān)基礎(chǔ)理論圖29.1所示的信號流圖中左半部分（左側(cè)虛框內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)）對應(yīng)的子系統(tǒng)函數(shù)為H1(z)，因此該部分又稱為零點網(wǎng)絡(luò)，由信號流圖中的前向支路構(gòu)成。相應(yīng)地，圖29.1所示的信號流圖中右半部分對應(yīng)的子系統(tǒng)函數(shù)為H2(z)，稱為極點網(wǎng)絡(luò)，由信號流圖中的反饋支路構(gòu)成。濾波器實現(xiàn)時，量化器量化的對象是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的多項式系數(shù)矩陣b和a。相關(guān)基礎(chǔ)理論2．直接II型（Direct-formII）將式（29.3）改寫為（29.4）即在用信號流圖表示系統(tǒng)函數(shù)時，要將H2(z)描述的極點網(wǎng)絡(luò)置于H1(z)描述的零點網(wǎng)絡(luò)左側(cè)，如此得到濾波器的直接II型結(jié)構(gòu)，如圖29.2所示。圖29.2（a）和圖29.2（b）完全等價，后者是前者等值節(jié)點合并的結(jié)果，合并后使得延遲單元的使用個數(shù)減少，當(dāng)M與N接近時，延遲單元可以節(jié)省近1/2。相關(guān)基礎(chǔ)理論根據(jù)信號流圖轉(zhuǎn)置定理（將信號流圖中所有支路倒向，增益不變；然后調(diào)換輸入、輸出符號，則系統(tǒng)函數(shù)不變），直接I型和直接II型都可以得到相應(yīng)的轉(zhuǎn)置型，分別為Direct-formITransposed和Direct-formIITransposed，這里不再畫出這兩種結(jié)構(gòu)圖。相關(guān)基礎(chǔ)理論3．級聯(lián)型（CascadedForm）將式（29.3）中的系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母都分解成z

1的一次因式，可得到：（29.5）由式（29.5）易知系統(tǒng)函數(shù)的所有零點zk和所有極點pk的值，若直接對zk和pk進(jìn)行量化，能及早發(fā)現(xiàn)因量化致使極點移動到Z平面單位圓的情況，以便及時進(jìn)行調(diào)整。為了避免存儲復(fù)數(shù)系數(shù)造成的存儲空間消耗，將式（29.5）中以共軛成對的零點（極點）為根的一次因式進(jìn)行組合，則可得到z

1的實系數(shù)二次因式，此時式（29.5）中的分子和分母變成了一次因式和二次因式的乘積，可改寫為子系統(tǒng)函數(shù)的級聯(lián)型：（29.6）其中b0k，b1k，b2k，a1k，a2k都為實數(shù)。式（29.6）中的每個乘積項都具有二階基本節(jié)（SecondOrderSection,SOS）的形式，系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開為SOS的乘積或級聯(lián)，每個SOS都具有圖29.3所示的信號流圖形式。相關(guān)基礎(chǔ)理論IIR濾波器的一般級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖如圖29.4所示。因每個基本節(jié)只與數(shù)字系統(tǒng)的某一對零極點的網(wǎng)絡(luò)或一個零點和一個極點的網(wǎng)絡(luò)相關(guān)聯(lián)，量化導(dǎo)致的不穩(wěn)定比較容易避免，因此SOS抗量化誤差能力較直接型要好，所以實際中多選用這種結(jié)構(gòu)。級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的不足之處是前級的誤差會傳遞到后級，造成誤差逐級積累。圖29.3二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖29.4IIR系統(tǒng)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)相關(guān)基礎(chǔ)理論4．并聯(lián)型（ParalleledForm）級聯(lián)型結(jié)構(gòu)是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開為SOS的形式，而并聯(lián)型結(jié)構(gòu)是將H(z)展開為部分分式（PartialFraction）的形式。設(shè)H(z)除在原點處能有多重極點外，在Z平面上其他點處僅能有一階極點，此時對H(z)進(jìn)行部分分式展開可得（29.7）當(dāng)式（29.2）中M<N時，式（29.7）中ki全部為零，i=1,2,…,M

N+1。同樣為避免存儲復(fù)極點系數(shù)，對式（29.7）中以共軛成對的極點為根的部分分式進(jìn)行組合得到：（29.8）式中L1+2L2=N。這樣就可以用L1個一階網(wǎng)絡(luò)、L2個二階網(wǎng)絡(luò)、以及常數(shù)系數(shù)和帶增益的純延遲網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)起來組成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。相關(guān)基礎(chǔ)理論圖29.5所示IIR濾波器并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)的一般形式。這種結(jié)構(gòu)的特點是，量化作用可直接作用到極點，但對零點的影響卻沒那么直接。另外，并行結(jié)構(gòu)各基本節(jié)的誤差互不影響，量化誤差不會在各級之間傳播，而且還可以充分利用CPU的并行處理能力。圖29.5并聯(lián)型結(jié)構(gòu)情境任務(wù)及步驟一、原理初探已知一個由系統(tǒng)函數(shù)H(z)描述的IIR系統(tǒng)，即1．畫直接型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)畫出IIR系統(tǒng)的直接II型結(jié)構(gòu)圖、直接II型的轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)圖。2．畫級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的定義，該任務(wù)可以劃分成兩個子任務(wù)。1）確定零極點分布確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點分布，并畫圖表示。系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點可以直接手動計算，也可以通過調(diào)用函數(shù)tf2zpk求得。畫零極點分布圖可以通過調(diào)用函數(shù)zplane實現(xiàn)。情境任務(wù)及步驟2）畫級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖合并共軛成對的零點和極點，合成SOS（SecondOrderSection），并用信號流圖表示。（1）純手工。根據(jù)已得到的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點，確定有無共軛成對的零點或極點。若有，則將以每個共軛零（極）點對為根的z

1的一次因式組合成實系數(shù)的二次因式。逐個畫出每個子網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的信號流圖，且將信號流圖級聯(lián)（串聯(lián)）。（2）半自動化。調(diào)用函數(shù)tf2sos直接得到各二階基本節(jié)（SOS）對應(yīng)的子系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)矩陣，之后逐次畫出每個子網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的信號流圖，且將信號流圖級聯(lián)（串聯(lián)）。3．畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖調(diào)用函數(shù)residuez直接得到各部分因式對應(yīng)的子系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)矩陣，合并以共軛成對復(fù)極點為根的因式后得到實系數(shù)的子系統(tǒng)函數(shù)，之后逐次畫出每個子網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的信號流圖，且將信號流圖并聯(lián)。情境任務(wù)及步驟二、不同結(jié)構(gòu)實際系統(tǒng)測試1．生成復(fù)合信號和基準(zhǔn)信號設(shè)xt是由四個單音組成的多頻率復(fù)合信號，四個單頻的頻率分別是f1=100Hz，f2=200Hz，f3=300Hz，f4=400Hz，且幅度均為單位1，初始相位為0。xt是四個單位幅度單頻正弦信號的疊加。比較基準(zhǔn)信號xt23是頻率為f2和f3的兩個單位幅度、0初始相位的單頻正弦信號的疊加。2．設(shè)計Butterworth型IIR數(shù)字帶通濾波器假定采樣頻率Fs=8000Hz，試設(shè)計Butterworth型低通帶通濾波器，以濾除頻率為f1和f4的單頻，并評估所設(shè)計濾波器的性能。1）濾波器指標(biāo)設(shè)定帶通濾波器邊界頻率設(shè)置，通帶截止頻率fp1=f2，fp2=f3，阻帶截止頻率fst1=f1，fst2=f4。衰減指標(biāo)設(shè)置，在阻帶截止頻率處的衰減不低于40dB，在通帶內(nèi)衰減不超過5dB。情境任務(wù)及步驟2）設(shè)計Butterworth型數(shù)字帶通濾波器（1）調(diào)用函數(shù)buttord確定數(shù)字帶通濾波器階數(shù)N和邊界頻率Wn；（2）調(diào)用函數(shù)butter確定符合指標(biāo)要求的Butterworth型IIR濾波器。要求按照兩種形式輸出，一個是濾波器系數(shù)矩陣形式[b,a]，另一個是系統(tǒng)函數(shù)的零極點增益形式[z,p,k]。3．實現(xiàn)指定結(jié)構(gòu)的濾波器這里建議直接調(diào)用dfilt函數(shù)為上述設(shè)計的Butterworth型帶通濾波器指定實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。設(shè)dfilt的附加結(jié)構(gòu)字符串structure等于df1時，結(jié)果記為hd1；當(dāng)structure=df1sos時，結(jié)果記為hd2；當(dāng)structure=df1t時，結(jié)果記為hd3；當(dāng)structure=df2時，結(jié)果記為hd4；當(dāng)structure=df2sos時，結(jié)果記為hd5；當(dāng)structure=df2t時，結(jié)果記為hd6。在得到hd2和hd5時，要求輸入?yún)?shù)為SOS，此時需在已知系統(tǒng)函數(shù)零極點基礎(chǔ)上，再調(diào)用函數(shù)zp2sos作進(jìn)一步處理。情境任務(wù)及步驟4．實施濾波調(diào)用函數(shù)filter，將hd1、hd2、hd3、hd4、hd5、hd6六種結(jié)構(gòu)的濾波器施加于信號xt，結(jié)果分別記為filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6。5．濾波器性能評估（1）聽覺上定性評估。調(diào)用函數(shù)sound，試聽xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6的聲效，重點是對比后六者與xt23的效果差異。建議執(zhí)行完主程序后，在命令窗口中調(diào)用sound進(jìn)行一一對比試聽。（2）濾波效果時域?qū)Ρ?。在同一個圖形窗口中依次疊加畫出以filteredxt1為基準(zhǔn)的差值信號，即filteredxt1-filteredxt2、filteredxt1-filteredxt3、filteredxt1-filteredxt4、filteredxt1-filteredxt5、filteredxt1-filteredxt6，并用不同的顏色表示，添加legend。情境任務(wù)及步驟根據(jù)比較結(jié)果，分析濾波器的哪些結(jié)構(gòu)之間的差別較大？比較基準(zhǔn)換成xt23結(jié)果會怎樣呢？將比較得到的結(jié)論記于總結(jié)報告中。（3）濾波效果頻域?qū)Ρ?。調(diào)用函數(shù)fft，計算xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6的DFT，并將結(jié)果分別記為X0、X1、X2、X3、X4、X5、X6。創(chuàng)建一個新的圖形窗口，并將窗口從上至下分為兩個子窗口。上方子窗口中顯示X0的幅度譜，下方子窗口中顯示X1～X6的幅度譜。兩個子窗口中顯示的頻譜都要進(jìn)行歸一化，即最大幅度對應(yīng)0dB，并添加必要標(biāo)注。濾波器效果頻域?qū)Ρ冉Y(jié)論記于總結(jié)報告中。（4）時效對比。在業(yè)已調(diào)試好的程序中，每個filter函數(shù)調(diào)用之前，首先調(diào)用tic，緊跟每個filter函數(shù)之后再調(diào)用toc。再次執(zhí)行程序，記錄每個filter函數(shù)的執(zhí)行時間，并根據(jù)返回對各結(jié)構(gòu)的耗時進(jìn)行排序，并記于總結(jié)報告中。情境任務(wù)及步驟6．改變?yōu)V波指標(biāo)體會量化的作用（1）僅改變?yōu)V波器的邊界頻率指標(biāo)。將邊界頻率重新設(shè)定，具體設(shè)定值為：通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。衰減指標(biāo)保持不變，在阻帶截止頻率處的衰減不低于40dB，在通帶內(nèi)衰減不超過5dB。重新執(zhí)行本案例3~5的任務(wù)，注意濾波器階數(shù)的變化和濾波器效果的差別，并記于總結(jié)報告中。（2）僅改變?yōu)V波器的邊界頻率處的衰減指標(biāo)。將邊界頻率處的衰減指標(biāo)重新設(shè)置，具體設(shè)定值為：在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，在通帶內(nèi)衰減不超過1dB。邊界頻率數(shù)值保持不變。通帶截止頻率fp1=f2，fp2=f3，阻帶截止頻率fst1=f1,fst2=f4。重新執(zhí)行本案例3~5的任務(wù)，注意濾波器階數(shù)的變化和濾波器效果的差別，并記于總結(jié)報告中。情境任務(wù)及步驟（3）濾波器的邊界頻率和邊界頻率處的衰減指標(biāo)都改變。將邊界頻率重新設(shè)定，具體設(shè)定值為：通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。將邊界頻率處的衰減指標(biāo)重新設(shè)定為：在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，在通帶內(nèi)衰減不超過1dB。重新執(zhí)行本案例3~5的任務(wù)，注意比較各種濾波器濾波效果的差異，并記于總結(jié)報告中。思考題（1）根據(jù)情境二任務(wù)6，定性分析濾波器階數(shù)與過渡帶寬及衰減指標(biāo)的關(guān)系。（2）在有限字長情況下，分析濾波器[b,a]、[z,p,k]和[sos,g]三種表示方法抗量化影響的能力。（3）濾波器階數(shù)的大小對于實現(xiàn)復(fù)雜度有何影響？總結(jié)報告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報告中原理部分要描述幾種常用IIR濾波器結(jié)構(gòu)組成和特點，書寫情境任務(wù)時可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少要列出【情境任務(wù)及步驟】相關(guān)內(nèi)容的各級標(biāo)題。（2）情境任務(wù)的程序清單除在報告中出現(xiàn)外，還必須以獨立的m文件形式單獨提交。本案例可以只編制一個程序，完成【情境任務(wù)及步驟】的各項任務(wù)，程序清單要求至少按程序塊進(jìn)行注釋。（3）效果圖附于相應(yīng)的情境任務(wù)下。（4）將以下內(nèi)容翻譯在報告中。（5）簡要回答【思考題】中的問題。（6）報告中還可