數(shù)字信號處理實踐與應(yīng)用-MATLAB話數(shù)字信號處理（第2版） 課件 案例三十 - FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

案例三十——FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)案例設(shè)置目的理解FIR濾波器各種結(jié)構(gòu)的特點及實現(xiàn)方法；了解FIR濾波器性能評估和時效評估方法；了解用MATLAB實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器各種結(jié)構(gòu)的方法及各種結(jié)構(gòu)濾波器的使用。相關(guān)基礎(chǔ)理論從時域看，F(xiàn)IR濾波器對信號的處理通?？梢杂靡韵聝煞N形式表示：（30.1）

（30.2）對比發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)IR濾波器的卷積計算形式（30.1）與差分方程表示形式（30.2）完全一致，h(m)=bm，m=0,1,…,M。對式（30.2）進行雙邊Z變換得FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即（30.3）從式（30.3）可知FIR系統(tǒng)函數(shù)的極點在Z平面的原點處，因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的，即便是對濾波器的系數(shù)或單位脈沖響應(yīng)進行量化造成系統(tǒng)函數(shù)極點位置的變化，因此從這點上講，F(xiàn)IR的抗量化噪聲性能比IIR強。FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)分為直接型（有些參考書又稱橫截型、卷積型）、級聯(lián)型和頻率采樣型，線性相位的FIR濾波器還有一種乘法器使用最少的線性相位型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下面將分別進行討論。相關(guān)基礎(chǔ)理論1．直接型——橫截型、卷積型按式（30.1）直接構(gòu)造的信號流圖稱為直接型結(jié)構(gòu)。圖30.1畫出了FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)及其轉(zhuǎn)置形式。觀察圖容易看出，M階FIR濾波器實現(xiàn)時需使用M+1個乘法器，M個延遲單元。直接型結(jié)構(gòu)中，量化器的量化對象是濾波器系數(shù)，或單位取樣序列的每個樣點值。相關(guān)基礎(chǔ)理論2．級聯(lián)型將式（30.3）中H(z)的進行因式分解，得到M個z

1的一次因式連乘：（30.4）合并其中共軛成對的零點得（30.5）式中M1代表z

1的一次因式的個數(shù)；M2代表z

1的二次因式的個數(shù)，且有M1+2M2=M。與IIR濾波器結(jié)構(gòu)類似，我們稱z

1的二次因式對應(yīng)的直接II型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為二階基本節(jié)（SecondOrderSection--SOS），一次因式對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為一階基本節(jié)。式（30.5）中z

1的一次因式可以看成是β2k=0的二次因式，因此有（30.6）相關(guān)基礎(chǔ)理論FIR濾波器的一般級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖如圖30.2所示。FIR濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的每個子網(wǎng)絡(luò)由單個零點或共軛的零點對決定，量化也直接作用到零點或共軛零點對對應(yīng)的系數(shù)上。量化不會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成任何影響，但與IIR濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu)一樣，量化誤差會由前級子網(wǎng)絡(luò)傳播到后級。由式（30.5）和圖30.2容易得出這樣的結(jié)論，M1個一階基本節(jié)需要2M1個乘法器和M1個延遲單元，M2個二階基本節(jié)需要3M2個乘法器和2M2個延遲單元，一個M階的FIR濾波器用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)時共需2M1+3M2個乘法器，M1+2M2個延遲單元。如前所述M1+2M2=M，可見該結(jié)構(gòu)下乘法器的使用量比直接型結(jié)構(gòu)要多，因此FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)沒有直接型受青睞。相關(guān)基礎(chǔ)理論3．線性相位型當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)滿足下式：（30.7）或（30.8）FIR系統(tǒng)的h(n)

滿足奇對稱或偶對稱關(guān)系，其頻率響應(yīng)都能表示為（30.9）式中H(

)稱為幅頻特性函數(shù)；

(

)稱為相頻特性函數(shù)，且有（30.10）在h(n)滿足式（30.7）時，初始相位

=0；當(dāng)h(n)滿足式（30.8）時，

=

π/2或π/2。兩種情況下，h(n)所描述的系統(tǒng)都稱為線性相位系統(tǒng)。需要說明的是，式（30.7）、式（30.8）以及式（30.10）中的M沿用了式（30.1）或式（30.2）中濾波器的階數(shù)表示，而有些參考書會在式（30.7）、式（30.8）以及式（30.10）中用FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度N，濾波器階數(shù)M和長度N的關(guān)系為：M=N

1。相關(guān)基礎(chǔ)理論h(n)滿足式（30.7），且M為偶數(shù)的系統(tǒng)，常稱為情況1（CaseI），此時式（30.1）可改寫為（30.11）h(n)滿足式（30.7），且M為奇數(shù)的系統(tǒng)，常稱為情況2（CaseII），式（30.1）可改寫為（30.12）h(n)滿足式（30.8），M為偶數(shù)的系統(tǒng)，常稱情況3（CaseIII）；M為奇數(shù)的系統(tǒng)，常稱為情況4（CaseIV），這兩種情況下式（30.1）均可改寫為（30.13）相關(guān)基礎(chǔ)理論對式（30.11）至式（30.13）進行雙邊Z變換，得到各種情況下的系統(tǒng)函數(shù)：（30.14）（30.15）（30.16）從式（30.11）至式（30.16）可以看出，F(xiàn)IR系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)無論是滿足式（30.7）的對稱（symmetric）形式，還是滿足式（30.8）的反對稱（antisymetric）形式，在用卷積形式或直接形式實現(xiàn)濾波器時，乘法器都會降低1/2左右，這個優(yōu)勢是滿足線性相位的FIR濾波器特有的，因此又稱為FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。如圖30.3所示，畫出了滿足對稱形式的7點長和8點長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的線性相位結(jié)構(gòu)信號流圖。相關(guān)基礎(chǔ)理論反對稱形式FIR濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖與圖30.3基本一樣，只是需要將某些支路的增益系數(shù)1按照式（30.13）或式（30.16）改成

1。相關(guān)基礎(chǔ)理論4．頻率采樣型對于M階FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)的N（N>M）點長DFT記為H(k)，Z變換記為H(z)，根據(jù)頻域采樣定理有（30.17）式（30.17）可改寫為（30.18）其中Hc(z)

=1

z

N是一梳狀濾波器，對應(yīng)的信號流圖只有前向支路。Hc(z)

有N個零點，它們等間隔分布在單位圓上：式（30.18）求和項內(nèi)每項

是一個單極點網(wǎng)絡(luò)，對應(yīng)的信號流圖是有反饋的網(wǎng)絡(luò)，而整個求和項對應(yīng)了N個并聯(lián)的子網(wǎng)絡(luò)。求和項內(nèi)的N個極點恰與Hc(z)

的N個零點重合。根據(jù)式（30.18）可以畫出FIR濾波器頻率采樣型的一般實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖，如圖30.4所示。頻率采樣型結(jié)構(gòu)是表示梳狀濾波器Hc(z)

的前向網(wǎng)絡(luò)和N個并聯(lián)支路組成的反饋網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)而成的。相關(guān)基礎(chǔ)理論頻率采樣型結(jié)構(gòu)有兩個突出的優(yōu)點：（1）適用于任意形狀的幅頻響應(yīng)。頻率采樣法設(shè)計的濾波器在頻率采樣點

k=2k

/N處可以保證滿足

，因此只要調(diào)整H(k)，就可以有效地使所設(shè)計的濾波器頻率響應(yīng)特性向目標(biāo)濾波器逼近。（2）便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。因為只要h(n)長度N相同，對于任何幅頻響應(yīng)形式，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)

不同。一般來說，頻率采樣型結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，尤其是當(dāng)采樣點數(shù)N很大時，需要的乘法器和延時單元很多。但用頻率采樣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)窄帶FIR濾波器時，由于大部分頻率采樣值H(k)為零，從而使二階網(wǎng)絡(luò)個數(shù)大大減少，甚至?xí)h遠低于直接型結(jié)構(gòu)，所以頻率采樣型結(jié)構(gòu)非常適用于窄帶FIR濾波器的實現(xiàn)。相關(guān)基礎(chǔ)理論頻率采樣型結(jié)構(gòu)也有兩個明顯的缺點：（1）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零點、極點對消來保證的，實際實現(xiàn)恐難保證。實際應(yīng)用中，因為存儲器的字長都是有限的，對網(wǎng)絡(luò)中支路增益

量化時會產(chǎn)生量化誤差，可能使零、極點不能完全對消，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。（2）頻率采樣型結(jié)構(gòu)的并聯(lián)部分，增益系數(shù)H(k)和

一般為復(fù)數(shù)，存儲時需要更多的存儲單元，濾波計算時的復(fù)雜度會有所提高。為了克服上述缺點，可采取針對性措施對頻率采樣型結(jié)構(gòu)進行修正。針對量化可能致使系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，可將單位圓上的Z變換用半徑小于1的一個圓上的Z變換進行近似。針對增益系數(shù)為復(fù)數(shù)的問題，可以利用H(k)的共軛對稱性和

的對稱性將復(fù)系數(shù)進行合并。具體實現(xiàn)這里不再贅述。情境任務(wù)及步驟一、原理初探已知一個單位脈沖響應(yīng)h(n)描述的FIR系統(tǒng)，其中h(n)={

0.01,0.1,0.8,0.1,

0.01}。1．畫出直接型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)單位取樣響應(yīng)畫出此FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)圖，并確定使用的乘法器的個數(shù)。2．畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h(n)畫出系統(tǒng)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，并確定使用的乘法器個數(shù)。由單位脈沖響應(yīng)h(n)得到系統(tǒng)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)通常有如下兩種方式：（1）對h(n)進行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)，再進行因式分解。因式分解可以借助函數(shù)tf2zpk、roots等實現(xiàn)。（2）直接調(diào)用函數(shù)tf2sos實現(xiàn)。3．畫出線性相位型結(jié)構(gòu)圖首先判定單位脈沖響應(yīng)h(n)代表系統(tǒng)是否是線性相位系統(tǒng)；若是，則根據(jù)濾波器所對應(yīng)的情況（CaseI、II、III或IV）畫出此FIR系統(tǒng)的對稱型結(jié)構(gòu)圖，確定使用的乘法器的個數(shù)，并與前兩種結(jié)構(gòu)所用的乘法器進行比較，比較結(jié)果記于情境任務(wù)總結(jié)報告中。情境任務(wù)及步驟二、實際系統(tǒng)性能測試1．生成復(fù)合頻率信號和基準(zhǔn)信號設(shè)四個單位幅度、初始相位為0的單音組成的復(fù)合信號xt，四個單頻的頻率分別是f1=100Hz，f2=200Hz，f3=300Hz，f4=400Hz。比較基準(zhǔn)信號xt23是頻率為f2和f3的兩個單位幅度、初始相位為0的單頻正弦信號的疊加。2．設(shè)計數(shù)字帶通濾波器假定采樣頻率Fs=8000Hz，試用窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器，以濾除頻率為f1和f4的單頻。編制程序，用窗函數(shù)法和頻率采樣法兩種方法設(shè)計FIR數(shù)字帶通濾波器。濾波器的指標(biāo)要求為：通帶允許最大衰減不超過1dB，在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。情境任務(wù)及步驟（1）確定濾波器的階數(shù)和理想濾波器的邊界頻率。確定理想濾波器的邊界頻率較為簡單，直接代入下式即可：（30.19）式中

p和

st分別表示通帶和阻帶歸一化截止頻率，對于帶通濾波器需要計算通帶兩側(cè)的邊界頻率。確定濾波器的階數(shù)要略顯復(fù)雜。需要首先計算過渡帶的寬度

，再根據(jù)阻帶衰減確定窗函數(shù)類型，繼而得到該窗函數(shù)的過渡帶寬與濾波器系數(shù)個數(shù)N的關(guān)系式，最后代入便能確定具體的濾波器系數(shù)個數(shù)（抽頭個數(shù)），即（30.20）（30.21）其中x的取值參照案例二十中的表1。因這里設(shè)計的濾波器為帶通濾波器，所以過渡帶有兩個，理想濾波器的邊界頻率就有兩個，得到的濾波器階數(shù)也有兩個，但最終濾波器的階數(shù)要選擇較大的那個。情境任務(wù)及步驟（2）確定FIR濾波器系數(shù)。FIR濾波器的系數(shù)或單位脈沖響應(yīng)，可以按照案例二十中的方法按部就班的計算，也可以借助MATLAB函數(shù)實現(xiàn)，這里介紹MATLAB函數(shù)的確定方法。以N-1和

c為輸入?yún)?shù)，調(diào)用函數(shù)fir1確定FIR濾波器系數(shù)，并記為b。2）方法二：用頻率采樣法設(shè)計數(shù)字帶通濾波器頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器的詳細介紹可參見案例二十一，這里僅按照設(shè)計步驟進行設(shè)計。（1）根據(jù)濾波器指標(biāo)設(shè)定取樣頻率點及這些頻率點上的幅度值。利用頻率采樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器時，需要確定N個頻率采樣點的位置和采樣得到樣點值的幅度其中N是由式（30.21）確定的。對于線性相位FIR濾波器，由于其幅度特性函數(shù)關(guān)于π具有對稱特性，因此只需確定不超過N/2個樣點的頻率與幅度。設(shè)采樣頻率點集合記為f，且f=[0,2*pi*f1/Fs/pi,2*pi*fs1/Fs/pi,2*pi*fp1/Fs/pi,linspace(2*pi*f2/Fs/pi,2*pi*f3/Fs/pi,5),2*pi*fp2/Fs/pi,2*pi*fs2/Fs/pi,2*pi*f4/Fs/pi,1]。設(shè)對應(yīng)頻率采樣點上幅度的組成的集合記為A，且A=[0,tan(linspace(0+eps,pi/2-pi/10000,3))/tan(pi/2-pi/10000),ones(1,5),fliplr(tan(linspace(0+eps,pi/2-pi/10000,3))/tan(pi/2-pi/10000)),0]。情境任務(wù)及步驟（2）創(chuàng)建濾波器設(shè)計對象。調(diào)用函數(shù)fdesign，response選項指定為arbmag，為設(shè)計任意響應(yīng)幅度濾波器創(chuàng)建一個濾波器設(shè)計對象，結(jié)果記為d。（3）設(shè)計頻域取樣型FIR濾波器。調(diào)用函數(shù)design，按照指定的設(shè)計方法設(shè)計FIR濾波器，并將結(jié)果記為hd4（其中hd1、hd2、hd3為窗函數(shù)法設(shè)計濾波器進行預(yù)留）。3．指定濾波器結(jié)構(gòu)窗函數(shù)法設(shè)計出的FIR帶通濾波器系數(shù)b滿足對稱特性，實現(xiàn)這樣的濾波器時可以用前述的直接型、直接型的轉(zhuǎn)置型、線性相位型等形式。調(diào)用函數(shù)dfilt，通過將structure字段分別選為df1、df1t和dfsymfir，完成系數(shù)b所描述的濾波器的結(jié)構(gòu)化實現(xiàn)，并分別記為hd1、hd2、hd3。情境任務(wù)及步驟4．實施濾波調(diào)用函數(shù)filter，將hd1、hd2、hd3、hd4三種結(jié)構(gòu)的濾波器施加于信號xt，結(jié)果分別記為filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4。注意hd1～hd4均為結(jié)構(gòu)體類型。5．濾波器性能評估此處的濾波器性能評估既有主觀評估，也有客觀評估。主觀評估這里選擇聽覺覺察，客觀評估包括波形、頻譜和時效性等維度。（1）聽覺上定性評估。調(diào)用函數(shù)sound，試聽xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4的聲效，重點對比后四者的效果。為提高對比效果，建議執(zhí)行完主程序后在命令窗口中調(diào)用sound進行一一對比試聽。情境任務(wù)及步驟（2）濾波效果時域?qū)Ρ?。在同一個圖新的形窗口中，以filteredxt1為基準(zhǔn)，依次畫出各濾波器濾波效果與filteredxt1的差值，即filteredxt1-filteredxt2、filteredxt1-filteredxt3、filteredxt1-filteredxt4，并用不同的顏色表示。（3）濾波效果頻域?qū)Ρ?。調(diào)用函數(shù)fft，計算xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filt