綜合分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)：全等三角形

2/2）【類(lèi)型①】全等三角形??直接證明?線(xiàn)段★?角（2022·浙江衢州·中考真題）已知：如圖，．求證：．2．（2019·廣西桂林·中考真題）如圖，，點(diǎn)在上．（1）求證：平分；（2）求證：．【類(lèi)型②】全等三角形??判定★?性質(zhì)?周長(zhǎng)★?面積3．（2020·四川宜賓·中考真題）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接CE．（1）求證：（2）若的面積為5，求的面積．4．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）模擬預(yù)測(cè)）如圖，在①，②，③這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．問(wèn)題：如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn)，DE，DF分別是和高，EF交AD于O，若______，求證：；若，，求的面積．【類(lèi)型③】全等三角形??判定★?性質(zhì)?尺規(guī)作圖★?證明5．（2019·廣西柳州·中考真題）已知：．求作：，使得．作法：①以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)；②畫(huà)一條射線(xiàn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第②步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)；④過(guò)點(diǎn)畫(huà)射線(xiàn)，則．根據(jù)上面的作法，完成以下問(wèn)題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出（請(qǐng)保留作圖痕跡）．（2）完成下面證明的過(guò)程（注：括號(hào)里填寫(xiě)推理的依據(jù)）．證明：由作法可知，，，∴≌（）∴．（）6．（2019·河北張家口·二模）嘉淇同學(xué)要證，她先用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)，連接；③過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．并寫(xiě)出了如下不完整的已知和求證．（1）在方框中填空，補(bǔ)全已知和求證；（2）按嘉淇的想法寫(xiě)出證明過(guò)程．【類(lèi)型④】全等三角形??條件開(kāi)放性問(wèn)題7．（2022·江蘇南通·二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．問(wèn)題：如圖，AC平分，D是AC上的一點(diǎn)，．若______，求證：．8．（2022·甘肅蘭州·一模）如圖，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BD上．從下面①②③中選取兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，判斷該命題真假并說(shuō)明理由．①；②；③．你選擇的已知條件是______，結(jié)論是______（填寫(xiě)序號(hào)）；該命題為_(kāi)_____（填“真”或“假”）命題．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【類(lèi)型⑤】全等三角形??結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題9．（2020·廣西河池·中考真題）（1）如圖（1），已知CE與AB交于點(diǎn)E，AC＝BC，∠1＝∠2．求證：△ACE≌△BCE．（2）如圖（2），已知CD的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB交于點(diǎn)E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．（2022·北京石景山·一模）如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，連接BE，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)，交邊AC于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線(xiàn)段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【類(lèi)型二】全等三角形??幾何模型【類(lèi)型①】全等三角形??幾何模型?一線(xiàn)三直角★?旋轉(zhuǎn)11．（2019·湖北黃岡·中考真題）如圖，是正方形，是邊上任意一點(diǎn)，連接，作，，垂足分別為G．求證：．12．（2019·湖北黃石·中考真題）如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，且，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，且、相交于點(diǎn).（1）求證：（2）求證：【類(lèi)型②】全等三角形??幾何模型?雙垂線(xiàn)等角★?手拉手（2009·黑龍江雞西·中考真題）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、F．當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．14．（2017·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知：和都是等腰直角三角形，，連接，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中四對(duì)全等的直角三角形.【類(lèi)型三】全等三角形??作輔助線(xiàn)?截長(zhǎng)補(bǔ)短★?倍長(zhǎng)中線(xiàn)15．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線(xiàn)，求證：AE+BE=BC．16．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，已知AC＝4，BC＝6（1）尺規(guī)作圖：作AB邊上的中點(diǎn)D和△BCD關(guān)于點(diǎn)D的中心對(duì)稱(chēng)圖形；（2）根據(jù)圖形說(shuō)明線(xiàn)段CD長(zhǎng)的取值范圍．【類(lèi)型四】全等三角形??三角形內(nèi)角和★?角平分線(xiàn)性質(zhì)17．（2022·山東·濟(jì)南育英中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線(xiàn)AD與∠BCA的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線(xiàn)段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．18．（2021·江蘇·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)一模）如圖，已知，AE，BD是的角平分線(xiàn)，且交于點(diǎn)P．（1）求的度數(shù)．（2）求證：點(diǎn)在的平分線(xiàn)上．（3）求證：①；②．【類(lèi)型五】全等三角形??拓展探究★?能力提升【類(lèi)型①】全等三角形??綜合探究19．（2022·江西撫州·七年級(jí)階段練習(xí)）綜合與探究：如圖1所示的是由兩塊三角板組成的圖形，其中在中，，，在中，，，點(diǎn)B，E，D在同一條直線(xiàn)上，AC與BD交于點(diǎn)F，連接CD并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，試用含的代數(shù)式表示∠BAE的度數(shù)．當(dāng)時(shí)，試探究BC與BG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．過(guò)點(diǎn)C作，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，如圖2所示，在滿(mǎn)足（2）的情況下，求∠DCH的度數(shù)，并直接寫(xiě)出與∠DCH相等的角（除∠G外，寫(xiě)兩個(gè)即可）．20．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）（初步探索）（1）如圖：在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．(1)（1）小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_____________；(2)（靈活運(yùn)用）（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【類(lèi)型②】全等三角形??問(wèn)題背景21．（2022·河南漯河·八年級(jí)期末）(1)【自主學(xué)習(xí)】填空：如圖1，點(diǎn)是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)A在上，用圓規(guī)在上截取，連接，可得，其理由根據(jù)是；(2)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)【拓展延伸】如圖3，在中，，，分別是，的平分線(xiàn)，，交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．22．（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期中）【問(wèn)題情境】如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一個(gè)叔叔幫他出了這樣一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)到D，使；連接并延長(zhǎng)到E，使，連接并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，如果米，那么間的距離為_(kāi)__________米．【探索應(yīng)用】如圖2，在中，若，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，中線(xiàn)的取值范圍是___________；【拓展提升】如圖3，在中，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，求證：．

參考答案1．見(jiàn)分析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根據(jù)ASA證明△ACB≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論．解：∵，，，∴，∵，∴△ACB≌△ACD，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACB≌△ACD是解本題的關(guān)鍵．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析.【分析】（1）由題中條件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD；（2）利用（1）的結(jié)論，可得△BAE≌△DAE，得出BE=DE．解：（1）在與中，∴∴即平分；（2）由（1）在與中，得∴∴【點(diǎn)撥】熟練運(yùn)用三角形全等的判定，得出三角形全等，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（1）詳見(jiàn)分析；（2）10．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)定義、對(duì)頂角相等以及已知條件運(yùn)用SAS即可證明；（2）先根據(jù)三角形中點(diǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到、，再結(jié)合以及解答即可．證明：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD在△ABD和△CED中，所以；(2)∵在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)∴∵．答：三角形ACE的面積為10．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，其中掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．(1)證明過(guò)程見(jiàn)分析(2)16【分析】（1）若①，利用證明；若②，利用證明；若③，利用證明；（2）根據(jù)，可得，根據(jù)即可求解．（1）證明：若①∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴若②∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴若③∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴解：∵∴∵∴【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）詳見(jiàn)分析；（2），，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）如圖所示，即為所求；（2）證明：由作法可知，，，∴≌（）∴．（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）故答案為，，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）BE；BF；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧得到BC=BE，根據(jù)題目第一句話(huà)得AE=BF；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AEB=∠FBC，然后根據(jù)AAS證明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．解：（1）∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧∴BC=BE根據(jù)已知條件第一句話(huà)，得到AE=BF故答案為：BE；BF；（2）證明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC．∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，∴BE=BC，在△ABE與△FCB中，∴△ABE≌△FCB，∴AE=BF【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，和三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定條件，和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．證明見(jiàn)分析【分析】選②，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的內(nèi)角和定理可得，，即可求解，若選③，證明，即可求解．解：若選②；證明：∵AC平分∠BAE，∴∠EAD＝∠BAC．∵∠E＝∠C，∴．∵，．∴∠ADE＝∠ABC．若選③，證明：∵AC平分∠BAE，∴．在△ABC和△ADE中，∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形求得的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．①②，③，真，理由見(jiàn)分析．【分析】以①②為條件，③為結(jié)論，結(jié)合全等三角形的判定方法及真假命題的定義解答．解：條件是：①；②，結(jié)論是：③．BD平分∠ABC，又，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、命題的定義等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）證明見(jiàn)分析；（2）AE=BE；理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)SAS可得出答案；（2）在CE上截取CF＝DE，證明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，則可得出BE＝BF．結(jié)論得證．解：（1）證明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)，證明見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)題目步驟作圖即可；（2）過(guò)E作EM⊥BC于M，先由中線(xiàn)倍長(zhǎng)證明，得到，再證明，得到；（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如下：（2）過(guò)E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴(ASA)，∴（3），證明如下：

由（2）得，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型作垂直構(gòu)造全等．詳見(jiàn)分析【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角邊”證明△BAF和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF＝AG，根據(jù)線(xiàn)段的和與差可得結(jié)論．證明：四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BAF≌△ADG是解題的關(guān)鍵．12．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得∠C=∠BAD；（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC=EF．解：（1）如圖∵，∴是等腰三角形又∵為的中點(diǎn)，∴（等腰三角形三線(xiàn)合一）在和中，∵為公共角，，∴.另解：∵為的中點(diǎn)，∵，又，，∴，∴，又，∴∴，在和中，∵為公共角，，∴.（2）∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴.【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．13．見(jiàn)分析解：圖2成立；圖3不成立2分證明圖2：解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC則∠DME=∠DNF=∠MDN=90°再證∠MDE=∠NDF，DM=DN有△DME≌△DNF∴S△DME=S△DNF∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF由信息可知S四邊形DMCN=S△ABC∴S△DEF+S△CEF=S△ABC····························4分圖3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEFS△CEF=S△ABC2分（1）證明見(jiàn)分析；（2）△ACB≌△DCE（SAS），△EMC≌△BCN（ASA），△AON≌△DOM（AAS），△AOB≌△DOE（HL）試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定（SAS）證明△ACE≌△BCD，從而可知AE=BD；（2）根據(jù)條件判斷出圖中的全等直角三角形即可；解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE與△BCD中，,∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰直角三角形．見(jiàn)分析【分析】延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過(guò)△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．解：如圖，延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）見(jiàn)分析；（2）1＜CD＜5．【分析】（1）由題知CD為中線(xiàn)，只要使DE=CD，然后連接AE即可；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，先求出CE的取值范圍，即可求出CD的取值范圍.解：（1）中點(diǎn)D如圖所示，△ADE即為所求．（2）由題意AE＝BC＝6，∴6﹣4＜EC＜4+6，∴2＜EC＜10，∵EC＝2CD，∴1＜CD＜5．【點(diǎn)撥】本題是對(duì)尺規(guī)作圖和三角形第三邊取值范圍的考查，熟練掌握尺規(guī)作圖和三角形三邊關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.17．(1)見(jiàn)分析(2)AE+CD=AC，證明見(jiàn)分析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計(jì)算即可求解．(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線(xiàn)AD與∠BCA的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；(2)解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，過(guò)M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．（1）；（2）見(jiàn)分析；（3）①見(jiàn)分析，②見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，作，，分別垂直于，，，即可得解；（3）①根據(jù)（2）所做圖像，證明全等即可得解；②在AB上取，證明，，得到，證明，得到，證明，得到，再結(jié)合圖像即可證明．解：（1）已知，，又AE，BD是的角平分線(xiàn)，，；（2）作，，分別垂直于，，如圖，AE，BD是的角平分線(xiàn)，，在的平分線(xiàn)上；（3）①：如圖所示，在四邊形中，，（對(duì)頂角），，，又，，，；②：在AB上取，，，同理可證，，，又，，，，又，，又，．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)；掌握好相關(guān)的基本性質(zhì)定理，熟練地使用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．19．(1)45°-α(2)BC=BG，理由見(jiàn)分析(3)∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE【分析】（1）證明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）證明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出BC=BG；（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAE=∠DAC，∵AD=AE，AC=AB，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ACD=∠ABE，∵∠AED=45°，∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；（2）BC=BG，理由如下：∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，∴∠CBD=∠ABE，∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，∴∠FAB=∠CDF=90°，∴∠CDB=∠GDB=90°，∵DB=DB，∴△CBD≌△GBD（ASA），∴BC=BG；（3）∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，∴CD=GD，∵∠GAC=90°，∴CD=AD=GD，∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，∵CH∥BG，∴∠DCH=∠G=∠DAG，∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∴∠DCH=∠DFC，又∵∠DFC=∠AFE，∴∠DCH=∠AFE，∵∠ACD=∠DAC，∴∠FAE=∠DFC，∴∠DCH=∠FAE．故與∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)（初步探索）結(jié)論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運(yùn)用）成立，理由見(jiàn)分析【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF=BE+FD，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，A