26屆高三備考核心微專題 空間垂直的證明的常見模型

59.空間垂直證明中的一些重要構(gòu)型一般的空間垂直（線面垂直或者面面垂直）基本都是一個(gè)平面垂直加一個(gè)線面或者面面垂直得到，關(guān)于平面垂直，注意到通常以四棱錐，三棱柱，四棱柱為主，前者底面為四邊形，后者的側(cè)面為平行四邊形，如此的話，我們需要關(guān)注一些特殊四邊形中的垂直，這些垂直都是常出現(xiàn)在空間垂直的證明過程中的.平面四邊形中的一些重要垂直關(guān)系1.等腰梯形：如圖1，我們可以證得，這是底邊為等腰梯形的四棱錐中常出現(xiàn)的垂直情形.圖1圖22.內(nèi)角為的菱形，如圖2，，為中點(diǎn)，則.3.內(nèi)角為的平行四邊形，如圖3，，，則.圖3圖44.如圖4，正方形中（邊長為1:1的矩形），為中點(diǎn)，則.5.如圖5，邊長為2:3的矩形，可以看做是4的推廣，有.圖5例1.(2022年全國甲卷)·第18題)在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．解析：考察圖1（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所?例2．(2021年高考浙江卷）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解析：考察圖3解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．例3．(2021年高考全國甲卷理科·第19題)已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?解析：考察圖4.因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以．?．如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.解析：考察圖5解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，D為的中點(diǎn)，所以,又，所以平面，則，易知，則，因?yàn)椋龡l，則，即，又，所以平面，所以；二．一些常見的空間垂直模型模型1.“箏形翻折模型”結(jié)論：如圖，，設(shè)為中點(diǎn)，則，故面，則.模型2.面面垂直找交線，找到交線引垂線.下面的例6-例8均考察上述模型1：“箏形翻折模型”例6.(2022年全國乙卷數(shù)學(xué))如圖，四面體中，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．解析：（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?．(2021年新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是邊長為1等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．解析：（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因?yàn)槠矫鍮CD，所以AO⊥CD（2）作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM，因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因?yàn)镕M⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF則為二面角E-BC-D的平面角,，因?yàn)?為正三角形,所以為直角三角形，因?yàn)?，從而EF=FM=，平面BCD,所以例8．（2017新課標(biāo)3卷）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）證明：平面⊥平面；（2）過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值．解析：（1）由題設(shè)可得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以為二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.下面的例9考察了面面垂直模型：面面垂直找交線，找到交線引垂線例9.如圖，邊長為的正方形所在平面與半圓弧所在的平面垂直，是弧上異于的點(diǎn)