2025屆天津市河?xùn)|區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河?xùn)|區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求.1.已知集合，，，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知，命題p：，命題q：，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】命題p：即，命題q：即，所以命題能推出命題，而命題不能推出命題，所以p是q的必要不充分條件.故選：C3.如圖所示，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)于A，,,,即函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)，對(duì)于B，，，，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)，對(duì)于C，，，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)，對(duì)于D，，，，是偶函數(shù)，，符合題意，故D正確.故選：D4.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，且，?故選：A.5.2024年12月26日，DeepSeek—V3首個(gè)版本正式上線，截至2025年2月9日，DeepSeekAPP的累計(jì)下載量已超1.1億次，AI成為當(dāng)下的熱門話題.立德中學(xué)高中數(shù)學(xué)社團(tuán)以16至40歲人群使用DeepSeek頻率為課題，分小組自主選題進(jìn)行調(diào)查研究，下列說(shuō)法正確的是（）A.甲小組開展了DeepSeek每周使用頻次與年齡的相關(guān)性研究，經(jīng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量正線性相關(guān)，但相關(guān)程度很弱B.乙小組利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用頻次y關(guān)于年齡x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，可以推斷年齡為30歲的群體每周使用頻次一定為17次C.丙小組用決定系數(shù)來(lái)比較模型的擬合效果，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的分別約為0.733和0.998，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多D.丁小組研究性別因素是否影響DeepSeek使用頻次，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得到，可以認(rèn)為不同性別的DeepSeek使用頻次沒(méi)有差異【答案】C【解析】對(duì)于A，由絕對(duì)值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)可得A錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，回歸方程為給出的是預(yù)測(cè)值，實(shí)際值會(huì)有隨機(jī)誤差，所以年齡為30歲的群體每周使用頻次不一定為17次，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，表示模型對(duì)因變量解釋比例，大說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多，故C正確；對(duì)于D，，可以認(rèn)為不同性別的DeepSeek使用頻次有差異，故D錯(cuò)誤.故選：C6.已知正方體的邊長(zhǎng)為，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為，則的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】易知正方體的外接球半徑為其體對(duì)角線的一半，即，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，即，由球體的表面積公式及體積公式可知：.故選：A7.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論不正確的為（）A.時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱B.時(shí)，的最小正周期為C.時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，在區(qū)間上的最大值為【答案】C【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，取可得，是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，A正確；函數(shù)的最小正周期，B正確；當(dāng)時(shí)，，令可得，所以，所以，，所以，，所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)有，，，C錯(cuò)誤；由，可得，所以，故，所以時(shí)，在區(qū)間上的最大值為，此時(shí)，D正確.故選：C.8.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，N是位數(shù)，小明利用上述方法，根據(jù)判斷是m位數(shù)，則m為（）A.36 B.33 C.32 D.31【答案】D【解析】∵，∴，∴是31位數(shù).故選：D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，，的面積為，O為原點(diǎn)，雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，設(shè)軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，①，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)直線與漸近線垂直，則點(diǎn)到直線的距離，則，因，則，，則②，因，即，則③，聯(lián)立①②③得，，則雙曲線的方程為.故選：B二、填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.10.i是復(fù)數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為________.【答案】【解析】，故答案為：11.在的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是________.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)為:，當(dāng)時(shí),即時(shí),可得.即項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.12.軸，軸上的截距分別為的直線與圓交于兩點(diǎn)，則的值為________.【答案】【解析】由題知直線方程為，即，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，所以，故答案為：.13.哪吒系列手辦盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龍王共個(gè)人物手辦，小明隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒（個(gè)盲盒內(nèi)人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龍王的概率________；在包含哪吒且不包含敖丙的條件下，則恰有哪吒父母中的一位的概率為________.【答案】①.②.【解析】從個(gè)人物手辦中，隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，共有種買法，又個(gè)盲盒中，包含哪吒和至少一位龍王有種買法，所以小明隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，其中包含哪吒和至少一位龍王的概率為，記事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，恰有哪吒父母中的一位，則，，所以，故答案為：，.14.《哪吒》的玉虛宮，形態(tài)由九宮八卦陣演變而來(lái)，設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于漢代，內(nèi)飾充滿了中國(guó)文化符號(hào).樹人中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結(jié)合向量知識(shí)進(jìn)行主題探究活動(dòng).如圖，正八邊形，邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)在線段上且，則的值為________；若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)槎噙呅螢檎诉呅危?，，，，，，由正八邊形性質(zhì)可得，由已知，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，又，，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在線段上，所以，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，所以，且，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，即當(dāng)點(diǎn)為線段的端點(diǎn)或端點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，故答案為：，.15.設(shè)函數(shù)，，若存在，使得，則的最小值為________.【答案】1【解析】因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且存在，使得，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以,即,當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)滿足題意），所以的最小值為1.故答案為：1.三、解答題：本題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在三角形中，角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（1）求邊c的大??；（2）求的值；（3）求邊的值.解：（1）由已知，，，，解為；（2），又，所以；（3），，，.17.在多面體中（如圖所示），底面正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1.（1）求AD與平面DEF所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)A到平面CEF的距離；（3）AB的中點(diǎn)為G，線段CD上是否存在點(diǎn)P使得PG與平面DEF平行，若存在求PC長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由.解：（1）EA⊥底面，底面正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.所以，，設(shè)平面DEF的法向量為，，故，令，則，，故，又，設(shè)AD與平面DEF所成角為，；（2）平面CEF的法向量為，其中，，，故，令，則，故，，所以點(diǎn)A到平面CEF的距離；（3）由（1）知，平面DEF的法向量為，其中，設(shè)，，PG與平面DEF平行，故，即，解得，此時(shí).18.設(shè)是公差d為的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，，，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式及；（2）落在區(qū)間之內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，.（?。┣螅皵?shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）求.解：（1）設(shè)，，，，由已知，，所以，所以，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以；?）（?。┯梢阎藚^(qū)間內(nèi)，∴，因?yàn)?，所以即為，?，所以即為，所以，所以，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.（ⅱ）記，①，②，①-②為，，.19.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)，橢圓在第一象限上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.（1）求橢圓方程及；（2）證明：；（3）點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求橢圓上任意點(diǎn)到直線的最大距離.（1）解：由已知，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，由，得，所以橢圓方程為，；（2）證明：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，得，由兩點(diǎn)間距離公式得，化簡(jiǎn)得；（3）解：由（2）可知，，所以，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊得,所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值，，設(shè)直線：，，得：，，∴，通過(guò)圖象可得，當(dāng)直線時(shí)，橢圓上任意點(diǎn)到直線的距離最大，即橢圓上任意點(diǎn)到直線的最大距離為.20.已知函數(shù)，，.（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）函數(shù)，若，證明：.（1）解：易知，切線斜率為，所以，由切線方程可得；（2）解：易知，，令，即，∴，令，∴，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.（3）證明：易知，則，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，由已知，∴，，由（2）可知，證畢.天津市河?xùn)|區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求.1.已知集合，，，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知，命題p：，命題q：，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】命題p：即，命題q：即，所以命題能推出命題，而命題不能推出命題，所以p是q的必要不充分條件.故選：C3.如圖所示，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)于A，,,,即函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)，對(duì)于B，，，，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)，對(duì)于C，，，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)，對(duì)于D，，，，是偶函數(shù)，，符合題意，故D正確.故選：D4.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，且，?故選：A.5.2024年12月26日，DeepSeek—V3首個(gè)版本正式上線，截至2025年2月9日，DeepSeekAPP的累計(jì)下載量已超1.1億次，AI成為當(dāng)下的熱門話題.立德中學(xué)高中數(shù)學(xué)社團(tuán)以16至40歲人群使用DeepSeek頻率為課題，分小組自主選題進(jìn)行調(diào)查研究，下列說(shuō)法正確的是（）A.甲小組開展了DeepSeek每周使用頻次與年齡的相關(guān)性研究，經(jīng)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量正線性相關(guān)，但相關(guān)程度很弱B.乙小組利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用頻次y關(guān)于年齡x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，可以推斷年齡為30歲的群體每周使用頻次一定為17次C.丙小組用決定系數(shù)來(lái)比較模型的擬合效果，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的分別約為0.733和0.998，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多D.丁小組研究性別因素是否影響DeepSeek使用頻次，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得到，可以認(rèn)為不同性別的DeepSeek使用頻次沒(méi)有差異【答案】C【解析】對(duì)于A，由絕對(duì)值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)可得A錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，回歸方程為給出的是預(yù)測(cè)值，實(shí)際值會(huì)有隨機(jī)誤差，所以年齡為30歲的群體每周使用頻次不一定為17次，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，表示模型對(duì)因變量解釋比例，大說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多，故C正確；對(duì)于D，，可以認(rèn)為不同性別的DeepSeek使用頻次有差異，故D錯(cuò)誤.故選：C6.已知正方體的邊長(zhǎng)為，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為，則的值為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】易知正方體的外接球半徑為其體對(duì)角線的一半，即，內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，即，由球體的表面積公式及體積公式可知：.故選：A7.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論不正確的為（）A.時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱B.時(shí)，的最小正周期為C.時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)D.時(shí)，在區(qū)間上的最大值為【答案】C【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，取可得，是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，A正確；函數(shù)的最小正周期，B正確；當(dāng)時(shí)，，令可得，所以，所以，，所以，，所以函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)有，，，C錯(cuò)誤；由，可得，所以，故，所以時(shí)，在區(qū)間上的最大值為，此時(shí)，D正確.故選：C.8.我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，N是位數(shù)，小明利用上述方法，根據(jù)判斷是m位數(shù)，則m為（）A.36 B.33 C.32 D.31【答案】D【解析】∵，∴，∴是31位數(shù).故選：D.9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，，的面積為，O為原點(diǎn)，雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，設(shè)軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，①，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)直線與漸近線垂直，則點(diǎn)到直線的距離，則，因，則，，則②，因，即，則③，聯(lián)立①②③得，，則雙曲線的方程為.故選：B二、填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.10.i是復(fù)數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為________.【答案】【解析】，故答案為：11.在的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是________.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)為:，當(dāng)時(shí),即時(shí),可得.即項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.12.軸，軸上的截距分別為的直線與圓交于兩點(diǎn)，則的值為________.【答案】【解析】由題知直線方程為，即，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，所以，故答案為：.13.哪吒系列手辦盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龍王共個(gè)人物手辦，小明隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒（個(gè)盲盒內(nèi)人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龍王的概率________；在包含哪吒且不包含敖丙的條件下，則恰有哪吒父母中的一位的概率為________.【答案】①.②.【解析】從個(gè)人物手辦中，隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，共有種買法，又個(gè)盲盒中，包含哪吒和至少一位龍王有種買法，所以小明隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，其中包含哪吒和至少一位龍王的概率為，記事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：隨機(jī)購(gòu)買個(gè)盲盒，恰有哪吒父母中的一位，則，，所以，故答案為：，.14.《哪吒》的玉虛宮，形態(tài)由九宮八卦陣演變而來(lái)，設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于漢代，內(nèi)飾充滿了中國(guó)文化符號(hào).樹人中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結(jié)合向量知識(shí)進(jìn)行主題探究活動(dòng).如圖，正八邊形，邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)在線段上且，則的值為________；若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)槎噙呅螢檎诉呅?，所以，，，，，，由正八邊形性質(zhì)可得，由已知，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，又，，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在線段上，所以，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，所以，且，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，最小值為，即當(dāng)點(diǎn)為線段的端點(diǎn)或端點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，故答案為：，.15.設(shè)函數(shù)，，若存在，使得，則的最小值為________.【答案】1【解析】因?yàn)椋院愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且存在，使得，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以,即,當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)滿足題意），所以的最小值為1.故答案為：1.三、解答題：本題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在三角形中，角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（1）求邊c的大??；（2）求的值；（3）求邊的值.解：（1）由已知，，，，解為；（2），又，所以；（3），，，.17.在多面體中（如圖所示），底面正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，EA⊥底面，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1.（1）求AD與平面DEF所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)A到平面CEF的距離；（3）AB的中點(diǎn)為G，線段CD上是否存在點(diǎn)P使得PG與平面DEF平行，若存在求PC長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由.解：（1）EA⊥底面，底面正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.所以，，設(shè)平面D