2025屆浙江省紹興市上虞區(qū)高三下學(xué)期５月高考及選考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市上虞區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月高考及選考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)集合M=xx2A．M∩N=? B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=【答案】B【解析】因為x2-x<0，所以xx-1所以M=x對于A、B，M∩N=x0<x<1，故A錯誤，對于C、D，M∪N=N，故CD錯誤；故選：B.2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)z=a+i1+i(iA．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】∵z=a+∴a+12=0∴a=-1，故選B．3．已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則fA．e B．1e C．0 D．【答案】C【解析】因為a,b關(guān)于直線y=x對稱的點為b,a，則1,f1的對稱點為f又f1,1在函數(shù)y=ex的圖象上，故故選：C.4．某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、心理6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法總數(shù)是（

）A．192 B．144 C．124 D．216【答案】A【解析】數(shù)學(xué)課排在上午有C41=4剩下的語文、政治、英語、心理4堂課有A4所以4×2×24=192種.故選：A.5．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）?（

）（注：2≈1.414，A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【解析】設(shè)里氏9.0級和8.0級地震的能量分別是E1和E由題意：lgE1=4.8+1.5×9.0，lg于是lgE所以E1故選：C.6．如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，如果VP-ABCD=163，則求A．4π B．8π C．12π【答案】D【解析】由題意，設(shè)外接球O的半徑為R，則OP=OA=R,AB=2則正四棱錐P-ABCD的體積為V=13Sh=所以球O的表面積為S=4π7．已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2-y22=1的左右焦點，過雙曲線C上一點A3,y0作∠F1AFA．2+233 B．2+33 C【答案】D【解析】由雙曲線C:x2-所以F1-3令x=3，則3-y22=1所以AF因為AB為∠F1A所以F1BF2B=4所以B33,0因為AF2⊥F1所以S1又因為S1解得：r1=2所以S1故選：D.8．已知函數(shù)fx=2x-ax?log2x-3A．12 B．1 C．32 D【答案】B【解析】由題意可知f2f2=4-當(dāng)a=2時，則fx又f12=0，所以b=驗證：fxf'當(dāng)0<x<1時，f'x<0，當(dāng)x>1所以fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞所以fxmin=f1=-3<0所以當(dāng)且僅當(dāng)12<x<2時，f故選：B.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若隨機變量X的方差DX=3B．若隨機變量Y服從兩點分布，且PY=1=C．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,σ2D．若隨機變量η服從二項分布B4,【答案】BC【解析】若DX=3，則D2X+1若隨機變量Y服從兩點分布，則PY=1+PY=0EY=1×1若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,σP(ξ>2)=P(ξ<0)=1-0.84=0.16，P(0<ξ<2)=1-2×0.16=0.68，故C正確；若隨機變量η服從二項分布B4,故D錯誤.故選：BC.10．曲線C:x2+y2=x+yA．曲線C的圖象關(guān)于原點對稱 B．∣AB∣的最大值2C．直線AB與曲線C沒有其它交點 D．曲線C所圍成的面積為π【答案】ABD【解析】對于曲線C，當(dāng)x>0，y>0時，曲線C表示x2+y表示以12,1當(dāng)x>0，y<0時，曲線C表示x2+y表示以12,-1當(dāng)x<0，y>0時，曲線C表示x2+y表示以-12,當(dāng)x<0，y<0時，曲線C表示x2+y表示以-12,-當(dāng)x=y=0時，曲線C(0,0)表示坐標(biāo)原點；即其圖象如圖所示，由圖可知，對于A，因為(-x)2+(-y)即點(x,y)與點(-x,-y)均符合曲線C的方程，所以曲線C關(guān)于原點對稱，A正確；對于B，曲線上兩點之間最大距離，如圖中AB=22，故對于C，直線AB取x=1除了有A1,1,B1,-1，與曲線C有其它交點E曲線C圍成的圖形的面積為4個半圓與1個正方形的面積之和，其面積為4×12π故選：ABD．11．已知數(shù)列ak中ak=Cnkk=1A．若bk=1，則xn=2nC．若bk=-1kk，則數(shù)列xn【答案】AD【解析】對于A：當(dāng)bk=1，則xn所以xn=n對于B：當(dāng)bk=6又n∑k=0C則xn+1xn=7對于C：當(dāng)bk=-1則x1=Cx3所以數(shù)列xn不是常數(shù)列，故C對于D：首先證明Cn考慮多項式1+xn?1+x一方面：代數(shù)式1+xn?1+xn=另一方面：代數(shù)式1+xnxn的系數(shù)為C因為Cnm=Cn所以Cn當(dāng)ak==2n!n!2故選：AD.三、填空題12．已知橢圓C:x2a2+【答案】1【解析】因為橢圓C:x2a所以a=3，則c=a2-故答案為：113．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy【答案】5050【解析】令y=1，所以fx+1所以fx+1即fx-fx-1=xx∈所以f2-f1=2，以上所以fx所以f100故答案為：5050.14．已知平行四邊形ABCD滿足AC2?BD【答案】2【解析】因為平行四邊形ABCD滿足AC又因為ACB所以AC所以2AB2×A則sin∠BAD=故答案為：22四、解答題15．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，D為（1）求證：面B1CD⊥面（2）若直線CE與面B1CD所成角的余弦值為45（1）證明：因為三棱柱ABC-A所以AC=BC，因為D為AB中點，所以CD⊥AB，又因為BB1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以BBB1∩AB=B，B所以CD⊥面AA1B1B所以平面B1CD⊥面（2）解：過點D作Dz//AA1，以設(shè)E-1,0,h，CE=-1,-3,h，設(shè)面DB則n?DB1=0n?所以n=2,0,-1，因為直線CE與面B1所以直線CE與面B1CD所成角的正弦值為35即，即h2解得：h=1或h=4>2（舍去），所以h=1，AE的長為1.16．已知函數(shù)fx=aln（1）若y=fx在x=e處的切線方程為y=2（2）討論fx的單調(diào)性解：（1）由f'(x)=a依題意，f'(解得a=2m=-2（2）fx的定義域為0,+∞，當(dāng)a≤0時，恒有f'x<0，故f②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=a由f'x>0，得0<x<a；由f故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a17．在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S且4S=3（1）求角B的大?。唬?）設(shè)點M是三角形內(nèi)一點，且BM=2，∠MBC=π4，過點M作直線l分別交BA，BC（或延長線）于點P，Q，求解：（1）由余弦定理可得cosB=a2又S=12acsinB即tanB=3，且B∈0,（2）設(shè)∠BMQ=θ，則θ∈0,34在△BQM中，由正弦定理可得BMsin則MQ=BM?則1MQ由∠BMQ=θ可得∠BPM=θ-π且sinπcosπ在△BPM中，由正弦定理可得BMsin則MP=2所以1MP則1MP且θ∈0,34π，所以當(dāng)θ=π2時，即18．已知拋物線C:y2=2px（1）求拋物線方程；（2）設(shè)點Am,-1是該拋物線上一定點，過點A作互相垂直的直線分別交拋物線C于點B，C，連接BC（?。┣笞C：直線BC恒過一定點；（ⅱ）過點A，B，C分別作切線，三條切線兩兩相交于P，Q，R，若△PQR的面積為32，求直線BC解：（1）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為因為焦點到準(zhǔn)線的距離是12，所以p=所以拋物線方程為y2（2）因為點Am,-1在拋物線y2=x上，所以m=1（?。┰O(shè)直線BC的方程為x=ty+n，Bx1,聯(lián)立x=ty+ny2=x得y2-ty-n=0AB=x1因為AB⊥AC，所以AB?AC=0又x1=y12所以y1因為y1≠-1，y2所以y1y2-y所以x=ty+2-t=ty-1所以直線BC恒過定點2,1；（ⅱ）對y2=x兩邊求導(dǎo)的2y?y在點A1,-1處的切線的斜率k所以切線方程為y+1=-12x-1在點Bx1,所以切線方程為y-y1=又x1=y在點Cx2,設(shè)Px聯(lián)立x+2y+1=0x-2y1y+y聯(lián)立x+2y+1=0x-2y2y+y聯(lián)立x-2y1y+y1所以PQ=5點R到直線x+2y+1=0的距離為d=x所以12?-n+t+1解得t=2，所以直線BC的方程的方程為x-2y=0.19．已知數(shù)列an滿足：①an∈Z，②∣an+1-an∣≤1，則稱數(shù)列an（1）若a3=2，寫出（2）當(dāng)a1=0，n=2026時，設(shè)p:a2026=2025；q:Ω數(shù)列（3）若Ω數(shù)列an符合a1=0且an≠an+1，記集合M=iSi=0解：（1）因為數(shù)列an滿足：①an∈Z故由a3=2，得a2若a2=1，則a1若a2=2，則a1若a2=3，則a1綜合所述，a1的可能取值為0,1（2）p是q的充分不必要條件，即條件p能夠推出條件q，但條件q推不出條件p，下面證明：先證明條件q推不出條件p，因為an為等差數(shù)列，且為Ω因為a1=0，所以常數(shù)列an此時a2026=0，故條件q推不出條件再證明條件p能夠推出條件q，數(shù)列an滿足：①an∈Z，②|a因為從a1=0到a在2026項的約束下，要滿足an∈Z，∣即該數(shù)列只能是：0,1,2,...,2025，因此“Ω數(shù)列”an為等差數(shù)列，即條件p能夠推出條件q綜上所述，p是q的充分不必要條件，（3）a1當(dāng)n≥2時，令a2k-1=(-1)當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列an：0,-此時S1=0，S2=1，S3此時M={1,3P=(當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列an：0,1此時S1=0，S2=1，此時M={1,3P=(對于所有n≥2：當(dāng)n為奇數(shù)時，n+14n≥n-24(n-1)；當(dāng)因此，概率的最大值為：P浙江省紹興市上虞區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月高考及選考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)集合M=xx2A．M∩N=? B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=【答案】B【解析】因為x2-x<0，所以xx-1所以M=x對于A、B，M∩N=x0<x<1，故A錯誤，對于C、D，M∪N=N，故CD錯誤；故選：B.2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)z=a+i1+i(iA．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【解析】∵z=a+∴a+12=0∴a=-1，故選B．3．已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則fA．e B．1e C．0 D．【答案】C【解析】因為a,b關(guān)于直線y=x對稱的點為b,a，則1,f1的對稱點為f又f1,1在函數(shù)y=ex的圖象上，故故選：C.4．某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、心理6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同排法總數(shù)是（

）A．192 B．144 C．124 D．216【答案】A【解析】數(shù)學(xué)課排在上午有C41=4剩下的語文、政治、英語、心理4堂課有A4所以4×2×24=192種.故選：A.5．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）?（

）（注：2≈1.414，A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【解析】設(shè)里氏9.0級和8.0級地震的能量分別是E1和E由題意：lgE1=4.8+1.5×9.0，lg于是lgE所以E1故選：C.6．如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，如果VP-ABCD=163，則求A．4π B．8π C．12π【答案】D【解析】由題意，設(shè)外接球O的半徑為R，則OP=OA=R,AB=2則正四棱錐P-ABCD的體積為V=13Sh=所以球O的表面積為S=4π7．已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2-y22=1的左右焦點，過雙曲線C上一點A3,y0作∠F1AFA．2+233 B．2+33 C【答案】D【解析】由雙曲線C:x2-所以F1-3令x=3，則3-y22=1所以AF因為AB為∠F1A所以F1BF2B=4所以B33,0因為AF2⊥F1所以S1又因為S1解得：r1=2所以S1故選：D.8．已知函數(shù)fx=2x-ax?log2x-3A．12 B．1 C．32 D【答案】B【解析】由題意可知f2f2=4-當(dāng)a=2時，則fx又f12=0，所以b=驗證：fxf'當(dāng)0<x<1時，f'x<0，當(dāng)x>1所以fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞所以fxmin=f1=-3<0所以當(dāng)且僅當(dāng)12<x<2時，f故選：B.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若隨機變量X的方差DX=3B．若隨機變量Y服從兩點分布，且PY=1=C．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,σ2D．若隨機變量η服從二項分布B4,【答案】BC【解析】若DX=3，則D2X+1若隨機變量Y服從兩點分布，則PY=1+PY=0EY=1×1若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,σP(ξ>2)=P(ξ<0)=1-0.84=0.16，P(0<ξ<2)=1-2×0.16=0.68，故C正確；若隨機變量η服從二項分布B4,故D錯誤.故選：BC.10．曲線C:x2+y2=x+yA．曲線C的圖象關(guān)于原點對稱 B．∣AB∣的最大值2C．直線AB與曲線C沒有其它交點 D．曲線C所圍成的面積為π【答案】ABD【解析】對于曲線C，當(dāng)x>0，y>0時，曲線C表示x2+y表示以12,1當(dāng)x>0，y<0時，曲線C表示x2+y表示以12,-1當(dāng)x<0，y>0時，曲線C表示x2+y表示以-12,當(dāng)x<0，y<0時，曲線C表示x2+y表示以-12,-當(dāng)x=y=0時，曲線C(0,0)表示坐標(biāo)原點；即其圖象如圖所示，由圖可知，對于A，因為(-x)2+(-y)即點(x,y)與點(-x,-y)均符合曲線C的方程，所以曲線C關(guān)于原點對稱，A正確；對于B，曲線上兩點之間最大距離，如圖中AB=22，故對于C，直線AB取x=1除了有A1,1,B1,-1，與曲線C有其它交點E曲線C圍成的圖形的面積為4個半圓與1個正方形的面積之和，其面積為4×12π故選：ABD．11．已知數(shù)列ak中ak=Cnkk=1A．若bk=1，則xn=2nC．若bk=-1kk，則數(shù)列xn【答案】AD【解析】對于A：當(dāng)bk=1，則xn所以xn=n對于B：當(dāng)bk=6又n∑k=0C則xn+1xn=7對于C：當(dāng)bk=-1則x1=Cx3所以數(shù)列xn不是常數(shù)列，故C對于D：首先證明Cn考慮多項式1+xn?1+x一方面：代數(shù)式1+xn?1+xn=另一方面：代數(shù)式1+xnxn的系數(shù)為C因為Cnm=Cn所以Cn當(dāng)ak==2n!n!2故選：AD.三、填空題12．已知橢圓C:x2a2+【答案】1【解析】因為橢圓C:x2a所以a=3，則c=a2-故答案為：113．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy【答案】5050【解析】令y=1，所以fx+1所以fx+1即fx-fx-1=xx∈所以f2-f1=2，以上所以fx所以f100故答案為：5050.14．已知平行四邊形ABCD滿足AC2?BD【答案】2【解析】因為平行四邊形ABCD滿足AC又因為ACB所以AC所以2AB2×A則sin∠BAD=故答案為：22四、解答題15．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，D為（1）求證：面B1CD⊥面（2）若直線CE與面B1CD所成角的余弦值為45（1）證明：因為三棱柱ABC-A所以AC=BC，因為D為AB中點，所以CD⊥AB，又因為BB1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以BBB1∩AB=B，B所以CD⊥面AA1B1B所以平面B1CD⊥面（2）解：過點D作Dz//AA1，以設(shè)E-1,0,h，CE=-1,-3,h，設(shè)面DB則n?DB1=0n?所以n=2,0,-1，因為直線CE與面B1所以直線CE與面B1CD所成角的正弦值為35即，即h2解得：h=1或h=4>2（舍去），所以h=1，AE的長為1.16．已知函數(shù)fx=aln（1）若y=fx在x=e處的切線方程為y=2（2）討論fx的單調(diào)性解：（1）由f'(x)=a依題意，f'(解得a=2m=-2（2）fx的定義域為0,+∞，當(dāng)a≤0時，恒有f'x<0，故f②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=a由f'x>0，得0<x<a；由f故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為a,+∞，單調(diào)遞增區(qū)間為0,a17．在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S且4S=3（1）求角B的大??；（2）設(shè)點M是三角形內(nèi)一點，且BM=2，∠MBC=π4，過點M作直線l分別交BA，BC（或延長線）于點P，Q，求解：（1）由余弦定理可得cosB=a2又S=12acsinB即tanB=3，且B∈0,（2）設(shè)∠BMQ=θ，則θ∈0,34在△BQM中，由正弦定理可得BMsin則MQ=BM?則1MQ由∠BMQ=θ可得∠BPM=θ-π且sinπcosπ在△BPM中，由正弦定理可得BMsin則MP=2所以1MP則1MP且θ∈0,34π，所以當(dāng)θ=π2時，即18．已知拋物線C:y2=2px（1）求拋物線方程；（2）設(shè)點Am,-1是該拋物線上一定點，過點A作互相垂直的直線分別交拋物線C于點B，C，連接BC（?。┣笞C：直線BC恒過一定點；（ⅱ）過點A，B，C分別作切線，三條切線兩兩相交于P，Q，R，若△PQR的面積為32，求直線BC解：（1）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為因為焦點到準(zhǔn)線的距離是12，所以p=所以拋物線方程為y2（2）因為點Am,-1在拋物線y2=x上，所以m=1（?。┰O(shè)直線BC的方程為x=ty+n，Bx1,聯(lián)立x