2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編：第二道解答題（第17題）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編第二道解答題（第17題）一、解答題1．（2025北京高考真題）如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．(1)若分別為的中點(diǎn)，求證：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直線(xiàn)AB與平面PCD所成角的正弦值．2．（2024北京高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線(xiàn)段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．3．（2023北京高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．（2022北京高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線(xiàn)AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．5．（2021北京高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．

參考答案1．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與△ABC為等腰直角三角形且，不妨設(shè)，..E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，且.，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，，取，，.設(shè)AB與平面PCD所成角為，則，即AB與平面PCD所成角的正弦值為.2．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線(xiàn)面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為3．(1).(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【詳解】（1）因?yàn)樗?，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以無(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．4．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫?，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)椋势矫?，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.5．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線(xiàn)的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線(xiàn)交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則