2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編：第三道解答題（第18題）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編第三道解答題（第18題）一、解答題1．（2025北京高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒(méi)有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.2．（2024北京高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）3．（2023北京高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）4．（2022北京高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）5．（2021北京高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

參考答案1．(1)(2)，(3)【分析】（1）用頻率估計(jì)概率即可求解；（2）利用獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【詳解】（1）估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率.（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故.2．(1)(2)(i)0.122萬(wàn)元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬(wàn)元）.（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，故（萬(wàn)元），從而.3．(1)(2)(3)不變【分析】（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；（2）分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；（3）通過(guò)統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計(jì)第次不變的概率最大.4．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.5．（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，