2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編：第四道解答題（第19題）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編第四道解答題（第19題）一、解答題1．（2025北京高考真題）已知橢圓的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線與直線，分別交于點(diǎn)A，B．設(shè)與的面積分別為，比較與的大?。?．（2024北京高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．3．（2023北京高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．4．（2022北京高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．5．（2021北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．

參考答案1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【詳解】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓E的方程為；（2）聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡(jiǎn)為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，若，則，由對(duì)稱性，不妨取，則，，，所以，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.2．(1)(2)【分析】（1）由題意得，進(jìn)一步得，由此即可得解；（2）設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理有，而，令，即可得解.【詳解】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時(shí)應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)或.3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.4．(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過(guò)點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得5．（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，