2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編：壓軸填空（第15題）

第1頁/共1頁2021-2025北京高考真題數(shù)學(xué)匯編壓軸填空（第15題）一、填空題1．（2025北京高考真題）關(guān)于定義域為的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．其中正確結(jié)論的序號是．2．（2024北京高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.3．（2023北京高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．4．（2022北京高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．5．（2021北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．

參考答案1．②③【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳解】對于①，若存在在上的增函數(shù)，滿足，則，即，故時，，故，故即，矛盾，故①錯誤；對于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對于③，取，此時，由可得有無窮多個，故③正確；對于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③2．①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.對于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.對于③，設(shè)，，若中至少四個元素，則關(guān)于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，若，則由和的散點圖可得關(guān)于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個奇數(shù)解，因為，不可能同時成立，故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，取，則,故③正確.對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.3．②③【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳解】依題意，，當(dāng)時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當(dāng)時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當(dāng)時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，顯然取得最大值；當(dāng)時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，易知當(dāng)時，在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時，，當(dāng)且接近于處，，此時，，當(dāng)時，且接近于處，的距離最小，此時；故③正確；對于④，取，則的圖像如下，

因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當(dāng)時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進(jìn)行排除即可.4．①③④【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).5．①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根