變化率問題課件-高二上學期數學人教A版選擇性

一元函數的導數及應用人教A版2019選擇性必修第二冊

第五章微積分簡介描述現實世界中的運動、變化現象函數引入動態(tài)現象刻畫深入研究微積分具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數學史上的里程碑.已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時間的函數，求速度與路程求曲線的切線求函數的最大值與最小值求長度、面積、體積和重心等章前導讀微積分的創(chuàng)立與處理四類科學問題直接相關1求物體在任意時刻的速度與加速度2求曲線的切線3求函數的最大值與最小值4求長度、面積、體積和重心等

導數是微積分的核心概念之一，是現代數學的基本概念，蘊含著微積分的基本思想；導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數增減、變化快慢、最大（?。┲档刃再|的基本方法.本章知識框架豐富的實際背景和具體實例導數的概念導數的基本運算導數研究函數的性質導數解決實際問題極限的思想章前導讀5.1.1變化率問題人教A版2019選擇性必修第二冊

一二三學習目標會求函數在某一點附近的平均變化率，理解函數的平均變化率，瞬時變化率及瞬時速度的概念會求拋物線的切線斜率，體會數學的極限思想通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)起數學抽象、邏輯推理及數學運算的核心素養(yǎng).學習目標課堂導入

在必修第一冊中，我們研究了函數的單調性，并利用函數單調性等知識定性地研究了一次函數、指數函數、對數函數增長速度的差異，知道“對數增長”是越來越慢的，“指數爆炸”比“直線上升”快得多.進一步地，能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢？下面我們就來研究這個問題.變化率：一個變量相對于另一個變量的變化而變化的快慢程度叫做變化率.創(chuàng)設情境問題1

高臺跳水運動員的速度新知探究變化率問題問題1

高臺跳水運動員的速度

在一次高臺跳水運動中,某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系：

如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？

新知探究請計算對應時間段的平均速度：新知探究

要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度．再計算：追問1：(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)平均速度能準確反映運動員的運動狀態(tài)嗎?(1)在這段時間內，運動員并不處于靜止狀態(tài).(2)用平均速度不能準確反映運動員在這段時間內里的運動狀態(tài).新知探究為了精確刻畫運動員的運動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度(instantaneousvelocity).追問2瞬時速度與平均速度有什么關系?你能利用這種關系求運動員在t=1s時的瞬時速度嗎?

新知探究追問3運動員在t=1s時的瞬時速度是多少？Δt是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.新知探究為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

通過觀察可得，當?t無限趨近于0，即無論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度都無限趨近于－5.

通過觀察可得，當?t無限趨近于0，即無論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度都無限趨近于－5.新知探究追問4你認為上述列表計算瞬時速度的過程可靠嗎?

歸納總結

追問5

你能用上述方法計算t=t0時刻的瞬時速度嗎？

追問5

你能用上述方法計算t=t0時刻的瞬時速度嗎？

新知探究瞬時速度的本質是：平均速度的極限思考：

平均速度與瞬時速度的關系？瞬時速度1.瞬時速度：物體在

的速度稱為瞬時速度.2.瞬時速度的計算：設物體運動的時間與位移的函數關系式為y＝h(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為________

.注意點：Δt可正，可負，但不能為0.某一時刻(1)平均速度：(2)瞬時速度：概念生成平均速度與瞬時速度

例

火箭發(fā)射ts后，其高度（單位：m)為h(t)=0.9t2.

求：(1)在1≤t≤2這段時間里，火箭爬高的平均速度；(2)發(fā)射后第10s時，火箭爬高的瞬時速度.

典例解析教材60頁練習2思考：(1)如果一條直線與一條曲線只有一個公共點，那么

這條直線與這條曲線一定相切嗎？(2)如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只

一個公共點嗎？新知探究

如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？不一定不一定

因此，我們不能像研究直線和圓的位置關系那樣，通過公共點的個數來定義相切了.問題2

拋物線切線斜率y=x2x=1y=x2Oyx新知探究

我們發(fā)現，當點P__________________，割線P0P____________________位置.觀察

如圖，當點P(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點P0(1,1)時，割線P0P有什么變化趨勢?新知探究無限趨近于一個確定的無限趨近于點P0時這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點P0(1,1)處的切線．T

新知探究切線位置割線位置無限逼近切線斜率割線斜率無限逼近取極限

記點P的橫坐標x＝1＋Δx，則點P的坐標即為(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割線P0P的斜率

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|?x|來提高近似表示的精確度新知探究

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|?x|來提高近似表示的精確度，得到如下表格：?x<0?x>0?x?x

通過觀察可得，當?x無限趨近于0，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線P0P的斜率k近都無限趨近于2.新知探究事實上，由可以發(fā)現，當?x在無限趨近于0時，無限趨近于2，我們把2叫做“當△x無限趨近于0時，的極限”，記為

從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T

.

割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線的斜率k0.

因此，切線P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T

瞬時速度的本質是：平均速度的極限切線斜率的本質是：割線斜率的極限故拋物線在點P0(x0，x02)處的切線斜率為2x0.新知探究切線斜率1.切線斜率：以曲線上一點為切點且與曲線相切的直線的斜率；2.切線斜率的計算：設P0(x0，y0)是曲線y＝f(x)上一點，則曲線y＝f(x)在點P0(x0，y0)處的切線的斜率為k切＝

.注意：Δx可正，可負，但不能為0.切線斜率的本質是：割線斜率的極限思考：

割線斜率與切線斜率的關系？(1)割線斜率：(2)切線斜率：概念生成切線斜率與割線斜率思考觀察問題1中的函數的圖象，平均速度

的幾何意義是什么?瞬時速度v(1)呢?th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))觀察思考例

求拋物線f(x)＝x2－x在點(2,2)處的切線斜率？解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2

＝3Δx＋(Δx)2，(1)一差；(2)二比；(3)三極限。典例解析解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2

＝3Δx＋(Δx)2，(1)一差；(2)二比；(3)三極限。典例解析變式：

求拋物線f(x)＝x2－x在點(2,2)處的切線方程？所以切線的方程為y－2＝3×(x－2)，即y＝3x－4.(4)利用點斜式寫方程課堂小結瞬時速度的本質是：平均速度的極限平均速