專項復習：一元二次方程（知識梳理與考點分類講解）

一元二次方程（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】一元二次方程有關概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點說明：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．【知識點2】一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點說明：解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．【知識點3】一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點說明：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據參系數(shù)的性質確定根的范圍；

(3)解與根有關的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．【知識點3】列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

3.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.

要點說明：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學問題（列方程），然后由數(shù)學問題的解決而獲得對實際問題的解決.【考點一】一元二次方程???有關概念【例1】已知a是一元二次方程的根．求代數(shù)式的值．【答案】6【分析】先根據平方差公式和單項式乘以多項式的法則計算原式，然后根據方程根的定義可得，再結合化簡后的式子整體代入求解即可．解：，∵a是一元二次方程的根，∴，即，∴原式．【點撥】本題考查了一元二次方程根的定義、整式的乘法運算和代數(shù)式求值，熟練掌握整式的運算法則、掌握整體代入的方法是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】已知．（1）化簡；（2）若是一元二次方程的解，求的值．【答案】(1)；(2)13【分析】（1）分別計算單項式乘多項式、完全平方，然后進行加減運算即可；（2）由題意知，即，根據，計算求解即可（1）解：，∴；（2）解：∵是一元二次方程的解，∴，即，∴；∴的值為13．【點撥】本題考查了整式的加減運算，一元二次方程的根，代數(shù)式求值等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式2】先化簡，再求值：，其中是方程的根．【答案】，【分析】先根據異分母分式的加減法則，化簡分式，再根據是方程的根得到，整體代入進行計算即可得到答案．解：，是方程的根，，，原式．【點撥】本題主要考查了分式的化簡求值，解一元二次方程，熟練掌握異分母分式的加減的運算法則，以及一元二次方程的解法，整體代入法，是解題的關鍵．【考點二】一元二次方程的解法【例2】解方程：（1） (2)【答案】(1)，；(2)無實數(shù)根【分析】（1）利用直接開平方法即可求解；（2）利用公式法計算即可．（1）解：（2）解：∵，，∴，；原方程無實數(shù)根【點撥】本題主要考查了一元二次方程的求解，準確計算是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】解一元二次方程： (2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）由配方法解方程即可得出答案；（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．（1）解：，（2），，，，，，，．∴或，∴，；∴，．【點撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式2】解方程 (2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）移項，利用平方差公式分解因式求解可得；（2）用公式法進行求解可得．（1）解：∵，（2）解：∴，∵，即，∴，則或，∴，．解得，；【點撥】本題考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法是解題的關鍵．【例3】解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解：方程兩邊同乘，得，整理得，，∴，解得：，，檢驗：當時，，是增根，當時，，原方程的解為．【點撥】本題考查了分式方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】解方程：【答案】【分析】先移項將原方程進行變形，再等式兩邊平方得到，然后整理解一元二次方程即可解答．解：移項：，兩邊平方：，整理得：，解得：．經檢驗：是原方程的根，是增根，舍去．所以，原方程的根是．【點撥】本題主要考查了解一元二次方程，將原方程化成一元二次方程是解答本題的關鍵．【變式2】解下列方程； (2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可求解；（2）先去分母化分式方程為整式方程，解整式方程求得x的值，代入最簡公分母檢驗即可得．（1）解：（2）兩邊同時乘以得：∵，，，，∴．，∴．．∴．檢驗：當時，．∴為原方程的解．【點撥】本題考查解一元二次方程和分式方程，解題的關鍵是掌握解方程的方法，正確求解．【考點三】一元二次方程根的判別式【例4】已知關于x的方程有實數(shù)根．求m的取值范圍；當時，求方程的根．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據判別式不小于零，解不等式即可；（2）將m的值代入，求解方程即可．（1）解：（1）∵關于x的方程有實數(shù)根，∴．解得．（2）解：（2）當時，原方程為．即，∴，，∴方程的根為0，2；【點撥】本題考查了一元二次方程的跟的判別式，一元二次方程的解法，是考試中?？嫉目键c.【舉一反三】【變式】已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．【答案】(1)且；(2)，【分析】（1）根據題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當時，原方程變?yōu)椋?，則有：，，，方程的根為，．【點撥】本題考查了根據根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關鍵．【例5】已知關于的一元二次方程.(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有一個根是，求方程的另一個根．【答案】(1)見分析；(2)方程另一個根為【分析】（1）根據方程的系數(shù)結合根的判別式得出，由此可證出方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將1代入方程可得方程為，解方程即可求出另一個根；解：（1）∵，

∴，，

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵1是一元二次方程的一個根，∴，∴

，

∴，∴∴，

，

∴方程另一個根為．【點撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，解答本題的關鍵是能夠熟記根判別式，熟練解答一元二次方程．【舉一反三】【變式】已知關于的一元二次方程．（m為實數(shù)）（1）求證：無論m取何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）該方程的兩個實數(shù)根為、（），若，求正數(shù)m的值．【答案】(1)見分析；(2)【分析】（1）直接根據根的判別式證明即可；（2）先根據根與系數(shù)的關系求出，的值，再根據完全平方公式的變形求解即可．解：（1）∵∴∴無論m取何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵方程的兩個實數(shù)根為、∴，∵∴∴∴∴∴解得或（舍去）．【點撥】本題考查了根的判別式，熟練掌握判別式與根的關系是解題的關鍵．當判別式時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當判別式時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當判別式時，一元二次方程沒有實數(shù)根．一元二次方程根與系數(shù)的關系：，．【考點四】一元二次方程根與系數(shù)關系【例6】關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若的兩條直角邊的長恰好是此方程的兩個實數(shù)根，斜邊，求的周長．【答案】(1)；(2)14【分析】（1）由一元二次方程有兩個實數(shù)根，結合根的判別式可得出，解之即可得出結論；（2）根據題意，設的兩條直角邊分別為，由根與系數(shù)的關系可得出、，結合勾股定理可得出關于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的兩根是對應的直角邊長，均為正值，可確定的值，再根據三角形的周長公式即可求出結論．（1）解：關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，解得：；（2）解：設的兩條直角邊分別為，，是方程的兩個實數(shù)根，，，，即，解得或，由于是直角三角形的兩條直角邊，從而有，即，，這個三角形的周長為．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）由方程有兩個實數(shù)根找出；（2）利用根與系數(shù)的關系結合勾股定理找出．【舉一反三】【變式1】已知關于的一元二次方程．（1）求證無論實數(shù)取何值，此方程一定有兩個實數(shù)根；（2）設此方程的兩個實數(shù)根分別為，，若，求的值．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）根據題意證明，即可證明方程一定有兩個實數(shù)根；（2）根據，，把變形為：，即可．解：（1）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，∴，∴無論實數(shù)m取何值，此方程一定有兩個實數(shù)根．（2）∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查一元二次方程的知識，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系．【變式2】公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔3月份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售256個，5月份銷售400個，且從3月份到5月份銷售量的月增長率均為．（1）求月增長率r；（2）經在市場中調查，若此種頭盔的進價為30元/個時，定價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【答案】(1)；(2)50【分析】（1）根據5月份銷售量3月份銷售量建立方程，解方程即可得；（2）設該品牌頭盔的實際售價應定為元/個，從而可得月銷售量，再根據利潤（實際售價進價）月銷售量建立方程，解方程即可得．（1）解：由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），答：月增長率為．（2）解：設該品牌頭盔的實際售價應定為元/個，則月銷售量為（個），由題意得：，解得或，要盡可能讓顧客得到實惠，，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．【考點五】一元二次方程根的應用【例7】2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率．從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客．經試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？【答案】(1)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為；(2)該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元【分析】（1）設4月份到6月份的月平均增長率為，根據4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件，可列方程，求解即可；（2）設該款吉祥物降價元，根據單個商品的利潤銷售量總利潤列方程求解即可．（1）解：設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為．則解得，（舍去）答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為．（2）解：設該款吉祥物降價元．則解得，（舍去）∴元，答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系、正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】某水果商場經銷一種高檔水果，原售價每千克50元．連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？【答案】(1)每次下降的百分率為；(2)每千克水果應漲價5元，盈利6000元．【分析】（1）設每次降價的百分率為，列出方程求解即可；（2）設每千克漲價元，根據題意列出一元二次方程，解方程即可求解．（1）解：設每次下降百分率為，根據題意，得，解得：，(不合題意，舍去)．答：每次下降的百分率為；（2）設每千克漲價x元，由題意得：解得：或，∵商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，且要盡快減少庫存，∴，答：每千克水果應漲價5元，盈利6000元．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．【變式2】如圖，某農場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為米和米．該農場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，用總長米的木欄圍成，中間預留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門，設長x米．

寫出的長（用含x的代數(shù)式表示）．若飼養(yǎng)場的面積為平方米，求x的值．【答案】(1)米；(2)米【分析】（1）用（總長個1米的門的寬度）即為所求；（2）由（1）表示飼養(yǎng)場面積計算即可．（1）解：如圖，∵，∴，∴，即長度為米；（2