作輔助線證明三角形全等-倍長中線（基礎(chǔ)篇）

2/2作輔助線證明三角形全等-倍長中線（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中線，則AD的取值范圍是（

）A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<162．在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．二、填空題3．已知三角形的兩邊長分別是2和4，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是______．4．如圖，在中，，，則中線的取值范圍是__________．5．如圖所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中線，若AD的長為偶數(shù)，則AD＝_____．6．是中邊上的中線，若，，則的取值范圍是______.三、解答題7．已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．8．如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．9．閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證：．（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點，延長至，使得，求證：．10．如圖，已知，點是的中點，且，求證：．11．如圖所示，在中，交于點，點是中點，EF∥AD交的延長線于點，交于點，若，求證：為的平分線.12．如圖所示，為的角平分線，分別在上，，若．求證：．13．已知：如圖所示，在中，為中線，交分別于，如果，求證：．14．某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．15．如圖，中，是邊的中點，過點作交的延長線于點．求證:是的中點．證明:(已知)，_(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，是邊的中點，(_），(_），在和中，，()，(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，是的中點．16．（1）是的中線，，則的取值范圍是__________．（2）在（1）問的啟發(fā)下，解決下列問題：如圖，是的中線，交于，交于，且，求證：．17．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．參考答案1．B【分析】延長AD到E，使AD=DE，連結(jié)BE，證明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論．解：延長AD到E，使AD=DE，連結(jié)BE．∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB-BE＜AE＜AB+BE，∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．故選：B【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中線的性質(zhì)的運用，三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．2．C【分析】延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．1＜x＜3【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解．解：如圖所示，AB＝2，AC＝4，延長AD至E，使AD＝DE，在△BDE與△CDA中，∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE＝2x，BE＝AC＝4，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，∴1＜x＜3．故答案為：1＜x＜3．【點撥】本題考查了三角形的中線、三角形三邊關(guān)系，有關(guān)三角形的中線問題，通常要倍數(shù)延長三角形的中線，把三角形的一邊變換到與另一邊和中線的兩倍組成三角形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．2＜AD＜7【分析】作出圖形，延長AD至E，是DE=AD，連接CE，然后根據(jù)“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊求出AE的取值范圍，從而得解．解：如圖，延長AD至E，是DE=AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AB=9，AC=5，9-5=4，9+5=14，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故答案為：2＜AD＜7．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，將中線AD延長得AD=DE進而求出是解題的關(guān)鍵．5．2或4【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三邊關(guān)系可得1＜AD＜5，即可求解．解：延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，∵AD為偶數(shù)，∴AD＝2或4，故答案為2或4．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)倍長中線這個輔助線作法得到三角形全等，進而求解即可．6．【分析】延長AD到E，使DE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE＝AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，∵，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝4，AC＝6，∴6?4＜AE＜6＋4，即2＜AE＜10，故答案為：1＜AD＜5．【點撥】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（1）見分析；（2），見分析【分析】（1）直接延長CB到點E，使BE=BD即可；（2）延長至點，使得，連接，可證得，則，再通過證明，可得到，從而得到即可．解：（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：證明如下：延長至點，使得，連接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及倍長中線的模型，熟記基本模型是解題關(guān)鍵．9．（1）；（2）見分析；（3）見分析．【分析】（1）如圖1延長到點，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，解：（1）如圖1延長到點，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△

EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點撥】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線轉(zhuǎn)化線段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，10．證明見分析【分析】延長AE、BC交于點M，利用AAS證出△ADE≌△MCE，從而得出AD=MC，AE=ME，結(jié)合已知條件即可證出BM=AB，再利用SSS即可證出△BAE≌△BME，從而得出∠BEA=∠BEM，根據(jù)垂直定義即可證出結(jié)論．解：延長AE、BC交于點M，如下圖所示∵點是的中點，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴【點撥】此題考的是全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和垂直的定義，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和垂直的定義是解題關(guān)鍵．11．見分析【分析】延長FE，截取EH=EG，連接CH，可證△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，進一步證明，最后由平行線的性質(zhì)即可證得∠CAD=∠BAD，即可解題．解：證明：延長FE，截取EH=EG，連接CH，∵E是BC中點，∴BE=CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，BG=CH∵BG=CF∴CH=CF∴∴∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠BAC．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，本題中求證△BEG≌△CEH是解題的關(guān)鍵．12．詳見分析【分析】延長FD至G，使，連結(jié)CG，可證，則EF=CG，利用全等三角形和角平分線以及平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊得AC=CG，即可得出結(jié)論.解：證明：延長FD至G，使，連結(jié)CG，∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，∴，，，，又，，，.【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證△EDF與△CDG全等．13．詳見分析【分析】根據(jù)點D是BC的中點，延長AD到點G，得到，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進行等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．解：延長ED至G，使，連結(jié)GC，∵在中，為中線，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∴，，，，，．又，∴，∴.【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)建全等三角形．14．(1)對頂角相等；BD；SAS(2)(3)【分析】（1）延長AD到點E，使DE=AD，根據(jù)SAS定理證明△ABD≌△ECD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計算；（3）延長AD交EC的延長線于F，證明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．解：(1)延長AD到點E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（對頂角相等）CD＝BD（中點定義）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案為：對頂角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案為；(3)延長AD交EC的延長線于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【點撥】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件．15．；線段中點的定義；【分析】利用中線類倍長的基本模型進行證明，結(jié)合平行線的性質(zhì)進行論證．解：(已知)，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，是邊的中點，(線段