高中數(shù)學古典概型課件+-2024-2025學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.3古典概型復習回顧事件的關系或運算含義符號表示包含相等并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立

互為對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定互為對立.

A與B至少一個發(fā)生A與B同時發(fā)生A?B或A+BA?BA=BA?B=ABA與B不能同時發(fā)生A與B有且僅有一個發(fā)生A?B=?A?B=?，A?B=ΩA?B且B?A1.利用生活實例判斷并得出古典概型的概念；2.理解古典概型的概念及特點；3.掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率計算問題；4.結合具體實例，理解古典概型，能夠正確判斷古典概型，計算事件的概率。學習目標新知講解研究隨機現(xiàn)象，最重要的是知道隨機事件發(fā)生的可能性大?。畬﹄S機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．我們知道，通過試驗和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計．但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值．能否通過建立適當?shù)臄?shù)學模型，直接計算隨機事件的概率呢?新知講解探究：在10.1.1節(jié)中，我們討論過彩票搖號試驗、拋擲一枚均勻硬幣的試驗及擲一枚質地均勻骰子的試驗.它們的共同特征有哪些？試驗1：擲一枚質地均勻的硬幣一次,

出現(xiàn)的結果：2種正面朝上反面朝上試驗2：擲一顆質地均勻的骰子一次,

出現(xiàn)的結果：6種1點2點3點4點5點6點①樣本空間的樣本點只有有限個②每個樣本點發(fā)生的可能性相等；特點：①有限性

②等可能性新知講解——古典概型一、古典概型：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等；

將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.鞏固練習1.判斷下列概率模型是否是古典概型：(1)從區(qū)間[1,10]內任意取出一個實數(shù)，求取到實數(shù)2的概率；(2)從區(qū)間[1,10]內任意取出一個整數(shù)，求取到2的概率；(3)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；(4)擲一枚質地均勻的骰子的試驗中，求事件“出現(xiàn)的點數(shù)是2的倍數(shù)”的概率(5)某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果有：“命中10環(huán)”、“命中9環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”。不符合有限性不符合等可能性是古典概型的特點：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等；是不符合等可能性鞏固練習2.下列試驗中，屬于古典概型的是（

）A．在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的所有點中任取一點B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．一只使用中的燈泡壽命長短不符合等可能性不符合有限性不符合有限性和等可能性C符合有限性和等可能性新知講解

這兩個試驗是古典概型嗎？對于問題(1)：

從40名學生中選1名學生，即樣本點是有限個；隨機選取，即選到每個學生的可能性都相等；

故這是一個古典概型。抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級學生數(shù)中所占的比例大小.因此，可以用男生數(shù)與班級學生數(shù)的比值來度量.樣本空間中有40個樣本點事件A包含18個樣本點新知講解

對于問題(2)，我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗的樣本空間共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，這是一個古典概型。

事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個事件包含的樣本點在樣本空間包含的樣本點中所占的比例大小B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}所以事件B發(fā)生的可能性大小為Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},新知講解——古典概型概率的計算公式

典例分析例7：單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案．假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少?解:試驗有選A、選B、選C、選D共4種可能結果試驗的樣本空間表示為Ω={A，B，C，D}，則n(Ω)=4考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發(fā)生的可能性相等，這是一個古典概型．設事件M=“選中正確答案”，因為單選題的正確答案是唯一的，則n(M)=1所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率典例分析

所有可能的結果：①若選2個項，則有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種②若選3個項，則有ABC，ABD，ACD，BCD，共4種③若選4個項，則有ABCD，1種正確答案的所有可能結果有6＋4＋1＝11種，從這15種答案中任選一種的可能性只有1/11，因此更難猜對。典例分析鏈接1：2020新高考數(shù)學試題增加了多項選擇題,要求為:“在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.”鏈接2：2024最新高考數(shù)學試題的多項選擇題,要求為:“在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.”典例分析例8：拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果．(1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；解:(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，I號骰子的每一個結果都可以與號骰子的任意一個結果配對,組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用m表示Ⅰ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)，用n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)；則用(m,n)表示該試驗的一個樣本點，則樣本空間：Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36個樣本點，由于骰子質地均勻，所有各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型.m\n（該試驗的所有樣本點用下表所示）列表法一般適用于分兩步完成的結果的列舉。典例分析例8：拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果．(2)求下列事件的概率：A=“兩個點數(shù)之和是5”；B=“兩個點數(shù)相等”；C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”．m\n解：(2)∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，∴n(A)=4.典例分析例8：拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果．(2)求下列事件的概率：A=“兩個點數(shù)之和是5”；B=“兩個點數(shù)相等”；C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”．m\n∵B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，∴n(B)=6.典例分析例8：拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結果．(2)求下列事件的概率：A=“兩個點數(shù)之和是5”；B=“兩個點數(shù)相等”；C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”．∵C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)}，∴n(C)=15.m\n典例分析思考：在上題中，為什么要把兩枚骰子標上記號？如果不給兩枚骰子標記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？如果不標上記號，類似于(1,2)和(2,1)的結果將沒有區(qū)別。這時，所有可能的結果將是：m\n

共有21種結果，和是5的結果有2個,它們是(1,4)和(2,3)，則A={(1,4),(2,3)}，∴n(A)=2.追問：同一事件的概率，為什么會出現(xiàn)兩個不同的結果呢？36個結果都是等可能的；而合并為21個可能結果時，(1,1)和(1,2)發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式計算概率.方法歸納（1）用適當?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的可能結果或樣本空間（借助樹狀圖或列表，不重不漏）；（2）根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；關鍵詞：質地均勻、隨機選擇（3）計算樣本點總個數(shù)n(Ω)及事件A包含的樣本點個數(shù)n(A)，

求出事件A的概率P(A).求解古典概型問題的一般思路：典例分析例9：袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”；(2)B=“第二次摸到紅球”；(3)C=“兩次都摸到紅球”．解：將2個紅球編號為1,2，三個黃球編號為3,4,5.第一次摸球時有5種等可能的結果，第二次摸球時有4種等可能的結果.將兩次摸球的結果配對，組成20種等可能的結果,如下表典例分析例9：袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”；(2)B=“第二次摸到紅球”；(3)C=“兩次都摸到紅球”．

解：同時摸出2個球的所有可能結果為：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)，共10個.摸到的2個球都是紅球的結果為(1,2)，結論：依次摸出2個球跟順序有關，一次性摸出2個球與順序無關，

但相同事件的概率相等.所以摸到的2個球都是紅球的概率為典例分析例9：袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”；(2)B=“第二次摸到紅球”；(3)C=“兩次都摸到紅球”．

解：有放回依次隨機摸出2個球所有可能結果為：(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)摸到的2個球都是紅球的可能結果有4個典例分析例10：從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取2人.（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣、按性別等比例分層抽樣的樣本空間.（2）在三種抽樣方式下,分別計算抽到的兩人都是男生的概率.設事件A=“抽到兩名男生”抽樣類型總樣本的個數(shù)事件A包含的樣本點P(A)有放回簡單隨機抽樣不放回簡單隨機抽樣按性別等比例分層抽樣4×4=164×3=122×2=4(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)(B1,B2),(B2,B1)Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}無典例分析例10：從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取2人.（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣、按性別等比例分層抽樣的樣本空間.（2）在三種抽樣方式下,分別計算抽到的兩人都是男生的概率.解:

(1)設第一次抽取的人記為x1,第二次抽取的人記為x2,則可用數(shù)組(x1,

x2)表示樣本點.①有放回簡單隨機抽樣的樣本空間：Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),

(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}②不放回簡單隨機抽樣的樣本空間：Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.③按性別等比例分層抽樣(先抽1名男生,再抽1名女生)的樣本空間：Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}典例分析解：(2)設事件A=“抽到兩名男生”，對于有放回簡單隨機抽樣:A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}，對于不放回簡單隨機抽樣:A={(B1,B2),(B2,B1)}，按性別等比例分層抽樣:A=

，∴P(A)=0.例10：從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取2人.（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣、按性別等比例分層抽樣的樣本空間.（2）在三種抽樣方式下,分別計算抽到的兩人都是男生的概率.典例分析例10表明，同一個事件A=“抽到兩名男生”發(fā)生的概率，在按性別等比例分層抽樣時最小，在不放回簡單隨機抽樣時次之，在有放回簡單隨機抽樣時最大．因此，抽樣方法不同，則樣本空間不同，某個事件發(fā)生的概率也可能不同．上一章我們研究過通過抽樣調查估計樹人中學高一學生平均身高的問題．我們知道，簡單隨機抽樣使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性，有可能會出現(xiàn)全是男生的“極端”樣本，這就可能高估總體的平均身高．上述計算表明，在總體的男、女生人數(shù)相同的情況下，用有放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率為0.25；用不放回簡單隨機抽樣進行抽樣，出現(xiàn)全是男生的樣本的概率約為0.167，可以有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率．特別是，在按性別等比例分層抽樣中，全是男生的樣本出現(xiàn)的概率為0，真正避免了這類極端樣本的出現(xiàn)．所以，改進抽樣方法對于提高樣本的代表性很重要．鞏固練習1.下列試驗中是古典概型的是（

）A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球C．向一個圓面內隨機地投一個點，觀察該點落在圓內的位置D．射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)B【詳解】古典概型滿足兩個條件：①所有可能的結果是有限的；②每個基本結果發(fā)生的概率是相同的．在A中，這個試驗的基本事件共有“發(fā)芽”，“不發(fā)芽”兩個，而“發(fā)芽”或“不發(fā)芽”這兩種結果出現(xiàn)的機會一般是不均等的，故不是古典概型；在B中，觀察球的顏色，滿足古典概型的兩個條件，故B是古典概型；在C中，實驗的結果是無窮的，故不是古典概型；在D中，不滿足基本事件是等可能的，故不是古典概型．故選：B．鞏固練習2.張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學之和為偶數(shù)的概率是（

）B鞏固練習3.從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取出一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：卡片號碼12345678910取出的次數(shù)101188610189119則取到的號碼為奇數(shù)的頻率是（

）A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37A鞏固練習

課后習題不正確．如果每次命中目標的概率不等于0.5，那么樣本空間中的四個樣本點就不是等可能的，不符合古典概型特征．課后習題2．從52張撲克牌(不含大小王)中隨機地抽一張牌，計算下列事件的概率：(1)抽到的牌是7；(2)抽到的牌不