高中數(shù)學(xué)概率的基本性質(zhì)課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)

人教2019A版必修

第二冊(cè)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.4概率的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1．理解并掌握概率的基本性質(zhì)．2．能夠運(yùn)用概率的基本性質(zhì)求一些簡(jiǎn)單事件的概率．一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問(wèn)題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì).我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，(1)概率的取值范圍；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等。探究新知1.概率P(A)的取值范圍由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.2.概率的加法公式(互斥事件時(shí)有一個(gè)發(fā)生的概率)P(C)=p(A∪B)=P(A)+P(B)=1/6+1/6=1/3在擲骰子實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A={出現(xiàn)1點(diǎn)}；B={出現(xiàn)2點(diǎn)}；C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3}；因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(A∪B)=n(A)+n(B),這等價(jià)于P(A∪B)=P(A)+P(B),即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法公式：性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)1.事件A與事件B互斥，如果沒(méi)有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用.2.如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和。3.在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易。注意：性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)3.對(duì)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率如在擲骰子實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}；H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}；1.公式使用的前提必須頁(yè)是對(duì)立事件，否則不能使用此公式。2.當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用此公式，即使用間接法求概率.注意：例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．解：(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.例題講解例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．解：(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理。設(shè)"不夠7環(huán)"為事件E，則事件為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”,由(1)可"射中7環(huán)"、"射中8環(huán)"、"射中9環(huán)"、"射中10環(huán)"是彼此互斥的事件，∴P()=0.21+0.23+0.25+0.28=097,從而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.∴"不夠7環(huán)"的概率為0.03.一般地，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過(guò)事件B的概率。于是我們有概率的單調(diào)性：在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B,如果A?B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)

由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)5：如果A?B,那么P(A)≤P(B)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,“兩個(gè)球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎？如果不相等，請(qǐng)你說(shuō)明原因，并思考如何計(jì)算P(R1∪R2).因?yàn)閚(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因?yàn)镽1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我們有如下的性質(zhì)：

性質(zhì)6：

設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)歸納總結(jié)性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.即P(Ω)=1,P(?)=0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)+P(A)=1,P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B)性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,則有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)1.對(duì)于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.2.若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.3.對(duì)于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當(dāng)A∩B=Φ時(shí),就是性質(zhì)3.4.由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.說(shuō)明：例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到紅花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).解：(1)因?yàn)镃=A∪B,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃∪D是必然事件，所以C與D互為對(duì)立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.例題講解例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？分析：“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但第二罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但第二罐中獎(jiǎng)、兩罐都中獎(jiǎng)三種情況。如果設(shè)A=“中獎(jiǎng)”，A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么就可以通過(guò)事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事件，并利用概率的性質(zhì)解決問(wèn)題.解：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，事件A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎(jiǎng)”，A1

=“第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)”，A2=“第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且A=A1A2∪A1∪A2.因?yàn)锳1A2,A1,A1

兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2).我們借助樹(shù)狀圖來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(Ω)=6×5=30,且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.因?yàn)閚(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8,所以法2:注意到事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，由于=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n()=4×3=12,所以將復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算結(jié)果表示，利用概率運(yùn)算法則求概率，是一種重要的思想方法.例3中的事件“中獎(jiǎng)”等價(jià)于“至少一罐有獎(jiǎng)”，利用樹(shù)狀圖把“中獎(jiǎng)”表示為兩兩互斥的3個(gè)事件的和事件，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)解決這類問(wèn)題時(shí)樹(shù)狀圖的作用.

盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球,從中摸出一個(gè)球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是

,摸出的球不是黃球的概率是

,摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是

.練習(xí)答案:0.40

0.82

0.60

一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63,問(wèn)至少有一根熔斷的概率是多少?練習(xí)解:設(shè)A=“甲熔絲熔斷”,B=“乙熔絲熔斷”,則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.

據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率;(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.練習(xí)排隊(duì)等候的人數(shù)012345概率0.10.20.30.40.50.6解:記在窗口排隊(duì)等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.(1)至多2