夯實基礎(chǔ)：勾股定理（解析版）

勾股定理夯實基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對應(yīng)邊分別是a，b，c，若∠B＝90°，則下列等式中成立的是（

）A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a(chǎn)2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到結(jié)果．【詳解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，則根據(jù)勾股定理得：．故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，大直角三角形的斜邊和直角邊長分別是13，12．則圖中陰影部分的面積是（

）A．16 B．25 C．144 D．1【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可進行求解【詳解】解：如圖所示：根據(jù)勾股定理得出：，，陰影部分面積是，故選：B．【點睛】此題考查勾股定理，解決此題的關(guān)鍵是清楚陰影部分的兩個正方形的面積和等于的平方．4．直角三角形兩邊長為3，4，則第三邊長為（

）A．5 B． C．5或 D．不能確定【答案】C【分析】分兩種情況，3，4為直角邊時和4為斜邊時，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當3，4為直角邊時，第三邊的長為，當4為斜邊時，第三邊的長為，則第三邊的長為或，故選：C【點睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，注意分類討論．5．如圖，在中，，，垂足為D．若，，則的長為（

）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的長，再運用等面積法求得的長即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故選A．【點睛】本題主要考查了勾股定理、等面積法等知識點，掌握運用等面積法求三角形的高是解題的關(guān)鍵．6．等腰三角形的腰長為5，底邊上的中線長為4，它的面積為（

）A．24 B．20 C．15 D．12【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知上的中線，同時也是邊上的高線，根據(jù)勾股定理求出的長即可求得．【詳解】解：如圖所示，∵等腰三角形中，，是上的中線，，同時也是上的高線，，，，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是得出底邊上的中線是上的高線．7．在中，，，，則的長為（）A．3 B．3或 C．3或 D．【答案】A【分析】在中，已知與的長，利用勾股定理求出的長即可；【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的長為3；故選：A【點睛】本題考查了勾股定理，能靈活運用定理進行計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題：8．在中，，，，則____．【答案】4【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，．故答案為：4．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．9．一直角三角形的兩直角邊長滿足，則該直角三角形的斜邊長為________．【答案】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性，絕對值的非負性，得出的值，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴該直角三角形的斜邊長為，故答案為：．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，絕對值的非負性，勾股定理，得出的值是解題的關(guān)鍵．10．在中，，．則的面積為______．【答案】60【分析】畫出圖形，過點作于，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，再利用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，則，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案為：60．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)解答的關(guān)鍵．11．如圖，在中，．以、為邊的正方形的面積分別為、．若，，則的長為______．【答案】3【分析】根據(jù)正方形的面積求得，，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵以、為邊的正方形的面積分別為、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案為：3．【點睛】本題考查勾股定理、正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．12．若直角三角形的兩邊長為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長的平方為_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出兩直角邊長、，已知兩直角邊求斜邊可以根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：，，解得：，，，，解得，，①當a，b為直角邊，該直角三角形的斜邊長的平方為，②4也可能為斜邊，該直角三角形的斜邊長的平方為16，故答案為：25或16．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計算直角三角形的斜邊，正確的運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，若，，則的長為________．【答案】【分析】連接，根據(jù)已知條件，先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求得的長度，進而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接．∵為中斜邊上的一點，且，過作的垂線，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案為:．【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，Rt中，，現(xiàn)將沿進行翻折，使點A剛好落在上，則_____．【答案】##2.5【分析】設(shè)，將沿進行翻折，使點A剛好落在上，則．則直角中根據(jù)勾股定理，即可得到一個關(guān)于的方程，即可求得．【詳解】解：設(shè)，則在Rt中，．則．在Rt中：．即：．解得：【點睛】此題考查了勾股定理的運用，根據(jù)勾股定理把求線段的長的問題轉(zhuǎn)化為方程問題是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的長．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足為D，CD＝8.求AC的長．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，設(shè)AC＝AB＝x，則AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的長為.17．、、是的三邊，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根據(jù)完全平方公式把原式變形為，可得，，再分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，當，為直角邊時，；

當為斜邊時，；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理，