高一奧數(shù)試題及答案

高一奧數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，則集合\(A\)的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.42.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.45.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)6.若\(a>b>0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)B.\(a^2<b^2\)C.\(a^3>b^3\)D.\(\sqrt{a}<\sqrt\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-18.直線\(2x-y+1=0\)的斜率為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)9.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)10.若\(x>0\)，\(y>0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.2二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是集合的表示方法（）A.列舉法B.描述法C.圖示法D.區(qū)間法2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A.\(a_n=2n+1\)B.\(a_n=3-n\)C.\(a_n=n^2\)D.\(a_n=5\)4.對(duì)于\(y=\cosx\)，以下說法正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是偶函數(shù)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減5.已知直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1=0\)C.\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)D.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)6.下列不等式中，正確的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a>0,b>0\)）C.\(a^2+1\geq2a\)D.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq\frac{4}{a+b}\)（\(a>0,b>0\)）7.向量的運(yùn)算包括（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.數(shù)量積8.圓的方程有（）A.標(biāo)準(zhǔn)方程B.一般方程C.參數(shù)方程D.斜截式方程9.已知\(a,b,c\)成等比數(shù)列，則（）A.\(b^2=ac\)B.\(\frac{a}=\frac{c}\)C.\(a,b,c\)同號(hào)D.\(a+c\geq2b\)10.以下哪些函數(shù)在其定義域上是單調(diào)遞增的（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^2\)（\(x\geq0\)）D.\(y=3x+1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^2\)是奇函數(shù)。（）3.等比數(shù)列的公比不能為\(0\)。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）5.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）6.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心是原點(diǎn)\((0,0)\)。（）7.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）8.向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)與向量\(\overrightarrow=(0,1)\)垂直。（）9.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）10.等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式是\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域。-答案：要使根式有意義，則\(4-x^2\geq0\)，即\(x^2-4\leq0\)，因式分解得\((x+2)(x-2)\leq0\)，解得\(-2\leqx\leq2\)，所以定義域?yàn)閈([-2,2]\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_5=10\)，求公差\(d\)和通項(xiàng)公式\(a_n\)。-答案：由\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(a_5=a_1+4d\)，把\(a_1=2\)，\(a_5=10\)代入得\(10=2+4d\)，解得\(d=2\)。則\(a_n=2+(n-1)×2=2n\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。-答案：由直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），將\((1,2)\)，\(k=3\)代入得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)性。-答案：將函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)變形為\(y=(x-1)^2+2\)。其圖象開口向上，對(duì)稱軸為\(x=1\)。所以在\((-\infty,1)\)上函數(shù)單調(diào)遞減，在\((1,+\infty)\)上函數(shù)單調(diào)遞增。2.探討在等比數(shù)列中，若\(a_n>0\)，\(a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=25\)，如何求\(a_3+a_5\)的值。-答案：由等比數(shù)列性質(zhì)，\(a_2a_4=a_3^2\)，\(a_4a_6=a_5^2\)。則\(a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=a_3^2+2a_3a_5+a_5^2=(a_3+a_5)^2=25\)，又\(a_n>0\)，所以\(a_3+a_5=5\)。3.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。-答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d>r\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d<r\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)所得方程組解的個(gè)數(shù)判斷，無解相離，一組解相切，兩組解相交。4.已知\(x>0\)，\(y>0\)且\(x+y=1\)，討論\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值及取到最小值時(shí)\(x,y\)的值。-答案：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+y)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2+2\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{x}{y}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\)即\(x=y=\frac{1}{2}\)時(shí)取等號(hào)，所以最小