2024北京育才學(xué)校高二10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京育才學(xué)校高二10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知，，且，則（）A. B. C.6 D.12.直線的傾斜角是（）A.45° B.135° C.120° D.90°3.已知空間向量，，則（）A. B. C.1 D.24.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，2，-3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為（）A.(-1，-2，3) B.(-1，-2，-3) C.(-1，2，-3) D.(1，2，3)5.若，，且，則（）A.， B.，C.， D.，6.如圖，在正方體中，為CD的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.7.在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.8.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（）A. B. C. D.9.已知在棱長均為的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，則的長度為（）A. B. C. D.10.如圖，在正方體中，點(diǎn)E是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)E的軌跡為（）A.圓 B.半圓 C.直線 D.線段二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11.已知向量，則______．12.已知點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為______．13.如圖，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________14.正四棱錐所有棱長均為2，則側(cè)面與底面所成二面角的正切值為______．15.棱長為1的正方體中，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是______.①平面平面②四面體的體積是定值③可能是鈍角三角形④直線與AB所成的角可能為三、解答題：本大題共4小題，共40分．16.在長方體中，，點(diǎn)在AB上，且．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．17.如圖，已知直三棱柱中，若為AB的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值（2）求二面角的余弦值．18.如圖，在四棱錐中，平面為正三角形，分別為棱PD，PB的中點(diǎn).（1）如圖，O為棱AD的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，是否合理？請說明理由；（2）求證：平面PCD；（3）求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值．19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且，點(diǎn)為棱DP的中點(diǎn).（1）在棱BC上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面PAN？如果存在，確定點(diǎn)N的位置，如果不存在，請并說明理由；（2）若二面角的余弦值為時(shí)，求棱DP的長度，并求點(diǎn)A到平面BCM的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.【答案】A【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由可得，解得，故選：A2.【答案】B【分析】根據(jù)斜率即可求解傾斜角.【詳解】由得，故斜率為則傾斜角為135°，故選：B3.【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】∵，，則，∴.故選：D.4.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中對稱的特點(diǎn)直接求解即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱，則這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都不變，它們的豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)P(1，2，-3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為(1，2，3).故選：D5.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的共線條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)椋傻?，即，解?故選：B.6.【答案】C【分析】設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法線面夾角．【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，且平面的法向量，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C．7.【答案】C【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解即可【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，所以，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查空間中點(diǎn)到線的距離，考查空間向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8.【答案】C【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，然后證明平面即可.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個(gè)平面，∴平面，此時(shí)，故選：B10.【答案】B【分析】設(shè)與交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，證明，由，則，從而可得，最終得出（a為正方體的棱長），從而得軌跡．【詳解】如圖，設(shè)與交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，是中點(diǎn)，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，，則，所以，設(shè)正方體棱條為a，則，顯然，所以，在正方形內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，其軌跡是以為圓心的半圓，故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．11.【答案】【分析】根據(jù)題意先求，再根據(jù)模長的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故答案為：.12.【答案】【分析】根據(jù)空間中中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故答案為：.13.【答案】【詳解】如圖所示，以長方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以,所以14.【答案】【分析】作輔助線，分析可知二面角的平面角為，即可得結(jié)果.【詳解】對于正四棱錐，設(shè)，可知為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，可得平面，平面，則，且，∥，因?yàn)?，可得，可知二面角的平面角為，因?yàn)檎睦忮F的所有棱長均為2，則，，可得，所以側(cè)面與底面所成二面角的正切值為.故答案為：.15.【答案】①②③【分析】通過線面垂直證明面面垂直判斷①；利用等體積法，由底面積和高都為定值，得四面體體積為定值，判斷②；利用余弦定理得到可能為鈍角，判斷③；利用線線角的范圍判斷④.【詳解】在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），對于①：因?yàn)槠矫?，即平面，且平面，所以平面平面，故①正確；對于②：連接，因?yàn)榍?，即為平行四邊形，則，即，平面，平面，可得平面，可知四面體的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，所以四面體的體積是定值，故②正確；對于③：因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以，若是上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，則，所以，此時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)為鈍角，是鈍角三角形，故③正確；對于④：過點(diǎn)作，交于，正方體中平面，則平面，平面，，直線與所成的角為，設(shè)，則，有，，中，，而，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題：本大題共4小題，共40分．16.【答案】（1）（2）2【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法線面夾角；（2）利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問2詳解】由（1）可得：，所以到平面的距離為.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）建系標(biāo)點(diǎn)，可得利用空間向量求線線夾角；（2）分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，且，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.【小問2詳解】由（1）可得：，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，且平面的法向量，可得，由圖形可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.18.【答案】（1）合理，理由見詳解（2）證明見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)線面垂直分析可知兩兩垂直，即可判斷；（2）根據(jù)題意理由空間向量可得，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（3）分別求平面AEF、平面PAD的法向量，理由空間向量求面面夾角.【小問1詳解】合理，理由如下：由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，可得∥，因?yàn)槠矫?，可得平面，且平面，可得，又因?yàn)闉檎切?，且O為棱AD的中點(diǎn)，則，即兩兩垂直，所以可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.【小問2詳解】由（1）中空間直角坐標(biāo)系可得：，則，可得，即，且，平面PCD，所以平面PCD.【小問3詳解】由（2）可知：，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則，可得，且平面PAD的法向量為，可得，所以平面AEF與平面PAD夾角的余弦值.19.【答案】（1）存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)（2）；點(diǎn)A到平面BCM的距離為2【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得平面∥平面PAN，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得∥，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，分別求平面BCM、平面PCD的法向量，根據(jù)面面夾角求得a，進(jìn)而可求點(diǎn)到面的距離.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN，又因?yàn)椤纹矫鍼AN，，平面，可得平面∥平面PAN，且平面平面，平面平面，