2024北京十二中高二10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京十二中高二10月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題紙交回.第一部分選擇題（共60分）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則（）A. B.C. D.l與相交，但不垂直3.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.4.設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則等于（）A. B.5 C. D.5.在以下4個(gè)命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為（）①若，則；②若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t向量共面；③若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；④.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.已知向量，則“”是“或”的（）條件.A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ＝（）A.9 B.﹣9 C.﹣3 D.38.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（）A. B. C. D.10.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.11.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)和分別是正方形和的中心，點(diǎn)為正方體表面上及內(nèi)部的點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，其中，且，則滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積是（）A. B. C. D.12.菱形的邊長為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（）A. B. C. D.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.已知向量,且，則_________．14.已知，，為空間兩兩垂直的單位向量，且，，則______.15.已知，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.16.已知直線斜率的取值范圍是，則的傾斜角的取值范圍是______．17.長方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是該長方體的面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），若直線與平面平行，則的最小值為______.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面為的中點(diǎn)，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與三點(diǎn)重合）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線與所成角的大小為；②；③的最小值為；④若，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.已知空間中三點(diǎn)，設(shè).（1）求；（2）求向量與向量夾角的大小.20.如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，為與的交點(diǎn).設(shè).（1）用表示，并求的值；（2）求的值.21.如圖，正方體棱長為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.22.如圖，在四棱錐中，平面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.23.學(xué)習(xí)閱讀以下材料，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決下面的問題.類比于二維空間（即平面），向量可用二元有序數(shù)組表示，若維空間向量用元有序數(shù)組表示，記為，對(duì)于，任意，有：①數(shù)乘運(yùn)算：；②加法運(yùn)算：；③數(shù)量積運(yùn)算：；④向量的模：；⑤對(duì)于一組向量，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).⑥在維向量空間中，基底是一組線性無關(guān)的向量，并且在空間中的任意向量都可以由這組基底線性表示，即，其中是一組實(shí)數(shù).設(shè)是元集合的子集，集合元素的個(gè)數(shù)記為，若集合組同時(shí)滿足以下2個(gè)條件，則稱集合組具有性質(zhì)：①為奇數(shù)，其中；②為偶數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，集合組具有性質(zhì)P，求的最大值，并寫出相應(yīng)集合組；（2）當(dāng)時(shí)，集合組具有性質(zhì)P，求的最大值；（3）是元集合的子集，若集合組具有性質(zhì)P，求的最大值.

參考答案第一部分選擇題（共60分）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1.【答案】B【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角.【詳解】已知直線經(jīng)過和兩點(diǎn).根據(jù)直線斜率的計(jì)算公式（其中和為直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)），所以,因?yàn)橹本€的斜率（為傾斜角），已知，即.又因?yàn)閮A斜角，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，滿足的.故選：B.2.【答案】B【分析】根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且，所以平面的一個(gè)法向量與直線l的方向向量平行，則，故選：.3.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B4.【答案】D【分析】先得到，從而求出，計(jì)算出模長.【詳解】點(diǎn)在平面上的射影為，，故，故選：D5.【答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積、向量共面與向量基底的定義和性質(zhì)，結(jié)合特殊向量法，逐一判斷各命題即可得解.【詳解】對(duì)于①，設(shè)，與可以為任意向量，因?yàn)?，，此時(shí)，但不一定等于，所以①不正確，對(duì)于②，例如在墻角處的三條交線對(duì)應(yīng)的向量，，，它們兩兩共面（兩兩垂直），但是向量，，不共面，所以②不正確，對(duì)于③，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，由為基底，所以，，不共面，則，這個(gè)方程組無解，所以，，不共面，構(gòu)成空間的另一基底，③正確，對(duì)于④，，而（為與的夾角），所以，④不正確，故不正確的有：①②④，共3個(gè).故選：C.6.【答案】A【分析】結(jié)合向量的數(shù)量積，根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】或時(shí)，或，則，必要性滿足，若，則，但，即充分性不滿足，故題設(shè)條件關(guān)系為必要不充分條件．故選：A．7.【答案】B【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.【詳解】由P，A，B，C四點(diǎn)共面，可得共面，，，解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間四點(diǎn)共面的充要條件以及平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.8.【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而求出，根據(jù)，即可判斷B的大小；利用上述方法求得，，即可判斷C和D的大小，進(jìn)而可以判斷出三角形的形狀.【詳解】，，為銳角，同理：，，D和C都為銳角，∴為銳角三角形.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加減運(yùn)算法則與向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.9.【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)A到平面的距離.故選：C10.【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示：由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直線和夾角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.11.【答案】A【分析】由共面定理得出共面，正方體中得知截面即為，然后可計(jì)算面積．【詳解】因?yàn)?，，所以四點(diǎn)共面，如圖，易知過截面是正，則由題意可知滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為正，正方體棱長為1，則正邊長為，所以滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積為，故選：A．12.【答案】A【分析】由已知可證得平面，平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以為等邊三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.【答案】-9【分析】根據(jù)，由，求得即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?且，所以，解得，所以.故答案為：-914.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：-3.15.【答案】【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則向量在向量上的投影向量為.故答案為：.16.【答案】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€斜率的取值范圍是，所以當(dāng)斜率時(shí)，傾斜角，當(dāng)斜率時(shí)，傾斜角，綜上傾斜角的取值范圍，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角，屬于中檔題.17.【答案】【分析】作出截面，由平行得出點(diǎn)軌跡是線段，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)計(jì)算出數(shù)量積后，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值．【詳解】解法一：因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，再分別取的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)的截面為六邊形，如圖，連接，則，又平面，平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，從而平面，所以點(diǎn)軌跡是線段，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，在平面內(nèi)，設(shè)直線方程為，即設(shè)，，則，，所以時(shí)，取得最小值，故答案為：．解法二：如圖，分別以、、方向?yàn)椤?、軸建立空間直角坐標(biāo)系可得：，，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，得，取，得，，，即.由于直線與平面平行，則，得：，即：.，，，，可知：由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：．18.【答案】①②④【分析】根據(jù)異面直線所成的角即可判斷①，根據(jù)空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化即可證明平面，即可求證線線垂直進(jìn)而判斷②，根據(jù)點(diǎn)到面的距離為最小值，利用等體積法即可求解③，根據(jù)圓的面積即可判斷④.【詳解】由于，所以即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，由于底面平面，所以,又，所以，①正確；由于底面平面，所以,又,平面，所以平面,取中點(diǎn)為，連接,由于為的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，則，又，中點(diǎn)為，所以,平面，所以平面，平面，則,平面，所以平面,平面,所以,平面，所以平面,平面,所以，故②正確；當(dāng)平面時(shí)，最小，設(shè)此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，,所以,由于，故為等邊三角形，,所以，故③錯(cuò)誤；由③得點(diǎn)到平面的距離為，不妨設(shè)在平面的投影為,所以點(diǎn)到平面的距離為,由于被平分，所以到平面的距離為,由②知平面，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以,因此點(diǎn)的軌跡圍成的圖形是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，所以面積為，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離的求解、截面面積的求解問題；求解點(diǎn)到面的距離的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐高的問題的求解或者利用坐標(biāo)系，由法向量法求解..三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.【答案】（1）1（2）【分析】（1）（2）先求出和的坐標(biāo)，再借助坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積和夾角坐標(biāo)公式分別計(jì)算兩小問.【小問1詳解】已知，，.,,所以,則.【小問2詳解】根據(jù)向量點(diǎn)積公式，，，，則，所以.20.【答案】（1）（2）2【分析】（1）先根據(jù)平行六面體的性質(zhì)找到向量之間的關(guān)系，用表示出，再通過向量模的計(jì)算公式求出的值；（2）先求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則求出的值.【小問1詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，為與的交點(diǎn)，所以是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，又因?yàn)椋移叫辛骟w中，，那么，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，又，，所以，，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所?21.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）連接，，得，則根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；（2）利用空間向量法，即可求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，，連接，分別是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.22.【答案】（1）證明過程見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；【小問3詳解】設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.23.【答案】（1）；（2）（3）【分析】（1）由條件①②按分類討論，得到最大值的可能情況，舉例并驗(yàn)證滿足兩個(gè)條件即可；（2）給出時(shí)具有性質(zhì)P的集合組：，驗(yàn)證分析，再應(yīng)用反證法，借助向量運(yùn)算證明時(shí)任意集合組不具有性質(zhì)P，從而得最大值為；（3）給出具有性質(zhì)P的集合組：，驗(yàn)證分析，再應(yīng)用反證法，借助向量運(yùn)算證明時(shí)任意集合組不具有性質(zhì)P，從而得最大值為.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.集合組具有性質(zhì)，則為奇數(shù)，所以或.當(dāng)時(shí)，則可能是.當(dāng)時(shí)，則可能是.若集合組中包含，設(shè)，則對(duì)于其他集合，要使為偶數(shù)，則所有可能集合為，但均不滿足為奇數(shù).故集合組中不包含，具有性質(zhì)P的集合組中只可能包含；若集合組中存在兩個(gè)集合相等，由，則，則為奇數(shù)，不滿足條件②，故集合組中任意兩個(gè)集合不相等，即至多含3個(gè)集合，故.若集合組為：，設(shè)，則有①為奇數(shù)，其中；②為偶數(shù)，其中；所以集合組具有性質(zhì).綜上，的最大值為，相應(yīng)滿足條件的集合組為：.【小問2詳解】集合.設(shè)其子集對(duì)應(yīng)向量，其中，.若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，即為奇數(shù)，；又由可知，若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，，且.且由條件可知，，且.當(dāng)時(shí)，.若集合組為：，設(shè)，則有①為奇數(shù)，其中；②為偶數(shù)，其中；所以集合組具有性質(zhì)，此時(shí).下面證明當(dāng)時(shí)，任意集合，集合組：不符合題意.設(shè)，則.若集合組為：具有性質(zhì)，設(shè)集合對(duì)應(yīng)向量，其中中有奇數(shù)個(gè)為1，其余為0，且；不妨理解為這個(gè)集合對(duì)應(yīng)8維空間中的個(gè)向量，且為奇數(shù)，，為偶數(shù)，.下面用反證法證明不具有性質(zhì)P.證明：假設(shè)具有性質(zhì)P，由，則，若時(shí)，則為奇數(shù)，而為偶數(shù)，則為奇數(shù)，這與為偶數(shù)矛盾，.所以，則；同理，由為偶數(shù)，可得.故，即，則，這與條件為奇數(shù)矛盾.故集合組：不符合題意.下面證明任意集合組都不具有性質(zhì).證明：假設(shè)存在一個(gè)集合組具有性質(zhì).（i）設(shè)集合組中分別對(duì)應(yīng)個(gè)向量，若線性無關(guān)，則可為8維向量空間的基底，又由對(duì)應(yīng)向量中或，，則，，且不全為.即可轉(zhuǎn)化為存在不全為的9個(gè)整數(shù)，使得，且其中向量等式中的整系數(shù)為最簡(jiǎn)形式（不可再約）.則為偶數(shù)，其中為奇數(shù)，為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則為奇數(shù)，故這與產(chǎn)生矛盾，所以為偶數(shù).同理可得均為偶數(shù)，.這與9個(gè)整系數(shù)不全為且不可約的最簡(jiǎn)形式矛盾.因此，若線性無關(guān)，則集合組不具有性質(zhì)；（ii）設(shè)集合組中分別對(duì)應(yīng)個(gè)向量，若其中對(duì)應(yīng)個(gè)向量線性相關(guān).又由對(duì)應(yīng)向量中或，.則存在，且不全為，使得，即存在不全為的8個(gè)整數(shù)，使得，且其中向量等式中的整系數(shù)為最簡(jiǎn)形式（不可再約）.則為偶數(shù)，其中為奇數(shù)，為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則為奇數(shù)，這與產(chǎn)生矛盾，所以為偶數(shù).同理可得均為偶數(shù)，.這與8個(gè)整系數(shù)不全為且不可約的最簡(jiǎn)形式矛盾.因此，若向量線性相關(guān)，集合組不具有性質(zhì)；由（i）（ii）可知假設(shè)錯(cuò)誤，故任意集合組都不具有性質(zhì).綜上所述，的最大值為.【小問3詳解】集合.若集合組為：，設(shè)，則有①為奇數(shù)，其中；②為偶數(shù)，其中；即滿足條件①②，所以集合組具有性質(zhì)，