2024北京三十五中高二10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京三十五中高二10月月考數(shù)學(xué)2024.10行政班______________教學(xué)班___________姓名__________學(xué)號(hào)____________試卷說(shuō)明：試卷分值共120分，考試時(shí)間90分鐘．一.選擇題(共10個(gè)小題，每題4分，共40分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)1.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2.下列說(shuō)法正確的是（）A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.任一個(gè)向量在基底下的分解式與在基底下的分解式相同3.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則A. B. C. D.與相交4.如圖，已知斜三棱柱，設(shè)分別為與BC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.已知空間三點(diǎn)共線，則和的值分別是（）A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，66.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.7.棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（）A.1 B.－1 C. D.8.已知長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.9.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.10.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn) B.線段的最大值為C.點(diǎn)的軌跡是正方形 D.點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為二.填空題(共6個(gè)小題，每題5分，共30分．請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)11.已知點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______________.12.若，則____________，若與互相垂直，則實(shí)數(shù)____________.13.如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則__________，__________.14.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為_(kāi)__________15.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面積的最大值為_(kāi)____________．16.如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：存在點(diǎn)，使；②存在點(diǎn)，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題(共3個(gè)小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)17.如圖，在四棱錐中，平面，.（1）設(shè)點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn)，求證：；（2）求直線PB和平面PCD所成角的正弦值;（3）求二面角的余弦值．18.如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點(diǎn)．（1）求證:平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離．19.設(shè)為正整數(shù)，若滿足：①，；②對(duì)于，均有.則稱具有性質(zhì).對(duì)于和，定義集合.（1）設(shè)，若具有性質(zhì)，請(qǐng)寫出一個(gè)及相應(yīng)的；（2）設(shè)，請(qǐng)寫出一個(gè)具有性質(zhì)的，滿足；（3）設(shè)，是否存在具有性質(zhì)的，使得？若存在，判斷滿足條件的個(gè)數(shù)的奇偶；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一.選擇題(共10個(gè)小題，每題4分，共40分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)1.【答案】B【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．2.【答案】C【分析】借助空間向量基底定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：任何三個(gè)不共面的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：空間的基底有且無(wú)數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：兩兩垂直的三個(gè)非零向量不共面，故可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)D：由于基底不唯一，故不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.【答案】C【分析】由已知得，從而得到l⊥．【詳解】解：∵直線l的方向向量為，平面的法向量為，∴，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．4.【答案】D【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，?故選：D.5.【答案】B【分析】得到，后借助空間向量共線計(jì)算即可得.【詳解】，，則有，解得，.故選：B.6.【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D7.【答案】A【分析】由求解即可．【詳解】，所以．故選：A．8.【答案】C【分析】根據(jù)平面找到線面角，進(jìn)而求出答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，平面，所以是與平面所成的角，由勾股定理易得：，所以故選：C.9.【答案】D【分析】由幾何體為正方體，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面D1EF的法向量，結(jié)合向量的點(diǎn)到平面距離公式求得點(diǎn)M到平面D1EF的距離，結(jié)合N為EM中點(diǎn)即可求解【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），設(shè)平面D1EF的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，0，2），∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面距離，建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題10.【答案】D【分析】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，確定點(diǎn)的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，則，，，，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；取，，，，連接，，，，則，，所以四邊形為矩形，則，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以為中點(diǎn)，則平面，所以，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，因此點(diǎn)不可能是棱的中點(diǎn)，即A錯(cuò)；又，，所以，則點(diǎn)的軌跡不是正方形；且矩形的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)，D正確；因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，則點(diǎn)為矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，所以點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，且最大，所以線段的最大值為，故B錯(cuò).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由，求出動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形，即可求解.二.填空題(共6個(gè)小題，每題5分，共30分．請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)11.【答案】【分析】求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，就是將軸的分量取相反數(shù)，而軸和軸的分量不變，由計(jì)算即可得.【詳解】求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，就是將軸的分量取相反數(shù)，而軸和軸的分量不變，故點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.12.【答案】①.②.【分析】空1：直接根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積坐標(biāo)公式即可；空2：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】空1：，則；空2：，若與互相垂直，則，，.故答案為：；.13.【答案】①.②.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量減法、模和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得所求的結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則.所以，所以，.故答案為：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的減法、模和數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14.【答案】【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)可得為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求．【詳解】如圖正四棱錐，取底面中心，取中點(diǎn)，連接、、，由正四棱錐的性質(zhì)知平面，，，所以為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，，故答案為：．15.【答案】①.垂直②.【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.分析可得，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)C時(shí)，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以，又底面ABCD為正方形，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以為等腰直角三角形，且E為線段PB的中點(diǎn)，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面AEF與平面PBC.因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以，所以當(dāng)最大時(shí)，的面積的最大，當(dāng)F位于點(diǎn)C時(shí)，最大且，所以的面積的最大為.故答案為：垂直；16.【答案】①③④【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有A0,0,0、、、、、，設(shè)，，其中，，對(duì)①：，則，當(dāng)，，時(shí)，有，故存在點(diǎn)，使，故①正確；對(duì)②：，，若，則有，由，，故當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)有，即，即，此時(shí)與重合，與重合，故不存在點(diǎn)，使，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，即有，即，由，故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故③正確；對(duì)④：，，由，故有，則，又，故，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.三、解答題(共3個(gè)小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得平面，即可證明；（2）求直線PB的方向向量和平面PCD的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；（3）求平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫嫠?，又因?yàn)椋矫?，所以平面，點(diǎn)M為AB上任意一點(diǎn)，則平面，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，因?yàn)椋O(shè)平面PCD的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線PB和平面PCD所成角的大小為，所以，直線PB和平面PCD所成角的正弦值.【小問(wèn)3詳解】平面APD的法向量為,設(shè)二面角的平面角大小為，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殁g角，所以二面角的余弦值.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)即可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得，即可得其所成角的余弦值；（3）利用空間向量夾角公式可確定點(diǎn)位置，再結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，有，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.【答案】（1）時(shí)（答案不唯一，正確寫出任意一個(gè)并求得對(duì)應(yīng)的值即可.（2）(不唯一)．（3）不存在，證明見(jiàn)解析.【分析】1本題屬于新定義類型題，可根據(jù)題意舉例進(jìn)行直接進(jìn)行求解；2利用反證法進(jìn)行求解，并舉例即可；3利用反證法和合情推理進(jìn)行求解．【小問(wèn)1詳解】令，即，，，則，則；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，∵4∈，∴中的或者,不妨