高數(shù)競(jìng)賽試題及答案

高數(shù)競(jìng)賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\sinx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$e^x$，則$f^\prime(x)=$（）A.$e^x$B.$-e^x$C.$xe^x$D.$e^{-x}$5.$\int\frac{1}{x}dx=$（）A.$\lnx+C$B.$-\lnx+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.$x+C$6.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的極大值點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=0$D.無極大值點(diǎn)7.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對(duì)收斂的D.無法判斷8.向量$\vec{a}=(1,2,3)$與向量$\vec=(2,4,6)$的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.無關(guān)系9.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.410.曲線積分$\int_{L}xdy-ydx$，其中$L$是單位圓$x^2+y^2=1$正向一周，結(jié)果為（）A.$2\pi$B.$\pi$C.0D.$-2\pi$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=\sinx$D.$y=\lnx$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$4.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx$B.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}e^xdx$D.$\int_{-1}^{1}x^2dx$5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$6.下列向量運(yùn)算正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$7.對(duì)于函數(shù)$z=f(x,y)$，下列說法正確的有（）A.若$\frac{\partialz}{\partialx}$存在，則函數(shù)$z$關(guān)于$x$方向可微B.若$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$都連續(xù)，則函數(shù)$z$可微C.函數(shù)$z$的全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.若函數(shù)$z$可微，則$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$都存在8.下列方程中，是一階線性微分方程的有（）A.$y^\prime+y=x$B.$y^\prime+xy=x^2$C.$y^{\prime\prime}+y=0$D.$y^\prime+y^2=x$9.曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的切線方程為（）A.$y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0)$（當(dāng)$f^\prime(x_0)$存在時(shí)）B.若$f^\prime(x_0)=\infty$，則切線方程為$x=x_0$C.若$f^\prime(x_0)=0$，則切線方程為$y=y_0$D.切線方程一定存在10.關(guān)于二重積分，下列說法正確的有（）A.二重積分可用來計(jì)算平面圖形的面積B.若積分區(qū)域$D$關(guān)于$x$軸對(duì)稱，$f(x,y)$關(guān)于$y$是奇函數(shù)，則$\iint_{D}f(x,y)d\sigma=0$C.二重積分的計(jì)算可以化為累次積分D.二重積分的值與積分區(qū)域和被積函數(shù)有關(guān)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是$x\neq1$。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))$不存在。（）3.函數(shù)$y=x^2$在$(-\infty,+\infty)$上是單調(diào)遞增的。（）4.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。（）5.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）6.向量$\vec{a}=(1,0,0)$與向量$\vec=(0,1,0)$垂直。（）7.函數(shù)$z=x^2y$的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2$。（）8.微分方程$y^\prime=x^2$的通解是$y=\frac{1}{3}x^3+C$。（）9.曲線積分的值只與積分路徑有關(guān)，與起點(diǎn)和終點(diǎn)無關(guān)。（）10.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=\ln(x^2+1)$的導(dǎo)數(shù)。-答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=x^2+1$，則$y=\lnu$。先對(duì)$y$關(guān)于$u$求導(dǎo)得$\frac{1}{u}$，再對(duì)$u$關(guān)于$x$求導(dǎo)得$2x$，所以$y^\prime=\frac{2x}{x^2+1}$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。-答案：根據(jù)定積分基本公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），先求原函數(shù)$F(x)=\frac{1}{3}x^3$，再由牛頓-萊布尼茨公式得$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$。3.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值。-答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$。所以極大值$f(0)=1$，極小值$f(2)=-3$。4.求向量$\vec{a}=(1,2,3)$與向量$\vec=(3,2,1)$的夾角余弦值。-答案：根據(jù)向量點(diǎn)積公式$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$，先求$\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times2+3\times1=10$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$，$|\vec|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}$，則$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的單調(diào)性和凹凸性。-答案：求導(dǎo)得$y^\prime=-\frac{2}{x^3}$，當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增；$x\gt0$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減。再求二階導(dǎo)$y^{\prime\prime}=\frac{6}{x^4}\gt0$（$x\neq0$），函數(shù)在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上都是凹的。2.討論級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$的斂散性（$p\gt0$）。-答案：當(dāng)$p\gt1$時(shí)，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)$0\ltp\leq1$時(shí)，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$發(fā)散，但由萊布尼茨判別法知原級(jí)數(shù)條件收斂。3.對(duì)于多元函數(shù)$z=f(x,y)$，討論偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。-答案：可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)能推出可微；但偏導(dǎo)數(shù)存在推不出可微和連續(xù)，函數(shù)連續(xù)也推不出偏導(dǎo)數(shù)存在和可微。4.討論在實(shí)際問題中如何利用導(dǎo)數(shù)和積分來解決優(yōu)化問題。-答案：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)，確定最優(yōu)方案。如求成本最低、利潤(rùn)最大等問題。利用積分可計(jì)算總量，如求路程、面積、體