湖南省長沙市長沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題含解析

高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，然后結(jié)合交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.詳解】，而，故，故選：B．2.已知兩個(gè)非零向量與的夾角為，我們把數(shù)量叫作向量與的叉乘的模，記作，即.若向量，，則（）A. B.10 C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)向量的坐標(biāo)求以及，再代入叉乘公式，即可求解.【詳解】若向量，，則，，則，.故選：B3.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，代入求值即可.【詳解】，故.故選：B4.下圖為抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)A處測得其頂點(diǎn)P的仰角為45°、點(diǎn)B處測得其頂點(diǎn)P的仰角為30°，若米，且，則解放碑的高度為（）A.米 B.55米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由直角三角形中三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，由已知，，，，則，又，在中：，則解得或（舍去），所以解放碑的高度為米.故選：A.5.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合函數(shù)奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合的單調(diào)性，得到，分離參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，由，可得，即，.因?yàn)槭嵌x在上的減函數(shù)，所以也是定義在上的減函數(shù)，故，即.因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6.若對任意正實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用分離參數(shù)求最值，即將原不等式化為，再構(gòu)造函數(shù)（），求其最大值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】化簡不等式可得，即：，令（），則對任意的，，所以，設(shè)，，則，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：，即：的取值范圍為.故選：A.7.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、及的中點(diǎn)重合），矩形內(nèi)接于扇形，且．，設(shè)矩形的面積與的關(guān)系為，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，并求出函數(shù)，再利用三角恒等變換，正弦函數(shù)性質(zhì)求出最大值.【詳解】依題意，在中，，由正弦定理得，即，，而，因此當(dāng)，即時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：幾何圖形中的面積最值問題，解題關(guān)鍵是借助正余弦定理及三角形面積公式求出角的函數(shù)，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)求出最值.8.已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可把、用表示，從而可表示為關(guān)于的函數(shù)，再引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即得．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，整理得，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，則的取值范圍是．故選：C.二、多選題9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)滿足.點(diǎn)與關(guān)于軸對稱.則復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模運(yùn)算公式可求出，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)與關(guān)于軸對稱，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)滿足所以，所以，或又點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)或所以復(fù)數(shù)為或.故選：CD.10.在棱長為正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.無論點(diǎn)在線段的什么位置，三棱錐的體積為定值B.無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有C.當(dāng)時(shí)，與異面D.若直線與平面所成的角為，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中.利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；利用共線向量的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用線面角的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，其中.對于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，，故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，，因此，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，，則，故，B對；對于C選項(xiàng)，，，若，則，無解，故與不可能平行，若，設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)椋瑒t，則，，，因?yàn)椋瑒t，解得.所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，與異面，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，點(diǎn)到平面的距離為，由已知可得，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，此時(shí)取最大值，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為，故的最大值為，D對.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.11.通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實(shí)上，由這個(gè)等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為0【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意得出的解析式，根據(jù)計(jì)算易于判斷A，B兩項(xiàng)，對于C項(xiàng)，可根據(jù)已知推出，結(jié)合基本不等式判斷；對于D項(xiàng)，則需要等價(jià)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用參變分離法，分區(qū)間討論得出的范圍進(jìn)行判斷.【詳解】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯(cuò)誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結(jié)合可知，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，故，則，故；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意可知得恒成立，即恒成立，此時(shí)令，同理可得，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，則，故，綜合上述可知m值為0，D正確，故選：ACD三、填空題12.2024年10月21日，第52個(gè)梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)，這也是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù).集合以這52個(gè)梅森素?cái)?shù)為元素，其非空真子集有________個(gè).【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)為，則該集合的非空真子集個(gè)數(shù)為求解即可.【詳解】因?yàn)榧现杏?2個(gè)元素，所以集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.如圖，四邊形的頂點(diǎn)都在圓上，且經(jīng)過圓的圓心，若圓的半徑為，，四邊形的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】連接、，即可得到，再由、面積公式及三角恒等變換公式得到，從而求出，即可得解.【詳解】連接、，因?yàn)閳A的半徑為，，則是等邊三角形，所以，四邊形的面積，解得.因?yàn)?，所以，則，所以是等邊三角形，所以.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個(gè)；②在上單調(diào)遞增；③存在和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個(gè)解”的必要條件.所有正確結(jié)論的編號是______________；【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)條件畫出的圖像，結(jié)合圖像和逐一判斷即可.【詳解】恰有個(gè)零點(diǎn)，，，函數(shù)的圖像如圖：①如圖，即有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；②結(jié)合右圖，且當(dāng)時(shí)，在遞增，錯(cuò)誤；③，，，存在為最小值，為最大值，正確；④結(jié)合右圖，若方程在內(nèi)恰有五個(gè)解，需滿足，即，同時(shí)結(jié)合左圖，當(dāng)，不一定有五個(gè)解，正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于難題.四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有解，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運(yùn)算求解.小問1詳解】對于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】令，即，則，∵在存在零點(diǎn)，則方程在上有解，若時(shí)，則，可得，∴，得故實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.已知復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）定義，是否存在，使得?若存在，求出；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）根據(jù)為純虛數(shù)列式，由此求得值.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)能比較大小列不等式組，由此求得的值.【詳解】（1）由于為純虛數(shù)，所以.（2）依題意，即，，，，所以，解得.17.某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點(diǎn)，當(dāng)凹多邊形的面積最大時(shí)制冷效果最好．（1）設(shè)米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；（2）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長和寬?【答案】（1）（2）長為米，寬為米時(shí)，制冷效果最好【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，由勾股定理可得的關(guān)系，再根據(jù)可得x的取值范圍；（2）設(shè)的面積為，計(jì)算可得，利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性可得何時(shí)取最大值.【小問1詳解】由題意，，．因，故．設(shè)，則．因△ADP≌△CB'P，故．由，得．【小問2詳解】記凹多邊形的面積為S，則求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故函數(shù)S在上遞增，在上遞減．所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值．故當(dāng)薄板長為米，寬為米時(shí)，制冷效果最好．18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，將中的項(xiàng)按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項(xiàng)，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項(xiàng)的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的公差，則的通項(xiàng)公式可求；將的通項(xiàng)公式求出，則的通項(xiàng)公式可知；（2）先分析前項(xiàng)的組成情況，然后采用分組求和求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)的公差為，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】將及其后中的兩項(xiàng)看成一組，故需要組再加上第組的前兩項(xiàng)，所以.19.布洛卡點(diǎn)是三角形內(nèi)部的一特殊的點(diǎn)，由法國數(shù)學(xué)家亨利·布洛卡于19世紀(jì)提出，它通過等角條件聯(lián)系三角形邊與頂點(diǎn)，其角度和位置揭示了三角形的對稱性與比例特性，是經(jīng)典幾何學(xué)中兼具美學(xué)與實(shí)用價(jià)值的點(diǎn)．其定義如下：設(shè)P是內(nèi)一點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，角θ為△ABC的布洛卡角．如圖，在△ABC中，記它的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為θ，請完成以下各題：（1）若，且，求A和；（2）若求的值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，即，又，可得，，再在中